Связь Леви-Чивита

Аффинная связность на касательном расслоении многообразия

В римановой или псевдоримановой геометрии (в частности, в лоренцевой геометрии общей теории относительности ) связность Леви-Чивита — это уникальная аффинная связность на касательном расслоении многообразия ( т. е. аффинная связность ), которая сохраняет ( псевдо ) риманову метрику и не имеет кручения .

Основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует единственная связь, удовлетворяющая этим свойствам.

В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для обозначения связности Леви-Чивита. Компоненты (структурные коэффициенты) этой связи относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .

История

Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита , хотя первоначально она была «открыта» Элвином Бруно Кристоффелем . Леви-Чивита ^[1] вместе с Грегорио Риччи-Курбастро использовали символы Кристоффеля ^[2] для определения понятия параллельного переноса и исследования связи параллельного переноса с кривизной , тем самым развивая современное понятие голономии . ^[3]

В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной векторного поля при изменении системы координат преобразуются в компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа.

В 1906 году Л. Дж. Брауэр был первым математиком , рассмотревшим параллельный перенос вектора в случае пространства постоянной кривизны . ^{[4] [5]}

В 1917 году Леви-Чивита указал на ее важность для случая гиперповерхности, погруженной в евклидово пространство , т. е. для случая риманова многообразия, вложенного в «большое» объемлющее пространство. ^[1] Он интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как тангенциальную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве. Идеи Леви-Чивиты о внутренней производной и параллельном перемещении вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, даже несмотря на то, что первоначальная мотивация основывалась на конкретном вложении ${\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}$

В 1918 г., независимо от Леви-Чивита, аналогичные результаты получил Ян Арнольдус Схоутен . ^[6] В том же году Герман Вейль обобщил результаты Леви-Чивита. ^{[7] [8]}

Обозначения

• ( M , g ) обозначает риманово или псевдориманово многообразие .
• TM — касательное расслоение к M .
• g — риманова или псевдориманова метрика M.
• X , Y , Z — гладкие векторныеполя на M , т.е. гладкие сечения TM .
• [ X , Y ] — скобка Ли X и Y . Это снова гладкое векторное поле.

Метрика g может принимать в качестве аргументов до двух векторов или векторных полей X , Y. В первом случае выходные данные представляют собой число, (псевдо-) внутренний продукт X и Y . В последнем случае скалярное произведение X _p , Y _p берется во всех точках p многообразия, так что g ( X , Y ) определяет гладкую функцию на M . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы над гладкими функциями. В местных координатах действие читается ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}$

где используется соглашение Эйнштейна о суммировании.

Формальное определение

Аффинная связность называется связностью Леви-Чивита, если ${\displaystyle \nabla }$

1. он сохраняет метрику , т. е. . ${\displaystyle \nabla g=0}$
2. оно без кручения , т. е. для любых векторных полей и имеем , где – скобка Ли векторных полей и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Условие 1 выше иногда называют совместимостью с метрикой , а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст Ду Кармо. ^[9]

Основная теорема (псевдо)римановой геометрии

Теорема. Каждое псевдориманово многообразие имеет единственную связность Леви Чивиты . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \nabla }$

Доказательство : если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной. Чтобы убедиться в этом, разгадайте определение действия связи на тензоры, чтобы найти

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}$

Следовательно, мы можем записать условие 1 как

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}$

Тогда в силу симметрии метрического тензора находим: ${\displaystyle g}$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).}$

Поэтому по условию 2 правая часть равна

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),}$

и находим формулу Кошуля

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}.}$

Следовательно, если связность Леви-Чивита существует, она должна быть единственной, поскольку произвольна, невырождена и правая часть не зависит от . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla }$

Чтобы доказать существование, обратите внимание, что для данного векторного поля и правая часть выражения Кошуля является функционально-линейной в векторном поле , а не только действительной линейной. Следовательно, в силу невырожденности правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое мы предположительно обозначим как в левой части. Подставив формулу Кошуля, можно теперь проверить, что для всех векторных полей и всех функций ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}$

Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связность, причем эта связность совместима с метрикой и не имеет кручения, т. е. является (следовательно) связностью Леви-Чивита.

Заметим, что с небольшими изменениями то же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая предписанное кручение.

Символы Кристоффеля

Пусть – аффинная связность на касательном расслоении. Выберите локальные координаты с полями базисных векторов координат и напишите для . Символы Кристоффеля относительно этих координат определяются как ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}$ ${\displaystyle \nabla _{j}}$ ${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}$

Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связность в координатной окрестности, поскольку ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}}$

то есть,

${\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}$

Аффинное соединение совместимо с метрикой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}$

т.е. тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}$

Аффинная связность ∇ не имеет кручения тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.}$

т.е. тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}$

симметричен по двум нижним индексам.

Как можно проверить, взяв за координатные векторные поля (или вычислить непосредственно), выражение Кошуля связи Леви-Чивита, полученное выше, эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}$

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$

где, как обычно , – коэффициенты двойственного метрического тензора, т.е. элементы обратной матрицы . ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{kl}}$

Производная по кривой

Связность Леви-Чивита (как и любая аффинная связность) также определяет производную по кривым , иногда обозначаемую D.

Учитывая гладкую кривую γ на ( M , g ) и векторное поле V вдоль γ , ее производная определяется формулой

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

Формально D — это обратное соединение γ *∇ на расслоении обратного образа γ * TM .

В частности, – векторное поле вдоль самой кривой γ . Если равен нулю, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально это условие можно переформулировать как исчезновение обратного соединения, примененного к : ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}$

Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивита некоторой метрики, то геодезическими для связности являются именно те геодезические метрики , которые параметризуются пропорционально длине своей дуги.

Параллельная транспортировка

В общем, параллельный транспорт вдоль кривой относительно соединения определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если соединение является соединением Леви-Чивита, то эти изоморфизмы ортогональны , то есть сохраняют скалярные произведения в различных касательных пространствах.

На изображениях ниже показан параллельный перенос связи Леви-Чивита, связанной с двумя разными римановыми метриками на плоскости, выраженными в полярных координатах . Метрика левого изображения соответствует стандартной евклидовой метрике , а метрика справа имеет стандартную форму в полярных координатах (когда ) и, таким образом, сохраняет вектор, касательный к окружности. Эта вторая метрика имеет особенность в начале координат, как можно увидеть, выразив ее в декартовых координатах: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle {\partial \over \partial \theta }}$

${\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

Параллельные перевозки по маршруту Леви-Чивита

Пример: единичная сфера в R 3

Пусть ⟨, ⟩ ^— обычное скалярное произведение на R3 . Пусть S2 — единичная сфера в R3 ^{. _} Касательное пространство к S2 в точке m естественным образом отождествляется с векторным подпространством R3 ^{, состоящим из всех векторов ,} ортогональных m . ^{Отсюда следует ,} что векторное поле Y на S2 можно рассматривать ^как отображение Y  : S2 → R3 , которое удовлетворяет ^{условию} ${\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.$

Обозначим dm _Y дифференциал отображения Y в точке m . Тогда у нас есть:

Лемма  —  Формула

$${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m}$$

определяет аффинную связность на S2 ^с исчезающим кручением.

Доказательство

Непосредственно доказывается, что ∇ удовлетворяет тождеству Лейбница и является линейной по первой переменной C ^∞ ( S ² ) . Также можно с помощью простых вычислений показать, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, это то, что приведенная выше формула создает векторное поле, касательное к S ² . То есть нам нужно доказать, что для всех m из S ²

$${\displaystyle {\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).}$$

Рассмотрим отображение f , которое переводит каждое m в S ² в ⟨ Y ( m ), m ⟩ , которое всегда равно 0. Отображение f является постоянным, следовательно, его дифференциал обращается в нуль. В частности

$${\displaystyle d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.}$$

Уравнение (1) выше следует. КЭД

Фактически эта связность является связностью Леви-Чивита для метрики на ^S2 , ^{унаследованной} от R3 . Действительно, можно проверить, что эта связность сохраняет метрику.

Поведение при конформном масштабировании

Если метрику в конформном классе заменить конформно перемасштабированной метрикой того же класса , то связность Леви-Чивита преобразуется по правилу ^[10] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}$

$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).}$$

${\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d\gamma }$ ${\displaystyle g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {\nabla }}}$ ${\displaystyle g(Y,Y)}$

$${\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).}$$

В качестве приложения снова рассмотрим единичную сферу, но на этот раз в стереографической проекции , так что метрика (в комплексных координатах Фубини–Студи ) равна: ${\displaystyle z,{\bar {z}}}$

$${\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}$$

${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$ ${\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}$ ${\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}$

$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.}$$

${\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})}$

$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.}$$

Смотрите также

• Соединение Вайценбека

Примечания

1. Леви-Чивита, Туллио (1917). «Nozione diparallismo in una varietà qualunque» [Понятие параллелизма на любом многообразии]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке). 42 : 173–205. дои : 10.1007/BF03014898. ЖФМ  46.1125.02. S2CID  122088291.
2. Кристоффель, Элвин Б. (1869). «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades». Журнал для королевы и математики . 1869 (70): 46–70. дои : 10.1515/crll.1869.70.46. S2CID  122999847.
3. См. Спивак, Майкл (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том II) . Опубликуй или погибни Пресса. п. 238. ИСБН 0-914098-71-3.
4. Брауэр, LEJ (1906). «Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген . 15 : 75–94.
5. Брауэр, LEJ (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств отрицательной кривизны». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Слушания . 9 : 116–133. Бибкод : 1906KNAB....9..116B.
6. Схоутен, Ян Арнольдус (1918). «Die Directe Analysis zur neueren Relativiteitstheorie». Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . 12 (6): 95.
7. Вейль, Герман (1918). «Гравитация и электризитат». Sitzungsberichte Berliner Akademie : 465–480.
8. Вейль, Герман (1918). «Бесконечно-малая геометрия Рейне». Mathematische Zeitschrift . 2 (3–4): 384–411. Бибкод : 1918MatZ....2..384W. дои : 10.1007/bf01199420. S2CID  186232500.
9. Карму, Манфредо Пердиган-ду (1992). Риманова геометрия. Фрэнсис Дж. Флаэрти. Бостон: Биркхойзер. ISBN 0-8176-3490-8. ОСЛК  24667701.
10. Артур Бесс (1987). Многообразия Эйнштейна . Спрингер. п. 58.

Рекомендации

• Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Академическая пресса. ISBN 0-12-116052-1.
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-470-49647-9.См. том I, стр. 158

Внешние ссылки

• «Связь Леви-Чивита», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: связь Леви-Чивита
• PlanetMath: связь Леви-Чивита
• Связь Леви-Чивита в Атласе многообразия