Символы Кристоффеля

Массив чисел, описывающий метрическую связь

В математике и физике символы Кристоффеля представляют собой массив чисел, описывающих метрическую связь . ^[1] Метрическая связь — это специализация аффинной связи с поверхностями или другими многообразиями , наделенными метрикой , позволяющая измерять расстояния на этой поверхности. В дифференциальной геометрии аффинная связность может быть определена без ссылки на метрику, и отсюда следуют многие дополнительные понятия: параллельный транспорт , ковариантные производные , геодезические и т. д. также не требуют понятия метрики. ^{[2] [3]} Однако, когда доступна метрика, эти концепции могут быть напрямую связаны с «формой» самого многообразия; эта форма определяется тем, как касательное пространство прикреплено к котангенсному пространству с помощью метрического тензора . ^[4] Абстрактно можно сказать, что многообразию соответствует связка ( ортонормированных ) фреймов , причем каждый « фрейм » является возможным выбором координатной системы координат . Инвариантная метрика подразумевает, что структурная группа расслоения фреймов является ортогональной группой O( p , q ) . В результате такое многообразие обязательно является ( псевдо ) римановым многообразием . ^{[5] [6]} Символы Кристоффеля дают конкретное представление о связи (псевдо) римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Дополнительные понятия, такие как параллельный транспорт, геодезические и т. д., могут быть затем выражены через символы Кристоффеля.

Вообще существует бесконечное число метрических связностей для данного метрического тензора ; однако существует уникальное соединение, свободное от кручения , — соединение Леви-Чивита . В физике и общей теории относительности принято работать почти исключительно со связью Леви-Чивита, работая в системах координат (называемых голономными координатами ), где кручение исчезает. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как изменяются локальные базы координат от точки к точке.

В каждой точке основного n -мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются Γ ⁱ _jk для i , j , k = 1, 2, ..., n . Каждая запись этого массива размером n × n × n является действительным числом . При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются подобно компонентам тензора , но при общих преобразованиях координат ( диффеоморфизмах ) — нет. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их отношения к аффинной связности; лишь некоторые из них следуют из того факта, что структурная группа является ортогональной группой O( m , n ) (или группой Лоренца O(3, 1) для общей теории относительности).

Символы Кристоффеля используются для выполнения практических расчетов. Например, тензор кривизны Римана можно полностью выразить через символы Кристоффеля и их первые частные производные . В общей теории относительности связь играет роль гравитационного силового поля , а соответствующий гравитационный потенциал является метрическим тензором. Когда система координат и метрический тензор имеют некоторую симметрию, многие из Γ ⁱ _jk равны нулю .

Символы Кристоффеля названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829–1900). ^[7]

Примечание

Определения, данные ниже, действительны как для римановых многообразий , так и для псевдоримановых многообразий , таких как определения общей теории относительности , с тщательным различием между верхними и нижними индексами ( контравариантными и ковариантными индексами). Формулы справедливы для любого соглашения о знаках , если не указано иное.

В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании : векторы выделены жирным шрифтом. Коэффициенты связности Леви -Чивита (или псевдоримановой связности), выраженные в координатном базисе, называются символами Кристоффеля .

Предварительные определения

Учитывая многообразие , атлас состоит из набора карт для каждого открытого покрытия . Такие диаграммы позволяют стандартному векторному базису вернуться к векторному базису в касательном пространстве . Это делается следующим образом. Учитывая некоторую произвольную действительную функцию , диаграмма позволяет определить градиент : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox{for }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

Этот градиент обычно называют откатом , потому что он «оттягивает» градиент к градиенту на . Откат не зависит от фактической функции ; можно показать, что это одно и то же, независимо от того, что используется. Таким образом, стандартный векторный базис на возвращается к стандартному («координатному») векторному базису на . Это называется «координатным базисом», поскольку оно явно зависит от координат на . Иногда его называют «локальным базисом». ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\partial _{1},\cdots ,\partial _{n})}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Это определение допускает распространенное злоупотребление обозначениями . Было определено, что они находятся во взаимно однозначном соответствии с базисными векторами на . Эти обозначения служат напоминанием о том, что базисные векторы в касательном пространстве возникли в результате градиентной конструкции. Несмотря на это, эту конструкцию принято «забывать» и просто писать (вернее, определять) векторы на таких, что . Полный спектр часто используемых обозначений включает использование стрелок и жирного шрифта для обозначения векторов: ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{i}\equiv \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}}$

где используется как напоминание о том, что они определены как эквивалентные обозначения для одного и того же понятия. Выбор обозначений зависит от стиля и вкуса и варьируется от текста к тексту. ${\displaystyle \equiv }$

Координатный базис обеспечивает векторный базис для векторных полей на . Обычно используемые обозначения для векторных полей при включении ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Прописные буквы без векторной стрелки особенно популярны для обозначений без индексов , поскольку они сводят к минимуму беспорядок и напоминают, что результаты не зависят от выбранного базиса и, в данном случае, от атласа. ${\displaystyle X}$

Такое же злоупотребление обозначениями используется для продвижения одноформ из в . Это делается путем записи или или . Тогда единая форма . Это припаяно к базисным векторам как . Обратите внимание на осторожное использование верхних и нижних индексов, чтобы различать контрвариантные и ковариантные векторы. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$ ${\displaystyle x=\varphi }$ ${\displaystyle x^{i}=\varphi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}=d\varphi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}}$

Обратный ход индуцирует (определяет) метрический тензор на . Обычно используются несколько стилей обозначений: ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}}$$

скалярное произведениетензорримановых многообразийдельта Кронекерапсевдоримановых многообразий ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{ab}=\delta _{ab}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle e_{i}^{a}}$ ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle i,j,k,\cdots }$

Матрица , обратная метрическому тензору, имеет вид ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

$${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$$

В некоторых текстах пишут для , так что метрический тензор принимает особенно привлекательную форму . Обычно это делается для того, чтобы символ можно было однозначно использовать для vierbein . ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Определение в евклидовом пространстве

Можно доказать, что в евклидовом пространстве общее определение символов Кристоффеля второго рода, данное ниже, эквивалентно:

$${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}}$$

Символы Кристоффеля первого рода затем можно найти путем понижения индекса :

$${\displaystyle \Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}}$$

Переставляя, мы видим, что (предполагая, что частная производная принадлежит касательному пространству, чего не может быть в неевклидовом искривленном пространстве):

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}}$$

Проще говоря, массивы, представленные символами Кристоффеля, отслеживают, как меняется базис от точки к точке. Если производная не лежит в касательном пространстве, правильное выражение представляет собой проекцию производной на касательное пространство (см. ковариантную производную ниже). Символы второго рода разлагают изменение по базису, а символы первого рода — по двойственному базису. В таком виде легко увидеть симметричность нижних или последних двух индексов:

$${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}}$$

ведут себя хорошо ${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Те же числовые значения символов Кристоффеля второго рода относятся и к производным двойственного базиса, как видно из выражения:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k},}$$

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.}$$

Общее определение

Символы Кристоффеля бывают двух форм: первого и второго рода. Определение второго рода является более базовым и поэтому представлено первым.

Символы Кристоффеля второго рода (симметричное определение)

Символы Кристоффеля второго рода — это коэффициенты связности — в координатном базисе — связности Леви-Чивита . Другими словами, символы Кристоффеля второго рода ^{[8] [9]} Γ ^k _ij (иногда Γ^к
_ijили {^к
_ij} ) ^{[7] [8]} определяются как единственные коэффициенты такие, что

$${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},}$$

∇ _iсвязность Леви-ЧивитаMe _i∇ _i ≡ ∇ _{e i ) ,}ei = ∂ _iголономныйбазискручение ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}$

$${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.}$$

^[8]

$${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.}$$

симметричным

Символы Кристоффеля могут быть получены из обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора g _ik :

$${\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.}$$

В качестве сокращенного обозначения символ набла и символы частной производной часто опускаются, и вместо этого используются точка с запятой и запятая для выделения индекса, который используется для производной. Таким образом, вышеизложенное иногда записывается как

$${\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

Используя тот факт, что символы симметричны по двум нижним индексам, можно явно найти символы Кристоффеля как функцию метрического тензора, переставляя индексы и возобновляя суммирование: ^[10]

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}$$

где ( g ^jk ) — обратная матрица ( g jk ₎ , определяемая как (с использованием дельты Кронекера и обозначений Эйнштейна для суммирования) g ^ji g _ik = δ  ^j _k . Хотя символы Кристоффеля записаны в тех же обозначениях, что и тензоры с индексной записью , они не преобразуются, как тензоры, при изменении координат.

Сокращение индексов

Сжатие верхнего индекса с любым из нижних индексов (симметричных) приводит к

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}$$

${\displaystyle g=\det g_{ik}}$

Символы Кристоффеля первого рода.

Символы Кристоффеля первого рода могут быть получены либо из символов Кристоффеля второго рода, либо из метрики ^[11]

$${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}$$

или только из метрики, ^[11]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\end{aligned}}}$$

В качестве альтернативных обозначений также можно найти ^{[7] [12] [13]}

$${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$$

[ ab , c ] = [ ba , c ]^[10]

Коэффициенты связи в неголономном базисе

Символы Кристоффеля чаще всего определяются в координатной основе, и это соглашение, которому здесь следуют. Другими словами, название символов Кристоффеля зарезервировано только для координатных (т. е. голономных ) систем отсчета. Однако коэффициенты связности также могут быть определены в произвольном (т. е. неголономном) базисе касательных векторов u _i по формуле

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.}$$

Явно, в терминах метрического тензора, это ^[9]

$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),}$$

где c _klm = g _mp c _kl ^p — коэффициенты коммутации базиса; то есть,

$${\displaystyle [\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}}$$

где u _k — базисные векторы , а [, ] — скобка Ли . Стандартные единичные векторы в сферических и цилиндрических координатах представляют собой пример базиса с ненулевыми коэффициентами коммутации. Разница между связью в такой системе отсчета и связью Леви-Чивита известна как тензор конторсии .

Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение)

Когда мы выбираем базис X _i ≡ u _i ортонормированный: g _ab ≡ η _ab = ⟨ X _a , X _b ⟩ , то g _mk,l ≡ η _mk,l = 0 . Это означает, что

$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)}$$

$${\displaystyle \omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,}$$

$${\displaystyle \omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}$$

В этом случае коэффициенты связи ω ^a _bc называются коэффициентами вращения Риччи . ^{[14] [15]}

Эквивалентно, можно определить коэффициенты вращения Риччи следующим образом: ^[9]

$${\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,}$$

u _iuk = η ^kl u _l^его кобазис

Закон преобразования при замене переменной

При замене переменной с на символы Кристоффеля преобразуются как ${\displaystyle \left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)}$ ${\displaystyle \left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)}$

$${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}}$$

где черта сверху обозначает символы Кристоффеля в системе координат. Символ Кристоффеля трансформируется не как тензор, а как объект в струйном пучке . Точнее, символы Кристоффеля можно рассматривать как функции на расслоении струй реперного расслоения M , независимые от какой-либо локальной системы координат. Выбор локальной системы координат определяет локальную часть этого пучка, которую затем можно использовать для возврата символов Кристоффеля к функциям на M , хотя, конечно, эти функции тогда зависят от выбора локальной системы координат. ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

Для каждой точки существуют системы координат, в которых символы Кристоффеля исчезают в этой точке. ^[16] Они называются (геодезическими) нормальными координатами и часто используются в римановой геометрии .

Есть несколько интересных свойств, которые можно вывести непосредственно из закона преобразования.

• При линейном преобразовании неоднородная часть преобразования (второе слагаемое в правой части) тождественно обращается в нуль и затем ведет себя как тензор. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$
• Если у нас есть два поля связей, скажем и , то их разность является тензором, поскольку неоднородные члены компенсируют друг друга. Неоднородные члены зависят только от того, как изменяются координаты, но не зависят от самого символа Кристоффеля. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$ ${\displaystyle {{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$
• Если символ Кристоффеля несимметричен относительно своих нижних индексов в одной системе координат, т. е. , то они остаются несимметричными при любом изменении координат. Следствием этого свойства является то, что невозможно найти систему координат, в которой все элементы символа Кристоффеля в некоторой точке равны нулю, если только нижние индексы не симметричны. На это свойство независимо указывали Альберт Эйнштейн ^[17] и Эрвин Шредингер ^[18] . ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}}$

Связь с параллельным переносом и получением символов Кристоффеля в римановом пространстве.

Если вектор транспортируется параллельно по кривой, параметризованной некоторым параметром на римановом многообразии , скорость изменения компонентов вектора определяется выражением ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.}$$

Теперь достаточно использовать условие, что скалярное произведение , образованное двумя произвольными векторами и неизменное, достаточно для получения символов Кристоффеля. Условие ${\displaystyle g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}}$ ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ${\displaystyle \eta ^{k}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.}$$

Применяя правило параллельного транспорта для двух произвольных векторов, переименовывая фиктивные индексы и собирая коэффициенты (произвольные), получаем ${\displaystyle \xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.}$$

Это то же самое, что и уравнение, полученное путем обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора в разделе «Общие определения». Вывод отсюда прост. Циклически переставляя индексы в приведенном выше уравнении, мы можем получить еще два уравнения, а затем линейно комбинируя эти три уравнения, мы можем выразить их в терминах метрического тензора. ${\displaystyle ikl}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$

Связь с безиндексной нотацией

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами X ⁱ и Y ^k . Тогда k- я компонента ковариантной производной Y по X определяется выражением

$${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).}$$

Здесь используется обозначение Эйнштейна , поэтому повторяющиеся индексы указывают на суммирование по индексам, а сокращение с помощью метрического тензора служит для повышения и понижения индексов:

$${\displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$$

Имейте в виду, что g _ik ≠ g ^ik и что g ⁱ _k = δ  ⁱ _k , дельта Кронекера . По соглашению, метрическим тензором является тензор с нижними индексами; правильный способ получить g ^ik из g _ik — это решить линейные уравнения g ^ij g _jk = δ  ⁱ _k .

Утверждение о том, что соединение без кручения , а именно, что

$${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]}$$

эквивалентно утверждению, что в координатной основе символ Кристоффеля симметричен по двум нижним индексам:

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.}$$

Свойства безиндексного преобразования тензора задаются путем отката для ковариантных индексов и продвижения вперед для контравариантных индексов. В статье о ковариантных производных дополнительно обсуждается соответствие между безиндексной нотацией и индексированной нотацией.

Ковариантные производные тензоров

Ковариантная производная контравариантного векторного поля с компонентами V ^m равна

$${\displaystyle \nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.}$$

Следствием является то, что дивергенцию вектора можно получить как

$${\displaystyle \nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$$

Ковариантная производная ковекторного поля ω _m равна

$${\displaystyle \nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.}$$

Симметрия символа Кристоффеля теперь подразумевает

$${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi }$$

тензор кривизны

Ковариантная производная тензорного поля типа (2, 0) A ^ik равна

$${\displaystyle \nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$$

$${\displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.}$$

Если тензорное поле смешанное, то его ковариантная производная равна

$${\displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},}$$

(0, 2),

$${\displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

Контравариантные производные тензоров

Чтобы найти контравариантную производную векторного поля, мы должны сначала преобразовать ее в ковариантную производную, используя метрический тензор

$${\displaystyle \nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$$

Приложения

В общей теории относительности

Символы Кристоффеля находят частое использование в общей теории относительности Эйнштейна , где пространство-время представлено искривленным 4-мерным многообразием Лоренца со связностью Леви-Чивита . Уравнения поля Эйнштейна , которые определяют геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи , поэтому вычисление символов Кристоффеля имеет важное значение. После определения геометрии траектории частиц и световых лучей рассчитываются путем решения геодезических уравнений , в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.

В классической (нерелятивистской) механике

Пусть – обобщенные координаты и – обобщенные скорости, тогда кинетическая энергия единицы массы определяется выражением , где – метрический тензор . Если , потенциальная функция, существует, то контравариантные компоненты обобщенной силы на единицу массы равны . Метрику (здесь в чисто пространственной области) можно получить из линейного элемента . Подставив лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа , получим ^[19] ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}}$ ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle V\left(x^{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{i}=\partial V/\partial x^{i}}$ ${\displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}$ ${\displaystyle L=T-V}$

$${\displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.}$$

Теперь умножив на , получим ${\displaystyle g^{ij}}$

$${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.}$$

Когда можно принять декартовы координаты (как в инерциальных системах отсчета), мы имеем евклидову метрику, символ Кристоффеля исчезает, и уравнение сводится ко второму закону движения Ньютона . В криволинейных координатах ^[20] (вынужденно в неинерциальных системах отсчета, где метрика неевклидова и не плоская) фиктивные силы, такие как Центробежная сила и сила Кориолиса , возникают из символов Кристоффеля, то есть из чисто пространственных криволинейных координат.

В координатах поверхности Земли

Дана сферическая система координат , которая описывает точки на поверхности Земли (приближается к идеальной сфере).

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Для точки x R — расстояние до ядра Земли (обычно примерно радиус Земли ). θ и φ — широта и долгота . Положительное θ – северное полушарие. Для упрощения производных углы даны в радианах (где d sin(x)/dx = cos(x), значения градусов вводят дополнительный коэффициент 360/2 пи).

В любом месте касательные направления — (вверх), (север) и (восток) — также можно использовать индексы 1,2,3. ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$ ${\displaystyle e_{\varphi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Соответствующий метрический тензор имеет только диагональные элементы (квадраты длин векторов). Это преимущество системы координат, но в целом это не так.

^[21]

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}}$$

Теперь можно рассчитать необходимое количество. Примеры:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$$

Тогда результирующие символы Кристоффеля второго рода (организуются по «производному» индексу i в матрице): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Эти значения показывают, как изменяются касательные направления (столбцы: , , ), если смотреть с внешней точки зрения (например, из космоса), но заданы в касательных направлениях фактического местоположения (строки: R , θ , φ ). ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$ ${\displaystyle e_{\varphi }}$

В качестве примера возьмем ненулевые производные по θ в , что соответствует движению на север (положительное dθ): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }}$

• Новое северное направление меняется на -R dθ в направлении вверх (R). Таким образом, северное направление будет вращаться вниз к центру Земли. ${\displaystyle e_{\theta }}$
• Аналогично, направление вверх будет скорректировано в сторону севера. Различные длины и приводят к коэффициенту 1/R. ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$
• Двигаясь на север, вектор восточной касательной меняет свою длину (-tan(θ) по диагонали), сжимается (-tan(θ) dθ < 0) в северном полушарии и увеличивается (-tan(θ) dθ > 0 ) в южном полушарии. ^[21] ${\displaystyle e_{\varphi }}$

Эти эффекты могут быть неочевидны во время движения, поскольку они представляют собой корректировки, которые сохраняют измерения в координатах R , θ , φ . Тем не менее, это может повлиять на расстояния, физические уравнения и т. д. Поэтому, если, например, вам нужно точное изменение магнитного поля, указывающего примерно «на юг», может потребоваться также скорректировать ваши измерения путем изменения направления на север, используя символы Кристоффеля. чтобы получить «истинное» ( тензорное ) значение.

Символы Кристоффеля первого рода показывают такое же изменение при использовании координат с метрической поправкой, например, для производной по φ : ${\displaystyle {\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

^[21]

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Дифференцируемое многообразие
• Список формул римановой геометрии
• исчисление Риччи
• Тензор Римана – Кристоффеля
• Уравнения Гаусса – Кодацци
• Пример вычисления символов Кристоффеля

Примечания

1. См., например, (Спивак 1999) и (Шоке-Брюа и ДеВитт-Моретт 1977).
2. Рональд Адлер, Морис Базен, Менахем Шиффер, Введение в общую теорию относительности (1965) ISBN  книжной компании McGraw-Hill 0-07-000423-4 ( см. раздел 2.1 )
3. Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уилер, Гравитация (1973) WH Freeman ISBN 0-7167-0334-3 ( см. главы 8-11 ) 
4. Миснер, Торн, Уилер, соч. цит. ( См. главу 13 )
5. Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2 
6. Дэвид Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы (1991) ISBN издательской компании Addison-Wesely 0-201-10096-7 
7. Christoffel, EB (1869), «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 70 : 46–70
8. Чаттерджи, Ю.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . п. 480.
9. «Символ Кристоффеля второго рода — из Wolfram MathWorld». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 23 января 2009 г.
10. Бишоп, RL; Гольдберг (1968), Тензорный анализ многообразий , с. 241
11. Людвигсен, Малкольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , стр. 88
12. Чаттерджи, Ю.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . п. 480.
13. Струик, диджей (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликовано в 1988 г. под ред. Дувра). п. 114.
14. Г. Риччи-Курбастро (1896). «Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque». Память Акк. Линчеи . 2 (5): 276–322.
15. Х. Леви (1925). «Коэффициенты вращения Риччи». Бык. амер. Математика. Соц . 31 (3–4): 142–145. дои : 10.1090/s0002-9904-1925-03996-8 .
16. Предполагается, что соединение симметрично (например, соединение Леви-Чивита). Если соединение имеет кручение , то можно заставить исчезнуть только симметричную часть символа Кристоффеля.
17. Эйнштейн, Альберт (2005). «Значение теории относительности (1956, 5-е издание)». Издательство Принстонского университета (2005).
18. Шрёдингер, Э. (1950). Пространственно-временная структура. Издательство Кембриджского университета.
19. Адлер Р., Базен М. и Шиффер М. Введение в общую теорию относительности (Нью-Йорк, 1965).
20. Дэвид, Кей, Тензорное исчисление (1988) ISBN McGraw-Hill Book Company 0-07-033484-6 ( см. раздел 11.4 ) 
21. Сесслар, Александр Дж. «Опубликованные математические работы | Символы Кристоффеля и сферические координаты». 2023 г. https://sites.google.com/view/published-mathematical-works/home

Рекомендации

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Benjamin/Cummings Publishing, стр. См. главу 2, параграф 2.7.1, ISBN. 0-8053-0102-Х
• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1965), Введение в общую теорию относительности (первое издание), McGraw-Hill Book Company
• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое изд. Дувра, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1951), Классическая теория поля , Курс теоретической физики , вып. 2 (Четвертое исправленное издание на английском языке), Oxford: Pergamon Press, стр. См. главу 10, параграфы 85, 86 и 87, ISBN. 0-08-025072-6
• Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Dover Publications , ISBN 978-0-486-66721-8
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон Арчибальд (1970), Гравитация , Нью-Йорк: WH Freeman, стр. См. главу 8, параграф 8.5, ISBN. 0-7167-0344-0
• Людвигсен, Малкольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-63019-3
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , том. 2, Опубликуй или погибни, ISBN 0-914098-71-3
• Чаттерджи, Ю.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ. Академические издательства. ISBN 978-93-8059-905-2.
• Стройк, диджей (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликовано в 1988 г. под ред. Дувра). Дувр. ISBN 0-486-65609-8.
• П.Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Спрингер. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• «Несколько тензорных уравнений показаны полностью». www.tero.co.uk. _ Проверено 1 января 2023 г.