Кривизна римановых многообразий

Слева направо: поверхность отрицательной гауссовой кривизны ( гиперболоид ), поверхность нулевой гауссовой кривизны ( цилиндр ) и поверхность положительной гауссовой кривизны ( сфера ). В более высоких измерениях многообразие может иметь разную кривизну в разных направлениях, что описывается тензором кривизны Римана .

В математике , особенно в дифференциальной геометрии , бесконечно малая геометрия римановых многообразий с размерностью больше 2 слишком сложна, чтобы ее можно было описать одним числом в данной точке. Риман ввел абстрактный и строгий способ определения кривизны этих многообразий, известный теперь как тензор кривизны Римана . Подобные представления повсеместно нашли применение в дифференциальной геометрии поверхностей и других объектов. Кривизну псевдориманова многообразия можно выразить таким же образом с небольшими изменениями .

Способы выражения кривизны риманова многообразия

Тензор кривизны Римана

Кривизну риманова многообразия можно описать по-разному; наиболее стандартным из них является тензор кривизны, заданный через связность Леви-Чивита (или ковариантное дифференцирование ) и скобку Ли по следующей формуле: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$

Вот линейное преобразование касательного пространства многообразия; оно линейно по каждому аргументу. Если и являются координатными векторными полями, то и, следовательно, формула упрощается до ${\displaystyle R(u,v)}$ ${\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}}$ ${\displaystyle [u,v]=0}$

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}$

т.е. тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантной производной .

Линейное преобразование также называют преобразованием кривизны или эндоморфизмом . ${\displaystyle w\mapsto R(u,v)w}$

NB. Есть несколько книг, в которых тензор кривизны определен с противоположным знаком.

Симметрии и тождества

Тензор кривизны имеет следующие симметрии:

${\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}$

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}}$

${\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}$

Последнее тождество было обнаружено Риччи , но его часто называют первым тождеством Бьянки , просто потому, что оно похоже на тождество Бьянки ниже. К первым двум следует относиться как к антисимметрии и свойству алгебры Ли соответственно, поскольку второе означает, что R ( u , v ) для всех u , v являются элементами псевдоортогональной алгебры Ли. Все три вместе следует назвать структурой псевдоортогональной кривизны . Они порождают тензор только посредством отождествлений с объектами тензорной алгебры — но также существуют отождествления с понятиями в алгебре Клиффорда. Отметим, что эти три аксиомы кривизны структуры порождают хорошо развитую теорию структуры, сформулированную в терминах проекторов (проектор Вейля, порождающий кривизну Вейля , и проектор Эйнштейна, необходимый для постановки эйнштейновских уравнений гравитации ). Эта структурная теория совместима с действием псевдоортогональных групп плюс расширений . Она имеет тесную связь с теорией групп и алгебр Ли , троек Ли и йордановых алгебр. Посмотрите ссылки, данные в обсуждении.

Три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, т.е. для любого тензора, удовлетворяющего приведенным выше тождествам, можно найти риманово многообразие с таким тензором кривизны в некоторой точке. Простые расчеты показывают, что такой тензор имеет независимые компоненты. Из этих трех следует еще одно полезное тождество: ${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}}$

Тождество Бьянки (часто второе тождество Бьянки ) включает в себя ковариантные производные:

${\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0}$

Секционная кривизна

Секционная кривизна — это дальнейшее, эквивалентное, но более геометрическое описание кривизны римановых многообразий. Это функция , зависящая от сечения (т. е. от 2-плоскости в касательных пространствах). Это гауссовая кривизна сечения в точке p ; здесь - сечение - это локально определенный участок поверхности, плоскость которого является касательной плоскостью в точке p , полученной из геодезических, которые начинаются в точке p в направлениях изображения под экспоненциальным отображением в точке p . ${\displaystyle K(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Если есть два линейно независимых вектора, то ${\displaystyle v,u}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle K(\sigma )=K(u,v)/|u\wedge v|^{2}{\text{ where }}K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle }$

Следующая формула показывает, что секционная кривизна полностью описывает тензор кривизны:

${\displaystyle 6\langle R(u,v)w,z\rangle =_{}^{}}$

${\displaystyle [K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-_{}^{}}$

${\displaystyle [K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)]._{}^{}}$

Или в более простой формуле:

$${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle ={\frac {1}{6}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0,0)}}$$

Форма кривизны

Форма соединения дает альтернативный способ описания кривизны. Он используется больше для общих векторных расслоений , и для главных расслоений , но так же хорошо работает и для касательного расслоения со связностью Леви-Чивита . Кривизна n -мерного риманова многообразия задается антисимметричной матрицей n × n 2-форм ( или, что эквивалентно, 2-формой со значениями в , алгебре Ли ортогональной группы , которая является структурной группой касательного расслоения риманова многообразия). ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$

Пусть – локальное сечение ортонормированных базисов. Тогда можно определить форму связи - антисимметричную матрицу 1-форм, удовлетворяющую следующему тождеству: ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i}}$

${\displaystyle \omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},e_{k}\rangle }$

Тогда форма кривизны определяется выражением ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$.

Обратите внимание, что выражение « » является сокращением и, следовательно, не обязательно исчезает. Ниже описывается связь между формой кривизны и тензором кривизны: ${\displaystyle \omega \wedge \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}\wedge \omega _{\ k}^{j}}$

${\displaystyle R(u,v)w=\Omega (u\wedge v)w.}$

Этот подход строит все симметрии тензора кривизны, кроме первого тождества Бьянки , которое принимает форму

${\displaystyle \Omega \wedge \theta =0}$

где – n -вектор 1-форм, определяемый . Вторая идентичность Бьянки обретает форму ${\displaystyle \theta =\theta ^{i}}$ ${\displaystyle \theta ^{i}(v)=\langle e_{i},v\rangle }$

${\displaystyle D\Omega =0}$

D обозначает внешнюю ковариантную производную

Оператор кривизны

Иногда удобно думать о кривизне как об операторе касательных бивекторов (элементах ), который однозначно определяется следующим тождеством: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Lambda ^{2}(T)}$

${\displaystyle \langle Q(u\wedge v),w\wedge z\rangle =\langle R(u,v)z,w\rangle .}$

Сделать это возможно именно благодаря симметрии тензора кривизны (а именно антисимметрии в первой и последней парах индексов и блочной симметрии этих пар).

Дальнейшие тензоры кривизны

В общем случае следующие тензоры и функции не описывают тензор кривизны полностью, однако они играют важную роль.

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна — это функция на любом римановом многообразии, обозначаемая по-разному или . Это полный след тензора кривизны; задан ортонормированный базис в касательном пространстве в точке ${\displaystyle S,R}$ ${\displaystyle {\text{Sc}}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

у нас есть

${\displaystyle S=\sum _{i,j}\langle R(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i}\rangle =\sum _{i}\langle {\text{Ric}}(e_{i}),e_{i}\rangle ,}$

где обозначает тензор Риччи . Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не полностью описывает тензор кривизны. ${\displaystyle {\text{Ric}}}$

кривизна Риччи

Кривизна Риччи — это линейный оператор в касательном пространстве в точке, обычно обозначаемый . Учитывая ортонормированный базис в касательном пространстве в точке p, мы имеем ${\displaystyle {\text{Ric}}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle {\text{Ric}}(u)=\sum _{i}R(u,e_{i})e_{i}._{}^{}}$

Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. При четырех или более измерениях кривизна Риччи не полностью описывает тензор кривизны.

Явные выражения для тензора Риччи в терминах связи Леви-Чивита приведены в статье о символах Кристоффеля .

Тензор кривизны Вейля

Тензор кривизны Вейля имеет те же симметрии, что и тензор кривизны Римана, но с одним дополнительным ограничением: его след (который используется для определения кривизны Риччи) должен исчезать.

Тензор Вейля инвариантен относительно конформной замены метрики: если две метрики связаны как для некоторой положительной скалярной функции , то . ${\displaystyle {\tilde {g}}=fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}=W}$

В измерениях 2 и 3 тензор Вейля исчезает, но в измерениях 4 и более тензор Вейля может быть отличен от нуля. Для многообразия постоянной кривизны тензор Вейля равен нулю. Более того, тогда и только тогда, когда метрика локально конформна евклидовой метрике . ${\displaystyle W=0}$

Разложение Риччи

Хотя по отдельности тензор Вейля и тензор Риччи, как правило, не определяют тензор полной кривизны, тензор кривизны Римана можно разложить на часть Вейля и часть Риччи. Это разложение известно как разложение Риччи и играет важную роль в конформной геометрии римановых многообразий. В частности, его можно использовать, чтобы показать, что если метрика масштабируется с помощью конформного коэффициента , то тензор кривизны Римана изменяется на (рассматриваемый как (0, 4)-тензор): ${\displaystyle e^{2f}}$

${\displaystyle e^{2f}\left(R+\left({\text{Hess}}(f)-df\otimes df+{\frac {1}{2}}\|{\text{grad}}(f)\|^{2}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right)}$

где обозначает произведение Кулкарни–Номизу , а Гесс – гессиан. ${\displaystyle {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}}$

Расчет кривизны

Для расчета кривизны

• гиперповерхностей и подмногообразий см. вторую фундаментальную форму ,
• в координатах см. список формул римановой геометрии или ковариантной производной ,
• при перемещении рамок см. связь Картана и форму кривизны .
• уравнение Якоби может помочь, если кто-то знает что-то о поведении геодезических линий .

Рекомендации

• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Том. 1 (Новое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-15733-3.
• Вудс, Ф.С. (1901). «Пространство постоянной кривизны». Анналы математики . 3 (1/4): 71–112. дои : 10.2307/1967636. JSTOR  1967636.

Примечания