Это список формул , встречающихся в римановой геометрии . На протяжении всей статьи используются обозначения Эйнштейна . В этой статье используется соглашение о знаках «аналитика» для лапласианов, если не указано иное.
Символы Кристоффеля, ковариантная производная
На гладкой координатной карте символы Кристоффеля первого рода имеют вид
![{\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\ частичное {\partial x^{i}}}g_{kj}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2 }}\left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и символы Кристоффеля второго рода
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma ^{m}{}_{ij}&=g^{mk}\Gamma _{kij}\\&={\frac {1}{2}}\, g^{mk}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}g_{kj }-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2}}\,g^{mk}\left(g_{ki ,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\,.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вот обратная матрица к метрическому тензору . Другими словами,![{\displaystyle g^{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta ^{i}{}_{j}=g^{ik}g_{kj}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и поэтому
![{\displaystyle n=\delta ^{i}{}_{i}=g^{i}{}_{i}=g^{ij}g_{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
есть размерность многообразия .
Символы Кристоффеля удовлетворяют соотношениям симметрии.
или, соответственно, ,![{\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
второй из которых эквивалентен безкрученности связи Леви-Чивита .
Сжимающие отношения на символах Кристоффеля задаются формулой
![{\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{ki}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x^{k} }}={\frac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {|g|}}} {\partial x^{k}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\displaystyle g^{k\ell }\Gamma ^{i}{}_{k\ell } = {\frac {-1}{\sqrt {|g|}}}\;{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,g^{ik}\right)}{\partial x^{k}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где | г | — абсолютное значение определителя метрического тензора . Они полезны при работе с дивергенциями и лапласианами (см. ниже).![{\displaystyle g_{ik}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ковариантная производная векторного поля с компонентами определяется выражением:![{\displaystyle v^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v^{i}{}_{;j}=(\nabla _{j}v)^{i}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j} }}+\Гамма ^{i}{}_{jk}v^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и аналогично ковариантная производная a - тензорного поля с компонентами определяется выражением:![{\displaystyle (0,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{i;j}=(\nabla _{j}v)_{i}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma ^{ k}{}_{ij}v_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для -тензорного поля с компонентами это становится![{\displaystyle (2,0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v^{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v^{ij}{}_{;k}=\nabla _{k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}} +\Gamma ^{i}{}_{k\ell }v^{\ell j}+\Gamma ^{j}{}_{k\ell }v^{i\ell }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и то же самое для тензоров с большим количеством индексов.
Ковариантная производная функции (скаляра) — это ее обычный дифференциал:![{\displaystyle \фи }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{i}\phi =\phi _{;i}=\phi _{,i}={\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку связность Леви-Чивита метрически совместима, ковариантные производные метрик исчезают:
![{\displaystyle (\nabla _{k}g)_{ij}=0, \quad (\nabla _{k}g)^{ij}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
а также ковариантные производные определителя метрики (и элемента объема)
![{\displaystyle \nabla _{k}{\sqrt {|g|}}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Геодезическая , начинающаяся в начале координат с начальной скоростью, имеет на карте расширение Тейлора:![{\displaystyle X (т)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X(t)^{i}=tv^{i}-{\frac {t^{2}}{2}}\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{j}v ^{k}+O(t^{3})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тензоры кривизны
Определения
![{\displaystyle {R_{ijk}}^{l}={\frac {\partial \Gamma _{ik}^{l}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial \Gamma _{jk}^{l}}{\partial x^{i}}}+{\big (}\Gamma _{ik}^{p}\Gamma _{jp}^{l}-\Gamma _{ jk}^{p}\Gamma _{ip}^{l}{\big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R(u,v)w =\nabla _{u} \nabla _{v}w-\nabla _{v} \nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {R_{jkl}^{i}}={\frac {\partial \Gamma _{lj}^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kj}^{i}}{\partial x^{l}}}+{\big (}\Gamma _{kp}^{i}\Gamma _{lj}^{p}-\Gamma _{ lp}^{i}\Gamma _{kj}^{p}{\big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{ik}={R_{ijk}}^{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Ric} (v,w)=\operatorname {tr} (u\mapsto R(u,v)w)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=g^{ik}R_{ik}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=\operatorname {tr} _{g} \operatorname {Ric} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Бесследный тензор Риччи
![{\displaystyle Q_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{n}}Rg_{ik}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q(u,v)=\operatorname {Ric} (u,v)-{\frac {1}{n}}Rg(u,v)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(4,0) Тензор кривизны Римана
![{\displaystyle R_{ijkl}={R_{ijk}}^{p}g_{pl}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Rm} (u,v,w,x)=g{\big (}R(u,v)w,x{\big)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle W_{ijkl}=R_{ijkl}-{\frac {1}{n(n-1)}}R{\big (}g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk }{\big )}-{\frac {1}{n-2}}{\big (}Q_{ik}g_{jl}-Q_{jk}g_{il}-Q_{il}g_{jk} +Q_{jl}g_{ik}{\big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle W(u,v,w,x)=\operatorname {Rm} (u,v,w,x)-{\frac {1}{n(n-1)}}R{\big (} g(u,w)g(v,x)-g(u,x)g(v,w){\big )}-{\frac {1}{n-2}}{\big (}Q( u,w)g(v,x)-Q(v,w)g(u,x)-Q(u,x)g(v,w)+Q(v,x)g(u,w){ \большой )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{2}}Rg_{ik}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(u,v)=\operatorname {Ric} (u,v)-{\frac {1}{2}}Rg(u,v)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Личности
Основные симметрии
![{\displaystyle {R_{ijk}}^{l}=-{R_{jik}}^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}=R_{klij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тензор Вейля имеет те же основные симметрии, что и тензор Римана, но его «аналог» тензора Риччи равен нулю:
![{\displaystyle W_{ijkl}=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и бесследовый тензор Риччи являются симметричными 2-тензорами:
![{\displaystyle R_{jk}=R_{kj}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G_{jk}=G_{kj}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q_{jk}=Q_{kj}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Первая личность Бьянки
![{\displaystyle R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вторая личность Бьянки
![{\displaystyle \nabla _{p}R_{ijkl}+\nabla _{i}R_{jpkl}+\nabla _{j}R_{pikl}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\nabla _{u}\operatorname {Rm}) (v,w,x,y)+(\nabla _{v}\operatorname {Rm})(w,u,x,y)+( \nabla _{w}\operatorname {Rm} )(u,v,x,y)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Заключена вторая личность Бьянки
![{\displaystyle \nabla _{j}R_{pk}-\nabla _{p}R_{jk}=-\nabla ^{l}R_{jpkl}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\nabla _{u}\operatorname {Ric} )(v,w) - (\nabla _{v}\operatorname {Ric} )(u,w)=-\operatorname {tr} _{g }{\big (}(x,y)\mapsto (\nabla _{x}\operatorname {Rm} )(u,v,w,y){\big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Дважды заключенный контракт, вторая личность Бьянки
![{\displaystyle g^{pq}\nabla _{p}R_{qk}={\frac {1}{2}}\nabla _{k}R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {div} _{g}\operatorname {Ric} = {\frac {1}{2}}dR}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эквивалентно:
![{\displaystyle g^{pq}\nabla _{p}G_{qk}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {div} _{g}G=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
личность Риччи
Если векторное поле, то![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{i} \nabla _{j}X^{k}-\nabla _{j} \nabla _{i}X^{k}=-{R_{ijp}}^{k} Х^{р},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что и есть определение тензора Римана. Если это одноформа, то![{\ displaystyle \ омега }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\omega _{k}-\nabla _{j}\nabla _{i}\omega _{k}={R_{ijk}}^{p }\омега _{p}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В более общем смысле, если это (0,k)-тензорное поле, то![{\displaystyle Т}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} T_ {l_ {1} \ cdots l_ {k}} - \ nabla _ {j} \ nabla _ {i} T_ {l_ {1} \ cdots l_ {k}}={R_{ijl_{1}}}^{p}T_{pl_{2}\cdots l_{k}}+\cdots +{R_{ijl_{k}}}^{p}T_{ l_{1}\cdots l_{k-1}p}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Классический результат гласит, что тогда и только тогда, если локально конформно плоско, т. е. тогда и только тогда, когда можно покрыть гладкими координатными картами, относительно которых метрический тензор имеет форму для некоторой функции на карте.![{\displaystyle W=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (M,g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{ij}=e^{\varphi }\delta _{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Градиент, дивергенция, оператор Лапласа–Бельтрами.
Градиент функции получается путем повышения индекса дифференциала , компоненты которого определяются выражением:![{\displaystyle \фи }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{i}\phi dx^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla ^{i}\phi =\phi ^{;i}=g^{ik}\phi _{;k}=g^{ik}\phi _{,k}=g^{ik }\partial _{k}\phi =g^{ik}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{k}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Дивергенция векторного поля с компонентами равна![{\displaystyle V^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{m}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{m}}}+V^{k}{\frac {\partial \ log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (V^{m} {\sqrt {|g|}})}{\partial x^{m}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Оператор Лапласа – Бельтрами , действующий на функцию, определяется дивергенцией градиента:![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&=\nabla _{i}\nabla ^{i}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial } {\partial x^{j}}}\left(g^{jk}{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)\\ &=g^{jk}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g^{jk}}{ \partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}+{\frac {1}{2}}g^{jk}g^{il}{\ frac {\partial g_{il}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}=g^{jk}{\frac {\partial ^ {2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}-g^{jk}\Gamma ^{l}{}_{jk}{\frac {\partial f}{\ частичный x^{l}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Дивергенция антисимметричного тензорного поля типа упрощается до ![{\displaystyle (2,0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{k}A^{ik}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (A^{ik}{\sqrt {|g| }})}{\partial x^{k}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Гессиан карты определяется выражением![{\displaystyle \phi:M\rightarrow N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(\nabla \left(d\phi \right)\right)_{ij}^{\gamma } = {\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\ частичный x^{i}\partial x^{j}}}-^{M}\Gamma ^{k}{}_{ij}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x ^{k}}}+^{N}\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}} }{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x^{j}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Продукт Кулкарни – Номидзу
Произведение Кулкарни –Номизу — важный инструмент для построения новых тензоров из существующих тензоров на римановом многообразии. Пусть и – симметричные ковариантные 2-тензоры. В координатах,![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{ij}=A_{ji}\qquad \qquad B_{ij}=B_{ji}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Затем мы можем перемножить их в некотором смысле, чтобы получить новый ковариантный 4-тензор, который часто обозначается . Определяющая формула![{\displaystyle A {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(A {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B\right)_{ijkl} = A_ {ik} B_ {jl} +A_{jl}B_{ik}-A_{il}B_{jk}-A_{jk}B_{il}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Очевидно, что продукт удовлетворяет
![{\displaystyle A {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B = B {~\wedge \!\!\!\!\!\!\ !\!\;\bigcirc ~}A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В инерциальной системе отсчёта
Ортонормированная инерциальная система координат — это координатная карта, в начале которой имеются соотношения и (но они могут не выполняться в других точках системы координат). Эти координаты также называются нормальными координатами. В таком фрейме выражение для нескольких операторов проще. Обратите внимание, что приведенные ниже формулы действительны только в начале кадра .![{\displaystyle g_{ij} =\delta _{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{ik\ell m}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x^{k}\partial x ^{\ell }}}+{\frac {\partial ^{2}g_{k\ell }}{\partial x^{i}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^ {2}g_{i\ell }}{\partial x^{k}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{km}}{\partial x^{i }\partial x^{\ell }}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R^{\ell }{}_{ijk}={\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\Gamma ^{\ell }{}_{ik}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\Gamma ^{\ell }{}_{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Конформное изменение
Пусть – риманова или псевдориманова метрика на гладком многообразии и гладкая вещественная функция на . Затем![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\varphi }g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
также является римановой метрикой на . Мы говорим, что (точечно) конформно . Очевидно, конформность метрик является отношением эквивалентности. Вот несколько формул для конформных изменений тензоров, связанных с метрикой. (Количества, отмеченные тильдой, будут связаны с , а те, которые не отмечены тильдой, будут связаны с .)![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tilde {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tilde {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь Леви-Чивита
![{\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}} \delta _{j}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{j}}}\delta _{i}^{k}-{\frac {\partial \varphi } {\partial x^{l}}}g^{lk}g_{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+d\varphi (X)Y+d\varphi (Y)Xg(X,Y)\nabla \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(4,0) Тензор кривизны Римана
где![{\displaystyle T_{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{2}} |d\varphi |^{2}g_{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Использование продукта Кулкарни-Номизу :
![{\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Rm} }}=e^{2\varphi }\operatorname {Rm} -e^{2\varphi }g {~\wedge \!\!\!\!\! \!\!\!\;\bigcirc ~}\left(\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi +{\frac {1}{2}}|d\varphi |^{2 }г\вправо)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тензор Риччи
![{\displaystyle {\widetilde {R}}_{ij}=R_{ij}-(n-2){\big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i }\varphi \nabla _{j}\varphi {\big )}-{\big (}\Delta \varphi +(n-2)|d\varphi |^{2}{\big )}g_{ij} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} -(n-2){\big (}\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big )}-{\big (}\Delta \varphi +(n-2)|d\varphi |^{2}{\big )}g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Скалярная кривизна
![{\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\varphi }R-2(n-1)e^{-2\varphi }\Delta \varphi -(n-2)(n-1) е^{-2\varphi }|d\varphi |^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- если это можно написать
![{\displaystyle n\neq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tilde {R}}=e^{-2\varphi }\left[R-{\frac {4(n-1)}{(n-2)}}e^{-(n- 2)\varphi /2}\Delta \left(e^{(n-2)\varphi /2}\right)\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Бесследный тензор Риччи
![{\displaystyle {\widetilde {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}_{ij}=R_{ij}-{ \frac {1}{n}}Rg_{ij}-(n-2){\big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _ {j}\varphi {\big )}+{\frac {(n-2)}{n}}{\big (}\Delta \varphi -|d\varphi |^{2}{\big )}g_ {ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}=\operatorname {Ric} -{\frac { 1}{n}}Rg-(n-2){\big (}\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big )}+{\frac {(n-2)} {n}}{\big (}\Delta \varphi -|d\varphi |^{2}{\big )}g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(3,1) Кривизна Вейля
![{\displaystyle {{\widetilde {W}}_{ijk}}^{l}={W_{ijk}}^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для любых векторных полей![{\displaystyle X,Y,Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Форма объёма
![{\displaystyle {\sqrt {\det {\widetilde {g}}}}=e^{n\varphi }{\sqrt {\det g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\mu _ {\widetilde {g}} = e^{n\varphi }\, d\mu _{g}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Оператор Ходжа на p-формах
![{\displaystyle {\widetilde {\widetilde {\ast }}_{i_{1}\cdots i_{np}}^{j_{1}\cdots j_{p}}=e^{(n-2p)\varphi }\ ast _{i_{1}\cdots i_{np}}^{j_{1}\cdots j_{p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {\ast }}=e^{(n-2p)\varphi }\ast }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кодифференциал на p-формах
![{\displaystyle {\widetilde {d^{\ast }}}_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}=e^{-2\ varphi }(d^{\ast })_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}-(n-2p)e^{-2\ varphi }\nabla ^{i_{1}}\varphi \delta _{j_{1}}^{i_{2}}\cdots \delta _{j_{p-1}}^{i_{p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {d^{\ast }}}=e^{-2\varphi } d^{\ast }-(n-2p)e^{-2\varphi }\iota _ {\nabla \варфи }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Лапласиан о функциях
![{\displaystyle {\widetilde {\Delta }}\Phi =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta \Phi +(n-2)g(d\varphi,d\Phi){\Big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ходж Лаплас о p-формах
![{\displaystyle {\widetilde {\Delta ^{d}}}\omega =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta ^{d}\omega -(n-2p)d\circ \iota _{\nabla \varphi }\omega -(n-2p-2)\iota _{\nabla \varphi }\circ d\omega +2(n-2p)d\varphi \wedge \iota _{\nabla \ varphi }\omega -2d\varphi \wedge d^{\ast }\omega {\Big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь для лапласиана Ходжа используется соглашение о знаках «геометра». В частности, он имеет противоположный знак функций, как обычный лапласиан.
Вторая фундаментальная форма погружения
Пусть является римановым и является дважды дифференцируемым погружением. Напомним, что вторая фундаментальная форма для каждого представляет собой симметричное билинейное отображение , значение которого находится в -ортогональном линейном подпространстве к Тогда![{\displaystyle (M,g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F:\Sigma \to (M,g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p \ in M,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h_{p}:T_{p}\Sigma \times T_{p}\Sigma \to T_{F(p)}M,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{F(p)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dF_{p}(T_{p}\Sigma)\subset T_{F(p)}M.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для всех![{\displaystyle u,v\in T_{p}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь обозначается -ортогональная проекция на -ортогональное линейное подпространство на![{\displaystyle (\nabla \varphi)^{\perp }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{F(p)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla \varphi \in T_{F(p)}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{F(p)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dF_{p}(T_{p}\Sigma)\subset T_{F(p)}M.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Средняя кривизна погружения
В той же ситуации, что и выше (и предположим, что она имеет размерность ), напомним, что вектор средней кривизны для каждого является элементом, определяемым как -след второй фундаментальной формы. Затем![{\displaystyle \Сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\in \Sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\textbf {H}}_{p} \in T_{F(p)}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {\textbf {H}}}=e^{-2\varphi }({\textbf {H}}-n(\nabla \varphi )^{\perp }).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что эта формула преобразования предназначена для вектора средней кривизны , а формула для средней кривизны в случае гиперповерхности имеет вид![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {H}}=e^{-\varphi }(Hn\langle \nabla \varphi,\eta \rangle)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – (локальное) нормальное векторное поле.![{\displaystyle \эта }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Формулы вариации
Пусть – гладкое многообразие и – однопараметрическое семейство римановых или псевдоримановых метрик. Предположим, что это дифференцируемое семейство в том смысле, что для любой гладкой координатной карты производные существуют и сами являются настолько дифференцируемыми, насколько это необходимо для того, чтобы следующие выражения имели смысл. представляет собой однопараметрическое семейство симметричных 2-тензорных полей.![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{ij}={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}(g_{t})_{ij}{\big)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v={\frac {\partial g}{\partial t}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _ {i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip}-\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}R_{ijkl}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla _{j}\nabla _{k}v_{ il}+\nabla _{i}\nabla _{l}v_{jk}-\nabla _{i}\nabla _{k}v_{jl}-\nabla _{j}\nabla _{l}v_ {ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}{R_{ijk}}^{p}v_{pl}-{\frac {1}{2}}{R_{ijl}} ^{p}v_{pk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}R_{ik}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla ^{p}\nabla _{k}v_{ ip}+\nabla _{i}(\operatorname {div} v)_{k}-\nabla _{i}\nabla _{k}(\operatorname {tr} _{g}v)-\Delta v_ {ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}R_{i}^{p}v_{pk}-{\frac {1}{2}}R_{i}{}^{ p}{}_{k}{}^{q}v_{pq}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}R=\operatorname {div} _{g}\operatorname {div} _{g}v-\Delta (\operatorname {tr} _{g} v)-\langle v,\operatorname {Ric} \rangle _{g}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}d\mu _{g}={\frac {1}{2}}g^{pq}v_{pq}\,d\mu _{ г}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{i}\nabla _{j}\Phi =\nabla _{i}\nabla _{j}{\frac {\partial \ Phi }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _{i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip} -\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{k}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \Phi =-\langle v,\operatorname {Hess} \Phi \rangle _{g}-g{\Big (}\operatorname {div } v-{\frac {1}{2}}d(\operatorname {tr} _{g}v),d\Phi {\Big )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Главный символ
Вычисления по формуле вариации, приведенные выше, определяют главный символ отображения, который переводит псевдориманову метрику в ее тензор Римана, тензор Риччи или скалярную кривизну.
- Главный символ отображения сопоставляет каждому отображение из пространства симметричных (0,2)-тензоров в пространство (0,4)-тензоров на заданном равенством
![{\displaystyle g\mapsto \operatorname {Rm} ^{g}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi \in T_{p}^{\ast }M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{p}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{p}M,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v\mapsto {\frac {\xi _{j}\xi _{k}v_{il}+\xi _{i}\xi _{l}v_{jk}-\xi _{i} \xi _{k}v_{jl}-\xi _{j}\xi _{l}v_{ik}}{2}}=-{\frac {1}{2}}(\xi \otimes \ xi ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}v.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Главный символ отображения сопоставляет каждому эндоморфизм пространства симметричных 2-тензоров на заданном равенстве
![{\displaystyle g\mapsto \operatorname {Рик} ^{g}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi \in T_{p}^{\ast }M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{p}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v\mapsto v(\xi ^{\sharp},\cdot)\otimes \xi +\xi \otimes v(\xi ^{\sharp },\cdot) - (\operatorname {tr} _{ g_{p}}v)\xi \otimes \xi -|\xi |_{g}^{2}v.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Главный символ отображения ставит в соответствие каждому элементу дуального пространства векторному пространству симметричных 2-тензоров на
![{\displaystyle g\mapsto R^{g}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi \in T_{p}^{\ast }M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{p}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v\mapsto |\xi |_{g}^{2}\operatorname {tr} _{g}v+v(\xi ^{\sharp },\xi ^{\sharp }).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
Рекомендации
- Артур Л. Бесс. «Многообразия Эйнштейна». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 10. Springer-Verlag, Берлин, 1987. xii + 510 стр. ISBN 3-540-15279-2