Аффинное соединение

В дифференциальной геометрии аффинная связность ^[a] — это геометрический объект на гладком многообразии , который соединяет близлежащие касательные пространства , поэтому позволяет дифференцировать касательные векторные поля , как если бы они были функциями на многообразии со значениями в фиксированном векторном пространстве . Связности — один из простейших способов задания дифференцирования сечений векторных расслоений . ^[3]

Понятие аффинной связи уходит корнями в геометрию и тензорное исчисление XIX века , но не было полностью разработано до начала 1920-х годов Эли Картаном (как часть его общей теории связей ) и Германом Вейлем (который использовал это понятие как часть его основ общей теории относительности ). Терминология принадлежит Картану ^[b] и берет свое начало в идентификации касательных пространств в евклидовом пространстве $Rn$ путем перевода: идея состоит в том, что выбор аффинной связности делает многообразие бесконечно похожим на евклидово пространство не просто гладко, а $как$ аффинное пространство .

На любом многообразии положительной размерности имеется бесконечное число аффинных связностей. Если многообразие дополнительно наделено метрическим тензором , то существует естественный выбор аффинной связности, называемой связностью Леви-Чивита . Выбор аффинной связности эквивалентен предписанию способа дифференцирования векторных полей, удовлетворяющего нескольким разумным свойствам ( линейности и правилу Лейбница ). Это дает возможное определение аффинной связности как ковариантной производной или (линейной) связности на касательном расслоении . Выбор аффинной связи также эквивалентен понятию параллельного транспорта , который представляет собой метод транспортировки касательных векторов вдоль кривых. Это также определяет параллельную транспортировку пакета кадров . Бесконечно малый параллельный транспорт в пакете кадров дает другое описание аффинного соединения: либо как соединение Картана для аффинной группы , либо как основное соединение в пакете кадров.

Основными инвариантами аффинной связности являются ее кручение и кривизна . Кручение измеряет, насколько точно скобка Ли векторных полей может быть восстановлена из аффинной связности. Аффинные связи также могут использоваться для определения (аффинных) геодезических на многообразии, обобщая прямые линии евклидова пространства, хотя геометрия этих прямых может сильно отличаться от обычной евклидовой геометрии ; основные различия заключены в кривизне соединения.

Мотивация и история

Гладкое многообразие — это математический объект, $который$ локально выглядит как гладкая деформация евклидова пространства $Rn$ : например, гладкая кривая или поверхность локально выглядит как гладкая деформация линии или плоскости. Гладкие функции и векторные поля можно определить на многообразиях так же, как и в евклидовом пространстве, а скалярные функции на многообразиях можно дифференцировать естественным образом. Однако дифференцирование векторных полей менее прямолинейно: это простой вопрос в евклидовом пространстве, потому что касательное пространство базовых векторов в точке $p$ может быть отождествлено естественным образом (путем перевода) с касательным пространством в соседней точке $q$ . На общем многообразии нет такой естественной идентификации между близлежащими касательными пространствами, и поэтому касательные векторы в соседних точках не могут сравниваться четко определенным образом. Понятие аффинной связности было введено, чтобы решить эту проблему путем соединения близлежащих касательных пространств. Истоки этой идеи можно проследить до двух основных источников: теории поверхностей и тензорного исчисления .

Мотивация из теории поверхности

Рассмотрим гладкую поверхность $S$ в трехмерном евклидовом пространстве. Вблизи любой точки $S$ можно аппроксимировать касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Дифференциальные геометры XIX века интересовались идеей развития , при которой одна поверхность катилась по другой, без скольжения и скручивания . В частности, касательную плоскость к точке $S$ можно катить по $S$ : это легко представить, когда $S$ представляет собой поверхность, подобную 2-сфере, которая является гладкой границей выпуклой области . Когда касательная плоскость катится по $S$ , точка контакта очерчивает кривую на $S. И наоборот, если на$ $S$ есть кривая , касательная плоскость может катиться вдоль этой кривой. Это дает возможность идентифицировать касательные плоскости в разных точках кривой: в частности, касательный вектор в касательном пространстве в одной точке кривой идентифицируется с уникальным касательным вектором в любой другой точке кривой. Эти отождествления всегда задаются аффинными преобразованиями из одной касательной плоскости в другую.

Это представление о параллельном переносе касательных векторов посредством аффинных преобразований вдоль кривой имеет характерную особенность: точка контакта касательной плоскости с поверхностью всегда движется вместе с кривой при параллельном переносе (т. е. когда касательная плоскость катится вдоль поверхность, точка контакта движется). Это родовое состояние характерно для связей Картана . В более современных подходах точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая в этом случае является векторным пространством), а движение начала координат корректируется перемещением, так что параллельный перенос является линейным, а не аффинным.

Однако с точки зрения связностей Картана аффинные подпространства евклидова пространства являются модельными поверхностями — они являются простейшими поверхностями в евклидовом 3-пространстве и однородны относительно аффинной группы плоскости — и каждая гладкая поверхность имеет уникальную поверхность модели, касательная к ней в каждой точке. Эти поверхности модели являются геометриями Клейна в смысле программы Эрлангена Феликса Кляйна . В более общем смысле, $n$ -мерное аффинное пространство — это геометрия Клейна для аффинной группы $Aff($ $n$ $)$ , стабилизатором точки является общая линейная группа $GL($ $n$ $)$ . Тогда аффинное $n$ -многообразие — это многообразие, которое бесконечно похоже на $n$ -мерное аффинное пространство.

Мотивация из тензорного исчисления

Вторая мотивация аффинных связей исходит из понятия ковариантной производной векторных полей. До появления координатно-независимых методов необходимо было работать с векторными полями, встраивая соответствующие им евклидовы векторы в атлас . Эти компоненты можно дифференцировать, но производные не преобразуются управляемым образом при изменении координат. ^{[ нужна цитата ]} Поправочные термины были введены Элвином Бруно Кристоффелем (следуя идеям Бернхарда Римана ) в 1870-х годах, так что (скорректированная) производная одного векторного поля вдоль другого трансформировалась ковариантно при преобразованиях координат — эти поправочные члены впоследствии стали известны как Символы Кристоффеля .

Эта идея была развита в теорию абсолютного дифференциального исчисления (теперь известного как тензорное исчисление ) Грегорио Риччи-Курбастро и его учеником Туллио Леви-Чивита между 1880 годом и началом 20-го века.

Однако тензорное исчисление действительно ожило с появлением общей теории относительности Альберта Эйнштейна в 1915 году. Через несколько лет после этого Леви-Чивита формализовал уникальную связь, связанную с римановой метрикой, теперь известную как Леви -Чивита. связь . Более общие аффинные связи были затем изучены примерно в 1920 году Германом Вейлем ^[5] , который разработал подробное математическое обоснование общей теории относительности, и Эли Картаном ^[6] , который установил связь с геометрическими идеями, пришедшими из теории поверхности .

Подходы

Сложная история привела к развитию самых разных подходов и обобщений концепции аффинной связи.

Самым популярным подходом, вероятно, является определение, основанное на ковариантных производных. С одной стороны, идеи Вейля были подхвачены физиками в виде калибровочной теории и калибровочных ковариантных производных . С другой стороны, понятие ковариантной дифференциации было абстрагировано Жаном-Луи Кошулем , который определил (линейные или Кошуля) связи на векторных расслоениях . На этом языке аффинная связность — это просто ковариантная производная или (линейная) связность на касательном расслоении .

Однако этот подход не объясняет ни геометрию аффинных связей, ни то, как они получили свое название. ^[c] Этот термин действительно берет свое начало в идентификации касательных пространств в евклидовом пространстве путем перевода: это свойство означает, что евклидово $n$ -пространство является аффинным пространством . (Альтернативно евклидово пространство — это главное однородное пространство или торсор группы переводов, которая является подгруппой аффинной группы.) Как упоминалось во введении, есть несколько способов уточнить это: один использует тот факт, что аффинная группа Связь определяет понятие параллельного переноса векторных полей вдоль кривой. Это также определяет параллельную транспортировку пакета кадров . Инфинитезимальный параллельный транспорт в пакете кадров дает другое описание аффинного соединения: либо как соединение Картана для аффинной группы $Aff(n)$ , либо как основное соединение $GL(n)$ в пакете кадров.

Формальное определение как дифференциальный оператор

Пусть $M$ — гладкое многообразие и $Γ(TM$ ) $—$ $пространство$ векторных полей на $M$ , т. е. пространство гладких сечений касательного расслоения $TM .$ Тогда аффинная связность на $M$ является билинейным отображением

{\begin{aligned}\Gamma (\mathrm {T} M)\times \Gamma (\mathrm {T} M)&\rightarrow \Gamma (\mathrm {T} M)\\(X,Y )&\mapsto \nabla _{X}Y\,,\end{aligned}}

такой, что для всех $f$ в множестве гладких функций на $M$ , записанных $C \infty (M, R)$ , и всех векторных полей $X, Y$ на $M$ :

$\nabla fX Y = f \nabla X Y$ , то есть $\nabla$ является $C \infty (M, R)$ - линейным по первой переменной;
$\nabla X (fY) = (\partial X f) Y + f \nabla X Y$ , где $\partial X$ обозначает производную по направлению ; то есть $\nabla$ удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Элементарные свойства

Из свойства 1, приведенного выше, следует, что значение $\nabla X Y$ в точке $x \in M$ зависит только от значения $X$ в точке $x$ , а не от значения $X$ в $M - {x}$ . Из свойства 2 выше также следует, что значение $\nabla X Y$ в точке $x \in M$ зависит только от значения $Y$ в окрестности точки $x$ .
Если $\nabla 1, \nabla 2$ — аффинные связности, то значение $\nabla$ в точке $x$ $1 х Y - \nabla 2 х Y$ может быть записано как $Γ x (X x, Y x)$ , где ${\ displaystyle \ Gamma _ {x}: \ mathrm {T} _ {x} M \ times \ mathrm {T} _ {x} M \ to \ mathrm {T} _ {x} M}$ билинейно и гладко зависит от $x$ (т. е. определяет гладкий гомоморфизм расслоения ). Обратно, если $\nabla$ — аффинная связность, а $Γ$ — такой гладкий билинейный гомоморфизм расслоения (называемый формой связности на $M$ ), то $\nabla + Γ$ — аффинная связность.
Если $M$ — открытое подмножество $Rn$ , то касательное расслоение к $M$ $—$ это тривиальное расслоение $M \times Rn . В$ $этой$ ситуации существует каноническая аффинная связность $d$ на $M$ : любое векторное поле $Y$ задается гладкой функцией $V$ от $M$ до $Rn$ ; тогда $d X Y$ — векторное поле, соответствующее гладкой функции $d V (X) = \partial X Y$ от $M$ до $R n$ . Поэтому любую другую аффинную связность $\nabla$ на $M$ можно записать $\nabla = d + Γ$ , где $Γ$ — форма связности на $M.$
В более общем смысле, локальная тривиализация касательного расслоения — это изоморфизм расслоения $между$ ограничением $TM$ на открытое подмножество $U$ в $M$ и $U$ $\times$ $Rn$ $.$ Тогда ограничение аффинной связности $\nabla$ на $U$ можно записать в виде $d + Γ$ , где $Γ$ — форма связности на $U$ .

Параллельная транспортировка для аффинных соединений

Сравнение касательных векторов в разных точках многообразия обычно не является четко определенным процессом. Аффинное соединение предоставляет один из способов исправить эту ситуацию, используя понятие параллельной транспортировки , и его действительно можно использовать для определения аффинного соединения.

Пусть $M$ — многообразие с аффинной связностью $\nabla$ . Тогда векторное поле $X$ называется параллельным, если ∇ $X = 0,$ в том смысле, что для любого векторного поля Y $\nabla$ $Y X = 0$ . Интуитивно говоря, все производные параллельных векторов равны нулю и поэтому в некотором смысле являются постоянными . Оценивая параллельное векторное поле в двух точках $x$ и $y$ , можно получить идентификацию между касательным вектором в точке $x$ и вектором в точке $y$ . Такие касательные векторы называются параллельными переносами друг друга.

Ненулевые параллельные векторные поля, вообще говоря, не существуют, поскольку уравнение $\nabla X = 0$ представляет собой переопределенное уравнение в частных производных : условием интегрируемости этого уравнения является обращение в нуль кривизны $\nabla$ (см. ниже) . Однако если это уравнение ограничить кривой от x $до$ y $,$ оно станет обыкновенным дифференциальным уравнением . Тогда существует единственное решение для любого начального значения $X$ в точке $x$ .

Точнее, если $γ : I \to M$ — гладкая кривая , параметризованная интервалом $[a, b]$ и $ξ \in T x M$ , где $x = γ (a)$ , то векторное поле $X$ вдоль $γ$ (и, в частности, значение этого векторного поля в точке $y = γ (b)$ ) называется параллельным переносом $ξ$ вдоль $γ$ , если

$\nabla γ' (т) Икс знак равно 0$ , для всех $т € [а, б]$
$Икс γ (а) знак равно ξ$ .

Формально первое условие означает, что $X$ параллельно относительно обратного соединения на расслоении обратного образа $γ * TM$ . Однако в локальной тривиализации это система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , которая имеет единственное решение для любого начального условия, заданного вторым условием (например, теоремой Пикара–Линделёфа ).

Таким образом, параллельная транспортировка обеспечивает способ перемещения касательных векторов вдоль кривой с использованием аффинной связи, чтобы они интуитивно оставались «указывающими в одном направлении», и это обеспечивает линейный изоморфизм между касательными пространствами на двух концах кривой. Полученный таким образом изоморфизм, вообще говоря, будет зависеть от выбора кривой: если это не так, то параллельный транспорт вдоль каждой кривой можно использовать для определения параллельных векторных полей на $M$ , что может произойти только в том случае, если кривизна $\nabla$ равна нулю. .

Линейный изоморфизм определяется его действием на упорядоченный базис или фрейм . Следовательно, параллельную транспортировку можно также охарактеризовать как способ транспортировки элементов (касательного) пакета кадров $GL(M)$ вдоль кривой. Другими словами, аффинная связность обеспечивает подъем любой кривой $γ$ в $M$ до кривой $γ̃$ в $GL(M)$ .

Формальное определение набора кадров

Аффинная связность также может быть определена как главная связность GL $(n)$ $ω$ на расслоении реперов $F M$ или $GL(M)$ многообразия $M.$ Более подробно, $ω$ — гладкое отображение касательного расслоения $T(F M)$ расслоения реперов в пространство матриц размера $n \times n$ (которое является алгеброй Ли $gl (n)$ группы Ли $GL(n)$ обратимых матрицы размера $n \times n$ ), удовлетворяющие двум свойствам:

$ω$ эквивариантно относительно действия $GL($ $n$ $)$ $на$ T $($ $FM$ $)$ и $gl$ $($ n $)$ ;
$ω (X ξ) = ξ$ для любого $ξ$ в $gl (n)$ , где $X ξ$ — векторное поле на $F M$ , соответствующее $ξ$ .

Такая связность $ω$ сразу определяет ковариантную производную не только на касательном расслоении, но и на векторных расслоениях , ассоциированных с любым групповым представлением GL $(n)$ , включая расслоения тензоров и тензорных плотностей . И наоборот, аффинная связность на касательном расслоении определяет аффинную связность на расслоении фреймов, например, требуя, чтобы $ω$ обращалась в нуль на касательных векторах к подъемам кривых к расслоению фреймов, определенному параллельным переносом.

Пакет кадров также оснащен паяной формой $θ : T(F M) \to R n$ , которая горизонтальна в том смысле, что она обращается в нуль на вертикальных векторах , таких как точечные значения векторных полей $X ξ$ : Действительно, $θ$ определяется сначала формулой проецируя касательный вектор (к $FM$ $в$ кадре $f$ ) на $M$ , затем взяв компоненты этого касательного вектора на $M$ относительно кадра $f$ . Обратите внимание, что $θ$ также $GL($ $n$ $)$ $-эквивариантен$ (где $GL(n)$ действует на $Rn$ путем умножения матриц).

Пара $(θ, ω)$ определяет изоморфизм расслоения T $(F M)$ с тривиальным расслоением $F M \times aff (n)$ , где $aff (n)$ — декартово произведение $R n$ и $gl (n)$ (рассматриваемое как Алгебра Ли аффинной группы, которая на самом деле является полупрямым произведением – см. ниже).

Аффинные связи как связности Картана

Аффинные соединения могут быть определены в рамках общей структуры Картана. ^[7] В современном подходе это тесно связано с определением аффинных связностей на связке кадров. Действительно, в одной формулировке связность Картана — это абсолютный параллелизм главного расслоения, удовлетворяющего подходящим свойствам. С этой точки зрения $aff (n)$ -значная однозначная форма $(θ, ω) : T(F M) \to aff (n)$ на расслоении реперов (аффинного многообразия ) является связностью Картана. Однако первоначальный подход Картана отличался от этого во многих отношениях:

понятия пакетов фреймов или основных пакетов не существовало;
связь рассматривалась как параллельный транспорт между бесконечно близкими точками; ^[д]
этот параллельный транспорт был аффинным, а не линейным;
перевозимые объекты были не касательными векторами в современном понимании, а элементами аффинного пространства с отмеченной точкой, которую картановская связь в конечном итоге отождествляет с касательным пространством.

Объяснения и историческая интуиция

Только что поднятые вопросы легче всего объяснить наоборот, исходя из мотивации, обеспечиваемой теорией поверхности. В этой ситуации, хотя плоскости, катящиеся по поверхности, являются касательными плоскостями в наивном смысле, понятие касательного пространства на самом деле является бесконечно малым понятием, ^[e] тогда как плоскости, как аффинные подпространства R $3$ , бесконечны по протяженности $.$ . Однако все эти аффинные плоскости имеют отмеченную точку, точку контакта с поверхностью, и в этой точке они касаются поверхности. Таким образом, возникает путаница, поскольку аффинное пространство с отмеченной точкой можно отождествить с касательным пространством в этой точке. Однако параллельный перенос, определяемый прокаткой, не фиксирует это происхождение: он скорее аффинный , чем линейный; линейный параллельный транспорт можно восстановить, применив трансляцию.

Абстрагируя эту идею, аффинное многообразие, следовательно, должно быть $n$ $-многообразием$ $M$ с $аффинным$ пространством $Ax$ размерности $n$ , прикрепленным $к$ каждому $x \in$ $M$ в отмеченной точке $ax \in Ax$ вместе с методом транспортировки элементов эти аффинные пространства вдоль любой кривой $C$ в $M$ . Этот метод должен удовлетворять нескольким свойствам:

для любых двух точек $x, y$ на $C$ параллельный транспорт — это аффинное преобразование из $A x$ в $A y$ ;
параллельный транспорт определяется бесконечно малым в том смысле, что он дифференцируем в любой точке $C$ и зависит только от касательного вектора к $C$ в этой точке;
производная параллельного переноса в точке $x$ определяет линейный изоморфизм от $T x M$ до $T a x A x$ .

Эти последние два пункта довольно сложно уточнить ^[9] , поэтому аффинные связи чаще определяются бесконечно малыми. Чтобы обосновать это, достаточно рассмотреть, как аффинные системы отсчета трансформируются бесконечно мало по отношению к параллельной транспортировке. (Это источник метода перемещения кадров Картана .) Аффинный кадр в точке состоит из списка $(p, e 1,\dots en)$ , где $p \in A x [$ $f$ ^] и $ei образуют$ базис $Т п (А Икс)$ . Тогда аффинная связность символически задается дифференциальной системой первого порядка.

(*){\begin{cases}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\mathbf { e} _{n}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\omega _{i}^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _ {i}^{n}\mathbf {e} _{n}\end{cases}}\quad i=1,2,\ldots,n

определяется набором одноформ $(θ j, ω Джи я)$ . Геометрически аффинная система отсчета претерпевает перемещение вдоль кривой $γ$ от $γ (t)$ до $γ (t + δt)$ , заданное (приблизительно или бесконечно мало) формулой

{\begin{aligned}p(\gamma (t+\delta t)) -p(\gamma (t))&=\left(\theta ^{1}\left(\gamma '(t)\ right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\mathrm {\delta } t\\\mathbf {e} _{i}(\gamma (t+\delta t))-\mathbf {e} _{i}(\gamma (t))&=\left(\omega _{i }^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\left(\gamma '(t)\ right)\mathbf {e} _{n}\right)\delta t\,.\end{aligned}}

Более того, аффинные пространства $A x$ должны касаться $M в$ $неформальном$ смысле, что смещение $x$ вдоль $γ$ можно отождествить (приблизительно или бесконечно мало) с вектором касания $γ'(t)$ к $γ$ в точке $x = γ (t)$ (что является бесконечно малым смещением $x$ ). С

a_{x}(\gamma (t+\delta t)) -a_{x}(\gamma (t))=\theta \left(\gamma '(t)\right)\delta t\,,

где $θ$ определяется формулой $θ (X) = θ 1 (X) e 1 + \dots + θ n (X) e n$ , это отождествление задается формулой $θ$ , поэтому требование состоит в том, чтобы $θ$ был линейным изоморфизмом в каждой точке.

Таким образом , касательное аффинное пространство $A x$ интуитивно отождествляется с бесконечно малой аффинной окрестностью $x$ .

Современная точка зрения уточняет всю эту интуицию с помощью главных расслоений (основная идея состоит в том, чтобы заменить фрейм или переменный фрейм пространством всех фреймов и функций на этом пространстве). Он также черпает вдохновение из программы Феликса Кляйна « Эрланген» ^[10] , в которой геометрия определяется как однородное пространство . В этом смысле аффинное пространство является геометрией и снабжено плоской связностью Картана. Таким образом, общее аффинное многообразие рассматривается как искривленная деформация геометрии плоской модели аффинного пространства.

Аффинное пространство как геометрия плоской модели

Определение аффинного пространства

Неформально аффинное пространство — это векторное пространство без фиксированного выбора начала координат . Он описывает геометрию точек и свободных векторов в пространстве. Из-за отсутствия начала координат точки в аффинном пространстве не могут быть сложены вместе, поскольку для этого требуется выбор начала координат, с помощью которого можно сформировать закон параллелограмма для сложения векторов. Однако вектор $v$ можно добавить к точке $p$ , поместив начальную точку вектора в $точку p$ и затем перенеся $p$ в конечную точку. Описанная таким $образом$ операция $p \to p + v$ представляет собой сдвиг p вдоль $v$ . Говоря техническим языком, аффинное $n$ -пространство — это множество $An$ $,$ снабженное свободным транзитивным действием векторной группы $Rn на нем$ $посредством$ $этой$ операции переноса точек: Таким образом $,$ $An$ является главным однородным пространством для векторной группы $Rn$ .

Общая линейная группа $GL(n)$ — это группа преобразований Rn $,$ которые сохраняют линейную структуру Rn $в$ том смысле, что $T$ $($ $av + bw) = aT (v) + bT (w)$ . По аналогии, аффинная группа $Aff(n)$ — это группа преобразований $An,$ сохраняющих аффинную структуру . Таким образом, $φ \in Aff(n)$ должна сохранять сдвиги в том смысле, что

{\ displaystyle \ varphi (p + v) = \ varphi (p) + T (v)}

где $T$ — общее линейное преобразование. Отображение, переводящее $φ \in Aff(n)$ в $T \in GL(n),$ является групповым гомоморфизмом . Его ядром $является$ группа трансляций $Rn$ . Таким образом, стабилизатор любой точки $p$ в $A$ можно отождествить с $GL($ $n$ $) с помощью$ $этой$ проекции: это реализует аффинную группу как полупрямое произведение GL $($ $n$ $)$ и $Rn$ , а аффинное пространство — как однородное пространство $Aff($ $n$ $). /ГЛ($ $н$ $)$ .

Аффинные фреймы и плоская аффинная связь

Аффинный фрейм для $A$ состоит из точки $p \in A$ и базиса $(e 1,\dots en)$ векторного $пространства$ $T p A = R n$ . Общая линейная группа $GL(n)$ свободно действует на множестве $F A$ всех аффинных фреймов, фиксируя $p$ $и$ преобразуя базис $(e1,\dots en) обычным$ способом, а отображение $π$ отправляет аффинный фрейм $(p; e 1,\dots en)$ в $p$ $—$ это фактор-отображение . Таким образом, F $A является$ главным GL $(n)$ -расслоением над $A.$ Действие $GL(n)$ естественным образом продолжается до свободного транзитивного действия аффинной группы Aff $(n)$ на $F A$ , так что $F A$ является $Aff(n)$ -торсором , и выбор системы отсчета идентифицирует $F$ $A$ $\to$ $A$ с главным расслоением $Aff($ $n$ $) \to Aff($ $n$ $)/GL($ $n$ $)$ .

На $F A$ существует набор из $n + 1$ функций, определяемых формулами

\pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots,\mathbf {e} _{n})=p

(как и раньше) и

{\ displaystyle \varepsilon _ {i} (p; \ mathbf {e} _ {1}, \ dots, \ mathbf {e} _ {n}) = \ mathbf {e} _ {i} \,.}

После выбора базовой точки для $A$ все это функции со значениями в $Rn$ , поэтому можно взять их внешние производные $,$ чтобы получить дифференциальные 1-формы со $значениями$ в $Rn$ . Поскольку функции $εi$ дают базис для $Rn$ в каждой точке $F A , эти 1$ $-$ $формы должны быть выражены$ как суммы вида

{\begin{aligned}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{ выровнено}}

для некоторого набора $(θ i, ω к дж) 1 \leq i, j, k \leq n$ вещественнозначных одноформ на $Aff(n)$ . Эта система одноформ на главном расслоении $F A \to A$ определяет аффинную связность на $A$ .

Взяв внешнюю производную второй раз и используя тот факт, что $d$ $2 = 0$ , а также линейную независимость ε $i$ , получаем следующие соотношения:

{\begin{aligned}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _{i}\omega _{i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\ \mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0\,. \end{выровнено}}

Это уравнения Маурера–Картана для группы Ли $Aff(n)$ (отождествляемой с $F A$ выбором системы отсчета). Более того:

система Пфаффа $θj = 0$ (для всех $j$ ) интегрируема , а ее $целочисленные$ многообразия являются слоями главного расслоения $Aff(n)$ → $A.$
система Пфаффа $ω Джи я = 0$ ( для всех $i, j$ ) также интегрируемо, и его интегральные многообразия определяют параллельный перенос в $F A.$

Таким образом, формы $(ω Джи я)$ определяют плоскую главную связность на $F A \to A$ .

Для строгого сравнения с мотивацией фактически следует определить параллельный транспорт в главном $Aff(n)$ -расслоении над $A.$ Это можно сделать, отведя $F$ $A$ назад по гладкому отображению $φ$ $:$ $R$ $n$ $\times$ $A$ $\to$ $A$ , определенному сдвигом. Тогда композиция $φ$ $' * F$ $A$ $\to F$ $A$ $\to$ $A$ является главным $Aff($ $n$ $)$ -расслоением над $A$ , и формы $($ $θ$ $i$ $,$ $ω$ $к дж)$ откатиться назад , чтобы получить плоскую главную $Aff(n)$ -связность на этом расслоении.

Общие аффинные геометрии: формальные определения

Аффинное пространство, как и любая гладкая геометрия Клейна , представляет собой многообразие, снабженное плоской связностью Картана. Более общие аффинные многообразия или аффинные геометрии легко получить, отбросив условие плоскостности, выраженное уравнениями Маурера-Картана. Существует несколько подходов к этому определению, и будут даны два. Оба определения облегчаются осознанием того, что 1-формы $(θ i, ω к дж)$ в плоской модели сходятся вместе, образуя 1-форму со значениями в алгебре Ли $aff (n)$ аффинной группы $Aff(n)$ .

В этих определениях $M$ — гладкое $n$ -многообразие, а $A = Aff(n)/GL(n)$ — аффинное пространство той же размерности.

Определение через абсолютный параллелизм

Пусть $M$ — многообразие, а $P$ — главное $GL(n)$ -расслоение над $M.$ Тогда аффинная связность — это 1-форма $η$ на $P$ со значениями в $aff (n)$ , удовлетворяющая следующим свойствам

$η$ эквивариантно относительно действия $GL(n)$ на $P$ и $aff (n)$ ;
$η (X ξ) = ξ$ для всех $ξ$ в алгебре Ли $gl (n)$ всех $матриц размера n \times n$ ;
$η$ — линейный изоморфизм каждого касательного пространства к $P$ с $aff (n)$ .

Последнее условие означает, что $η$ является абсолютным параллелизмом на $P$ , т. е. отождествляет касательное расслоение к $P$ с тривиальным расслоением (в данном случае $P \times aff (n)$ ). Пара $(P, η)$ определяет структуру аффинной геометрии на $M$ , превращая ее в аффинное многообразие .

Аффинная алгебра Ли $aff (n)$ распадается как полупрямое произведение $Rn$ и $gl (n)$ , поэтому $η$ можно записать в виде пары $(θ, ω)$ , где $θ$ принимает значения в $Rn,$ а $ω$ $принимает$ значения в $gl (n)$ . Условия 1 и 2 эквивалентны тому, что $ω$ является главной $GL(n)$ -связностью и $θ$ является горизонтальной эквивариантной 1-формой, которая индуцирует гомоморфизм расслоения из $TM$ в ассоциированное расслоение $P \times GL(n) R$ $n$ $.$ Условие 3 эквивалентно тому, что этот гомоморфизм расслоения является изоморфизмом. (Однако это разложение является следствием довольно специфической структуры аффинной группы.) Поскольку $P$ — расслоение фреймов P $\times GL (n) Rn$ , отсюда следует, что $θ$ $обеспечивает$ изоморфизм расслоения между $P$ и расслоением фреймов $F М$ из $М$ ; это восстанавливает определение аффинной связи как основной $GL($ $n$ $)$ $-связности$ на $FM$ .

1-формы, возникающие в плоской модели, представляют собой не что иное, как компоненты $θ$ и $ω$ .

Определение как главная аффинная связность

Аффинная связность на $M$ — это главное $Aff(n)$ -расслоение $Q$ над $M$ вместе с главным $GL(n)$ -подрасслоением $P$ Q и главным $Aff($ $n$ $)$ $-связностью$ $α$ (1-форма на Q $со$ значениями в $aff$ $($ $n$ $)$ ), который удовлетворяет следующему (общему) условию Картана . Компонент $Rn$ обратного преобразования $α$ в $P является горизонтальной эквивариантной 1-$ $формой$ $и, таким$ образом, определяет гомоморфизм расслоения из $TM$ в $P$ $\times$ $GL($ $n$ $)$ $Rn$ $:$ это должно быть изоморфизмом.

Отношение к мотивации

Поскольку $Aff(n)$ действует на $A$ , существует связанное с главным расслоением $Q$ расслоение $A = Q \times Aff(n) A$ , которое является расслоением над $M$ , слой которого в точке $x$ в $M$ является аффинным пространством $A x$ . Сечение a множества $A$ (определяющее отмеченную точку $a$ $x$ в $A$ $x$ для каждого $x$ $\in$ $M$ ) определяет главное $GL($ $n$ $)$ -подрасслоение $P$ множества $Q$ (как пучок стабилизаторов этих отмеченных точек) и наоборот $.$ Основное соединение $α$ определяет соединение Эресмана на этом расслоении, отсюда и понятие параллельного транспорта. Условие Картана гарантирует, что выделенный участок $a$ всегда движется параллельно.

Дополнительные свойства

Кривизна и кручение

Кривизна и кручение — основные инварианты аффинной связности. Поскольку существует множество эквивалентных способов определения понятия аффинной связности, существует множество различных способов определения кривизны и кручения.

С точки зрения связи Картана, кривизна - это неспособность аффинной связи $η$ удовлетворять уравнению Маурера – Картана.

\mathrm {d} \eta + {\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,

где второй член в левой части — это клиновое произведение , использующее скобку Ли в $aff (n)$ для сжатия значений. Разлагая $η$ в пару $(θ, ω)$ и используя структуру алгебры Ли $aff (n)$ , эту левую часть можно разложить до двух формул

\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta \quad {\text{and}} \quad \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega \,,

где произведения клина оцениваются с помощью матричного умножения. Первое выражение называется кручением связи, а второе еще называется кривизной.

Эти выражения являются дифференциальными 2-формами на всем пространстве расслоения реперов. Однако они горизонтальны и эквивариантны и, следовательно, определяют тензорные объекты. $Их$ можно определить непосредственно из индуцированной ковариантной производной $\nabla$ на $TM$ следующим образом.

Кручение определяется формулой

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].

Если кручение исчезает, то связь называется без кручения или симметричной .

Кривизна определяется формулой

R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X ,Y]}Z.

Обратите внимание, что $[X, Y]$ — скобка Ли векторных полей.

[X,Y]=\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}

в обозначениях Эйнштейна . Это не зависит от выбора системы координат и

\partial _{i}=\left({\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\right)_{p}\,,

касательный вектор в точке $p$ i $-$ й координатной кривой . ∂i $являются$ естественным базисом касательного пространства в точке $p$ $,$ $а$ Xi $—$ $соответствующими$ координатами векторного поля $X$ $=$ $Xi$ $\partiali$ $.$

Когда и кривизна, и кручение исчезают, связность определяет структуру пре-алгебры Ли в пространстве глобальных сечений касательного расслоения.

Связь Леви-Чивита

Если $(M, g)$ — риманово многообразие , то существует единственная аффинная связность $\nabla$ на $M$ со следующими двумя свойствами:

связь без кручения, т. е. $T \nabla$ равно нулю, так что $\nabla X Y - \nabla Y X = [X, Y]$ ;
параллельный транспорт является изометрией, т.е. скалярные произведения (определенные с помощью $g$ ) между касательными векторами сохраняются.

Эта связь называется связью Леви-Чивита .

Термин «симметричный» часто используется вместо термина «без кручения» для первого свойства. Второе условие означает, что связность является метрической связностью в том смысле, что риманова метрика $g$ параллельна: $\nabla g = 0$ . Для соединения без кручения условие эквивалентно тождеству $X g (Y, Z)$ = $g ( \nabla X Y, Z)$ + $g (Y, \nabla X Z)$ , «совместимость с метрикой». ^[11] В локальных координатах компоненты формы называются символами Кристоффеля : из-за единственности связи Леви-Чивита существует формула для этих компонентов через компоненты $g$ .

Геодезика

Поскольку прямые линии являются концепцией аффинной геометрии, аффинные связи определяют обобщенное понятие (параметризованных) прямых линий на любом аффинном многообразии, называемое аффинными геодезическими. Абстрактно, параметрическая кривая $γ : I \to M$ является прямой линией, если ее касательный вектор остается параллельным и равносильным самому себе при перемещении вдоль $γ$ . С линейной точки зрения аффинная связность $M$ отличает аффинные геодезические следующим образом: гладкая кривая $γ : I \to M$ является аффинной геодезической , если она параллельно переносится вдоль $γ$ , т.е. ${\dot {\gamma }}$

\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)

где $τ с т : T γ s M \to T γ t M$ — параллельное транспортное отображение, определяющее соединение.

В терминах бесконечно малой связи $\nabla$ производная этого уравнения влечет за собой

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0

для всех $t \in I.$

И наоборот, любое решение этого дифференциального уравнения дает кривую, касательный вектор которой параллельно перемещается вдоль кривой. Для каждого $x \in M$ и каждого $X \in T x M$ существует единственная аффинная геодезическая $γ : I \to M$ такая, что $γ (0) = x$ и $γ̇ (0) = X$ , и где $I$ — максимальный открытый интервал в $R$ , содержащий 0, на котором определена геодезическая. Это следует из теоремы Пикара–Линделёфа и позволяет определить экспоненциальное отображение , связанное с аффинной связностью.

В частности, когда $M$ — ( псевдо- ) риманово многообразие и $\nabla$ — связность Леви-Чивита , то аффинные геодезические являются обычными геодезическими римановой геометрии и являются кривыми, минимизирующими локальное расстояние.

Определенные здесь геодезические иногда называют аффинно параметризованными , так как данная прямая в $M$ определяет параметрическую кривую $γ$ через прямую с точностью до выбора аффинной перепараметризации $γ (t) \to γ (at + b)$ , где $a$ и $b$ — константы . Касательный вектор к аффинной геодезической параллелен и равнополезен вдоль себя. Непараметризованная геодезическая или геодезическая, которая просто параллельна сама себе, но не обязательно является равноправной, должна только удовлетворять

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=k{\dot {\gamma }}

для некоторой функции $k$ , определенной вдоль $γ$ . Непараметрические геодезические часто изучаются с точки зрения проективных связностей .

Разработка

Аффинная связность определяет понятие развития кривых. Интуитивно, развитие отражает идею о том, что если $x t$ — кривая в $M$ , то аффинное касательное пространство в точке $x 0$ можно катить вдоль кривой. При этом отмеченная точка контакта между касательным пространством и многообразием очерчивает кривую $Ct в этом аффинном пространстве$ : развитие $xt .$

Формально, пусть $τ 0 т : T x t M \to T x 0 M$ — линейно-параллельная транспортная карта, связанная с аффинным соединением. Тогда развитие $C t$ - кривая в $T x 0 M$ начинается в 0 и параллельна касательной $x t$ в течение всего времени $t$ :

{\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t}\,,\quad C_{0}=0.

В частности, $x t$ является геодезической тогда и только тогда, когда ее развертка представляет собой аффинно параметризованную прямую в $T x 0 M$ . ^[12]

Возвращение к теории поверхности

Если $M$ — поверхность в $R3$ $,$ то легко видеть, что $M$ имеет естественную аффинную связность. С точки зрения линейной связи, ковариантная производная векторного поля определяется путем дифференцирования векторного поля, рассматриваемого как отображение от $M$ до $R 3$ , и затем ортогонального проецирования результата обратно на касательные пространства $M$ . Легко видеть, что эта аффинная связность не имеет кручения. Более того, это метрическая связность относительно римановой метрики на $M$ , индуцированной скалярным произведением на $R 3$ , следовательно, это связность Леви-Чивита этой метрики.

Пример: единичная сфера в евклидовом пространстве.

Пусть $⟨, ⟩$ — обычное скалярное произведение на $R3,$ и пусть $S2 —$ единичная сфера. Касательное пространство к $S2$ в точке $x$ естественным образом отождествляется с векторным подпространством $R3, состоящим из всех векторов$ $,$ ортогональных $x$ . Отсюда следует $,$ что векторное поле $Y$ на $S2$ можно рассматривать как отображение $Y : S2 \to R3$ $,$ которое удовлетворяет $условию$

\langle Y_{x},x\rangle =0\,,\quad \forall x\in \mathbf {S} ^{2}.

Обозначим $d Y$ дифференциал (матрицу Якобиана) такого отображения. Тогда у нас есть:

Лемма . Формула

(\nabla _{Z}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(Z_{x})+\langle Z_{x},Y_{x}\rangle x

определяет аффинную связность на

S2 с

исчезающим кручением.

Доказательство . Непосредственно доказывается, что

\nabla

удовлетворяет тождеству Лейбница и является

C \infty (S 2)

линейной по первой переменной. Итак, все, что здесь нужно доказать, это то, что приведенная выше карта действительно определяет касательное векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех

x

из

S 2

{\bigl \langle }(\nabla _{Z}Y)_{x},x{\bigr \rangle }=0\,.\qquad {\text{(Eq.1)}}

Рассмотрите карту

{\begin{aligned}f:\mathbf {S} ^{2}&\to \mathbf {R} \\x&\mapsto \langle Y_{x},x\rangle \,.\end{aligned}}

Отображение f постоянно, следовательно, его дифференциал равен нулю. В частности

\mathrm {d} f_{x}(Z_{x})={\bigl \langle }(\mathrm {d} Y)_{x}(Z_{x}),x(\gamma '(t)){\bigr \rangle }+\langle Y_{x},Z_{x}\rangle =0\,.

Далее следует уравнение 1, приведенное выше. КЭД

Смотрите также

Примечания

^ линейное соединение также часто называют аффинным соединением или просто соединением , ^[1] Так что не существует согласия относительно точных определений этих терминов (Джон М. Ли просто называет это соединением ). ^[2]
↑ Картан объясняет, что он позаимствовал этот термин (т.е. «аффинная связь») из книги Х. Вейля и ссылался на него ( Пространство-Время-Материя ), хотя использовал его в более общем контексте. ^[4]
^ В результате многие математики используют термин линейное соединение (вместо аффинного соединения ) для соединения на касательном расслоении на том основании, что параллельный перенос является линейным, а не аффинным. Однако то же самое свойство справедливо для любой связности (Кошуля или линейной Эресмана) на векторном расслоении . Первоначально термин «аффинная связность» является сокращением от аффинной связности в смысле Картана, и это означает, что связность определена на касательном расслоении, а не на произвольном векторном расслоении. Понятие линейной связности Картана на самом деле не имеет особого смысла, поскольку линейные представления не транзитивны.
^ Трудно сделать интуицию Картана точной, не прибегая к гладкому анализу бесконечно малых величин , но один из способов - считать его точки переменными , то есть отображать какое-то невидимое пространство параметров в многообразие, которое затем можно дифференцировать.
^ Классически касательное пространство рассматривалось как бесконечно малое приближение, тогда как в современной дифференциальной геометрии касательные пространства часто определяются в терминах дифференциальных объектов, таких как дифференцирования. ^[8]
^ Это можно рассматривать как выбор начала координат: на самом деле достаточно рассмотреть только случай $p = a x$ ; Картан неявно отождествляет это с $x$ в $M.$

Цитаты

^ Ли 1997, с. 51.
^ Ли 2018, с. 91.
^ Ли 2018, с. 88, Соединения.
^ Акивис и Розенфельд 1993, с. 213.
^ Вейль 1918, 5 изданий по 1922 год.
^ Картан 1923.
^ Картан 1926.
^ Кобаяши и Номидзу 1996, Том 1, разделы 1.1–1.2
^ Подробности см. в Lumiste (2001b). Следующая интуитивная трактовка принадлежит Картану (1923) и Картану (1926).
^ См. Р. Германн (1983), Приложение 1–3 к Картану (1951), а также Шарп (1997).
^ Кобаяши и Номидзу 1996, с. 160, Том. я
^ Эта трактовка развития взята из книги Кобаяши и Номидзу (1996, том 1, предложение III.3.1); более геометрическую трактовку см. в разделе III.3. См. также Шарп (1997) для подробного обсуждения развития в других геометрических ситуациях.

Библиография

Основные исторические ссылки

Кристоффель, Элвин Бруно (1869), «Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1869 (70): 46–70, doi : 10.1515/crll.1869.70.46, S2CID 122999847
Леви-Чивита, Туллио (1917), «Nozione di Parallismo in una varietà qualunque e conseguente specazione geometry della curvatura Riemanniana», Rend. Цирк. Мат. Палермо , 42 : 173–205, номер документа : 10.1007/bf03014898, S2CID 122088291.
Картан, Эли (1923), «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (première party)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751
Картан, Эли (1924), «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (première party) (Suite)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25, doi : 10.24033/ asens.753
Картан, Эли (1986), О многообразиях с аффинной связностью и общей теории относительности , Humanities Press

Рассмотрение Картаном аффинных связей мотивировано изучением теории относительности. Включает подробное обсуждение физики систем отсчета и того, как связь отражает физическое понятие транспорта по мировой линии .

Картан, Эли (1926), «Пространства аффинной, проективной и конформной связи», Acta Math. , 48 : 1–42, doi : 10.1007/BF02629755

Более математически мотивированное описание аффинных связей.

Картан, Эли (1951), с приложениями Роберта Германа (редактор), Геометрия римановых пространств (перевод Джеймса Глейзбрука из Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2-е изд.), Math Sci Press, Массачусетс (опубликовано в 1983 г.) , ISBN 978-0-915692-34-7.

Аффинные связности с точки зрения римановой геометрии . В приложениях Роберта Германа обсуждаются мотивы теории поверхностей, а также понятие аффинных связей в современном смысле Кошуля. Он развивает основные свойства дифференциального оператора ∇ и связывает их с классическими аффинными связностями в смысле Картана.

Вейль, Герман (1918), Raum, Zeit, Materie (5 изданий до 1922 г., с примечаниями Юргена Элерса (1980), перевод 4-го издания « Пространство, время, материя» Генри Броза, 1922 г. (Метуэн, перепечатано в 1952 г. Дувром) изд. ), Шпрингер, Берлин, ISBN 0-486-60267-2

Вторичные ссылки

Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Vols. 1 и 2 (новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.

Это основная ссылка на технические детали статьи. Глава III тома 1 дает подробное описание аффинных связностей с точки зрения главных расслоений на многообразии, параллельного переноса, развития, геодезических и связанных с ними дифференциальных операторов. В главе VI тома 1 излагаются аффинные преобразования, кручение и общая теория аффинной геодезии. Во втором томе дается ряд приложений аффинных связностей к однородным пространствам и комплексным многообразиям , а также к другим различным темам.

Лумисте, Юло (2001a) [1994], «Аффинная связь», в Хазевинкеле, Михиэле (редактор), Энциклопедия математики , EMS Press , ISBN 978-1-55608-010-4.
Лумисте, Юло (2001b) [1994], «Соединения на многообразии», в Хазевинкеле, Михиэле (редактор), Энциклопедия математики , EMS Press , ISBN 978-1-55608-010-4.

Две статьи Лумисте, дающие точные условия на параллельных транспортных картах для определения аффинных связей. Они также рассматривают кривизну, кручение и другие стандартные темы с классической точки зрения (неглавного расслоения).

Шарп, RW (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.

Это дополняет некоторые исторические детали и дает более удобное для читателя элементарное описание связей Картана в целом. Приложение А поясняет взаимосвязь между точками зрения принципиальной связи и абсолютного параллелизма. Приложение B устраняет разрыв между классической «скользящей» моделью аффинных связностей и современной моделью, основанной на главных расслоениях и дифференциальных операторах.