Касательное пространство

Назначение векторных полей многообразиям

В математике касательное пространство многообразия представляет собой обобщение касательных линий к кривым в двумерном пространстве и касательных плоскостей к поверхностям в трехмерном пространстве в более высоких измерениях. В контексте физики касательное пространство к многообразию в точке можно рассматривать как пространство возможных скоростей частицы, движущейся по многообразию.

Неофициальное описание

Наглядное изображение касательного пространства отдельной точки на сфере . Вектор в этом касательном пространстве представляет собой возможную скорость (чего-то, движущегося по сфере) при . После движения в этом направлении к ближайшей точке скорость будет задаваться вектором в касательном пространстве этой точки — другом касательном пространстве, которое не показано. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

В дифференциальной геометрии к каждой точке дифференцируемого многообразия можно присоединить касательное пространство — вещественное векторное пространство , интуитивно содержащее возможные направления, через которые можно пройти по касательной . Элементы касательного пространства at называются касательными векторами at . Это обобщение понятия вектора , основанного на данной начальной точке, в евклидовом пространстве . Размерность касательного пространства в каждой точке связного многообразия такая же, как и размерность самого многообразия . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Например, если данное многообразие является сферой , то можно представить касательное пространство в точке как плоскость, которая касается сферы в этой точке и перпендикулярна радиусу сферы, проходящему через эту точку . В более общем смысле, если данное многообразие мыслить как вложенное подмногообразие евклидова пространства , то можно буквально представить касательное пространство. Это был традиционный подход к определению параллельного транспорта . Его используют многие авторы по дифференциальной геометрии и общей теории относительности . ^{[1] [2]} Более строго, это определяет аффинное касательное пространство, которое отличается от пространства касательных векторов, описываемого современной терминологией. ${\displaystyle 2}$

В алгебраической геометрии , напротив, существует внутреннее определение касательного пространства в точке алгебраического многообразия , которое дает векторное пространство с размерностью, по крайней мере, той же самой . Точки , в которых размерность касательного пространства в точности равна размерности, называются неособыми точками; остальные называются особыми точками. Например, кривая, которая пересекает сама себя, не имеет единственной касательной в этой точке. Особыми точками являются те, в которых «тест на многообразие» не проходит. См. касательное пространство Зарисского . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

После введения касательных пространств многообразия можно определить векторные поля , которые являются абстракциями поля скоростей частиц, движущихся в пространстве. Векторное поле плавно присоединяет к каждой точке многообразия вектор из касательного пространства в этой точке. Такое векторное поле служит для определения обобщенного обыкновенного дифференциального уравнения на многообразии: решением такого дифференциального уравнения является дифференцируемая кривая на многообразии, производная которой в любой точке равна касательному вектору, прикрепленному к этой точке векторным полем.

Все касательные пространства многообразия могут быть «склеены» вместе, чтобы сформировать новое дифференцируемое многообразие с удвоенной размерностью исходного многообразия, называемое касательным расслоением многообразия.

Формальные определения

Неформальное описание, приведенное выше, основано на способности многообразия встраиваться в окружающее векторное пространство, так что касательные векторы могут «выступать» из многообразия в окружающее пространство. Однако удобнее определить понятие касательного пространства, исходя исключительно из самого многообразия. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Существуют различные эквивалентные способы определения касательных пространств многообразия. Хотя определение через скорость кривых интуитивно является самым простым, оно также и самое громоздкое в работе. Более элегантные и абстрактные подходы описаны ниже.

Определение через касательные кривые

В картине вложенного многообразия касательный вектор в точке рассматривается как скорость кривой, проходящей через точку . Поэтому мы можем определить касательный вектор как класс эквивалентности кривых, проходящих через него и касающихся друг друга в точке . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Предположим, что это дифференцируемое многообразие (с гладкостью ) и что . Выберите координатную диаграмму , где находится открытое подмножество , содержащее . Предположим далее, что даны две кривые с такие, что обе дифференцируемы в обычном смысле (мы называем эти дифференцируемые кривые инициализированными в ). Тогда и называются эквивалентными в тогда и только тогда, когда производные от и at совпадают. Это определяет отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемых кривых, инициализированных в точке , и классы эквивалентности таких кривых известны как касательные векторы точки . Класс эквивалентности любой такой кривой обозначается . Касательное пространство at , обозначаемое , затем определяется как набор всех касательных векторов в ; это не зависит от выбора координатной карты . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle {\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

Касательное пространство и касательный вектор вдоль кривой, проходящей через . ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$

Чтобы определить операции в векторном пространстве над , мы используем диаграмму и определяем карту по где . Отображение оказывается биективным и может быть использовано для переноса операций с векторным пространством на , превращая таким образом последнее множество в -мерное вещественное векторное пространство. Опять же нужно проверить, что эта конструкция не зависит от конкретного графика и используемой кривой , а на самом деле это не так. ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0},}$ ${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$

Определение через вывод

Предположим теперь, что это многообразие. Говорят, что функция с действительным знаком принадлежит тогда и только тогда, когда для каждой координатной карты карта бесконечно дифференцируема. Обратите внимание, что это действительная ассоциативная алгебра относительно поточечного произведения и суммы функций и скалярного умножения. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

Вывод при определяется как линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),}$$

произведения .

(Для каждой тождественно постоянной функции следует, что ). ${\displaystyle f={\text{const}},}$ ${\displaystyle D(f)=0}$

Обозначим множество всех выводов в пункте Setting ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x.}$

• ${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f):={D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)}$и
• ${\displaystyle (\lambda \cdot D)(f):=\lambda \cdot D(f)}$

превращается в векторное пространство. ${\displaystyle T_{x}M}$

Обобщения

Возможны обобщения этого определения, например, на комплексные многообразия и алгебраические многообразия . Однако вместо рассмотрения выводов из полной алгебры функций приходится работать на уровне зародышей функций. Причина этого в том, что пучок структур может не подходить для таких структур. Например, пусть – алгебраическое многообразие со структурным пучком . Тогда касательное пространство Зарисского в точке представляет собой совокупность всех -дифференцирований , где - основное поле и - стебель при . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle p}$

Эквивалентность определений

Для и дифференцируемая кривая такая, что определяют (где производная берется в обычном смысле, поскольку является функцией от до ). Можно убедиться, что это вывод в точке и что эквивалентные кривые дают тот же вывод. Таким образом, для класса эквивалентности мы можем определить , где кривая выбрана произвольно. Отображение представляет собой изоморфизм векторного пространства между пространством классов эквивалентности и пространством дифференцирований в точке ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ ${\displaystyle {D_{\gamma }}(f):=(f\circ \gamma )'(0)}$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D_{\gamma }(f)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \gamma '(0),}$ ${\displaystyle {D_{\gamma '(0)}}(f):=(f\circ \gamma )'(0),}$ ${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle x.}$

Определение через котангенсные пространства

Опять же, мы начинаем с многообразия и точки . Рассмотрим идеал , состоящий из всех гладких функций, исчезающих при , т. е . . Тогда и являются действительными векторными пространствами, и с помощью теоремы Тейлора можно показать, что факторпространство изоморфно кокасательному пространству . Касательное пространство может быть тогда определено как двойственное пространство . ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$

Хотя это определение является наиболее абстрактным, оно также легче всего переносится на другие ситуации, например, на многообразия, рассматриваемые в алгебраической геометрии .

Если является выводом при , то для каждого , что означает, что приводит к линейному отображению . И наоборот, если является линейным отображением, то определяет вывод в . Это дает эквивалентность между касательными пространствами, определенными через дифференцирование, и касательными пространствами, определенными через котасательные пространства. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D(f)=0}$ ${\displaystyle f\in I^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r:I/I^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(f):=r\left((f-f(x))+I^{2}\right)}$ ${\displaystyle x}$

Характеристики

Если является открытым подмножеством , то является многообразием естественным образом (примите координатные карты как тождественные карты на открытых подмножествах ), и все касательные пространства естественным образом отождествляются с . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Касательные векторы как производные по направлению

Другой способ рассматривать касательные векторы — это производные по направлению . Учитывая вектор в , можно определить соответствующую производную по направлению в точке по формуле ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}$

Это отображение, естественно, является производным от . Более того, каждый вывод в точке имеет такой вид. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между векторами (которые рассматриваются как касательные векторы в точке) и производными в точке. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Поскольку касательные векторы к общему многообразию в некоторой точке могут быть определены как дифференцирования в этой точке, естественно думать о них как о производных по направлению. В частности, если это касательный вектор к точке (считающийся производным), то определите производную по направлению в направлении по формуле ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{v}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=v(f).}$

Если мы думаем о начальной скорости дифференцируемой кривой, инициализированной в , т. е ., то вместо этого определим как ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v=\gamma '(0)}$ ${\displaystyle D_{v}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=(f\circ \gamma )'(0).}$

Базис касательного пространства в точке

Для многообразия , если карта задана с , то можно определить упорядоченный базис с помощью ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\textstyle \left\{\left.{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right|_{p},\dots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right|_{p}\right\}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}}(f):=\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.}$

Тогда для каждого касательного вектора имеем ${\displaystyle v\in T_{p}M}$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}.}$

Таким образом, эта формула выражается как линейная комбинация базисных касательных векторов, определенных координатной картой . ^[4] ${\displaystyle v}$ ${\textstyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

Производная карты

Каждое гладкое (или дифференцируемое) отображение между гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями порождает естественные линейные отображения между соответствующими касательными пространствами: ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$

Если касательное пространство определяется через дифференцируемые кривые, то это отображение определяется формулой

${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Если вместо этого касательное пространство определяется посредством дифференцирований, то это отображение определяется формулой

${\displaystyle [\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f):=D(f\circ \varphi ).}$

Линейная карта называется по-разному: производная , полная производная , дифференциал или прямое преобразование at . Это часто выражается с использованием множества других обозначений: ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).}$

В некотором смысле производная является лучшим линейным приближением к близкому значению . Заметим, что когда , то отображение совпадает с обычным понятием дифференциала функции . В локальных координатах производная определяется якобианом . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Важным результатом относительно производного отображения является следующее:

Теорема  —  Если — локальный диффеоморфизм в в , то — линейный изоморфизм . Обратно, если непрерывно дифференцируем и является изоморфизмом, то существует открытая окрестность такого , которая диффеоморфно отображается на его образ. ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

Это обобщение теоремы об обратной функции на отображения между многообразиями.

Смотрите также

• Координатно-индуцированный базис
• Котангенс пространство
• Дифференциальная геометрия кривых
• Экспоненциальная карта
• Векторное пространство

Примечания

1. ду Кармо, Манфредо П. (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Прентис-Холл.:
2. Дирак, Поль AM (1996) [1975]. Общая теория относительности . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01146-Х.
3. Крис Дж. Ишам (1 января 2002 г.). Современная дифференциальная геометрия для физиков. Союзные издательства. стр. 70–72. ISBN 978-81-7764-316-9.
4. Лерман, Евгений. «Введение в дифференциальную геометрию» (PDF) . п. 12.

Рекомендации

• Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , том. 107, Провиденс: Американское математическое общество..
• Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике, том. 93, Провиденс: Американское математическое общество..
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления, WA Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

Внешние ссылки

• Касательные плоскости в MathWorld