Математика общей теории относительности сложна. В теориях движения Ньютона длина объекта и скорость течения времени остаются постоянными, пока объект ускоряется , а это означает, что многие проблемы ньютоновской механики могут быть решены только с помощью алгебры . Однако в теории относительности длина объекта и скорость течения времени заметно изменяются по мере того, как скорость объекта приближается к скорости света , а это означает, что для расчета движения объекта требуется больше переменных и более сложная математика. В результате теория относительности требует использования таких понятий, как векторы , тензоры , псевдотензоры и криволинейные координаты .
Для введения, основанного на примере частиц, движущихся по круговым орбитам вокруг большой массы, нерелятивистская и релятивистская трактовки даны соответственно в « Ньютоновских мотивах общей теории относительности» и «Теоретической мотивации общей теории относительности ».
В математике , физике и технике евклидов вектор (иногда называемый геометрическим [1] или пространственным вектором , [2] или — как здесь — просто вектором) — это геометрический объект, который имеет как величину (или длину ), так и направление. . Вектор — это то, что нужно, чтобы «перенести» точку А в точку Б ; Латинское слово вектор означает «тот, кто несет». [3] Величина вектора — это расстояние между двумя точками, а направление — это направление смещения от A до B. Многие алгебраические операции над действительными числами, такие как сложение , вычитание , умножение и отрицание , имеют близкие аналоги для векторов, операции, которые подчиняются знакомым алгебраическим законам коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности .
Тензор расширяет понятие вектора на дополнительные направления. Скаляр , то есть простое число без направления, будет отображаться на графике как точка, нульмерный объект. Вектор, имеющий величину и направление, будет отображаться на графике как линия, которая является одномерным объектом. Вектор является тензором первого порядка, поскольку он сохраняет одно направление. Тензор второго порядка имеет две величины и два направления и будет выглядеть на графике как две линии, похожие на стрелки часов. «Порядок» тензора — это количество содержащихся внутри него направлений, которое отличается от размеров отдельных направлений. Тензор второго порядка в двух измерениях может быть математически представлен матрицей 2 на 2, а в трех измерениях - матрицей 3 на 3, но в обоих случаях матрица является «квадратной» для тензора второго порядка. . Тензор третьего порядка имеет три величины и направления и будет представлен кубом чисел 3х3х3 для направлений в трех измерениях и так далее.
Векторы имеют фундаментальное значение в физических науках. Их можно использовать для представления любой величины, имеющей как величину, так и направление, например скорости , величина которой равна скорости . Например, скорость 5 метров в секунду вверх может быть представлена вектором (0, 5) (в двух измерениях с положительной осью Y как «вверх»). Другая величина, представленная вектором, — это сила , поскольку она имеет величину и направление. Векторы также описывают многие другие физические величины, такие как смещение , ускорение , импульс и угловой момент . Другие физические векторы, такие как электрическое и магнитное поле , представлены как система векторов в каждой точке физического пространства; то есть векторное поле .
Тензоры также имеют широкое применение в физике:
В общей теории относительности требуются четырехмерные векторы, или четырехвекторы . Этими четырьмя измерениями являются длина, высота, ширина и время. «Точкой» в этом контексте будет событие, поскольку оно имеет как местоположение, так и время. Подобно векторам, тензоры в теории относительности требуют четырех измерений. Одним из примеров является тензор кривизны Римана .
В физике, а также в математике вектор часто идентифицируется кортежем или списком чисел, которые зависят от системы координат или системы отсчета . Если координаты преобразуются, например, путем вращения или растяжения системы координат, компоненты вектора также преобразуются. Сам вектор не меняется, но меняется система отсчета. Это означает, что компоненты вектора должны измениться, чтобы компенсировать это.
Вектор называется ковариантным или контравариантным в зависимости от того, как преобразование компонент вектора связано с преобразованием координат.
В обозначениях Эйнштейна контравариантные векторы и компоненты тензоров показаны с верхними индексами, например, xi , а ковариантные векторы и компоненты тензоров с нижними индексами, например , xi . Индексы «повышаются» или «понижаются» путем умножения на соответствующую матрицу, часто единичную.
Преобразование координат важно, потому что теория относительности утверждает, что во Вселенной нет ни одной контрольной точки (или перспективы), которая была бы более предпочтительной, чем другая. На Земле мы используем такие измерения, как север, восток и высота, которые используются по всей планете. В космосе такой системы нет. Без четкой эталонной сетки становится более точным описание четырех измерений: «вперед/вдаль», «влево/вправо», «вверх/вниз» и «прошлое/будущее». В качестве примера события предположим, что Земля — неподвижный объект, и рассмотрим подписание Декларации независимости . Для современного наблюдателя с горы Рейнир, смотрящего на восток, событие происходит впереди, справа, внизу и в прошлом. Однако для наблюдателя в средневековой Англии, смотрящего на север, событие происходит позади, слева, не вверху и не внизу, а в будущем. Само событие не изменилось: изменилось местонахождение наблюдателя.
Наклонная система координат — это система, в которой оси не обязательно ортогональны друг другу; то есть они встречаются под углами, отличными от прямых . При использовании преобразований координат, как описано выше, новая система координат часто будет иметь наклонные оси по сравнению со старой системой.
Нонтензор — это тензороподобная величина, которая ведет себя как тензор при повышении и понижении индексов, но не преобразуется как тензор при преобразовании координат. Например, символы Кристоффеля сами по себе не могут быть тензорами, если координаты не изменяются линейным образом.
В общей теории относительности нельзя описать энергию и импульс гравитационного поля тензором энергии-импульса. Вместо этого вводятся объекты, которые ведут себя как тензоры только в отношении ограниченных преобразований координат. Строго говоря, такие объекты вообще не являются тензорами. Известным примером такого псевдотензора является псевдотензор Ландау–Лифшица .
Криволинейные координаты — это координаты, в которых углы между осями могут меняться от точки к точке. Это означает, что вместо сетки из прямых линий она имеет кривизну.
Хорошим примером этого является поверхность Земли. Хотя на картах север, юг, восток и запад часто изображаются в виде простой квадратной сетки, на самом деле это не так. Вместо этого линии долготы, идущие на север и юг, изогнуты и встречаются на северном полюсе. Это потому, что Земля не плоская, а круглая.
В общей теории относительности энергия и масса оказывают влияние на кривизну четырех измерений Вселенной (= пространства-времени). Эта кривизна порождает гравитационную силу. Распространенной аналогией является размещение тяжелого предмета на растянутом резиновом листе, в результате чего лист прогибается вниз. Это искривляет систему координат вокруг объекта, так же, как объект во Вселенной искривляет систему координат, в которой он находится. Математика здесь концептуально более сложна, чем на Земле, поскольку в результате получается четыре измерения искривленных координат вместо трех, как раньше. описать изогнутую двумерную поверхность.
В евклидовом пространстве расстояние между двумя точками измеряется расстоянием между двумя точками. Расстояние чисто пространственное и всегда положительное. В пространстве-времени расстояние между двумя событиями измеряется инвариантным интервалом между двумя событиями, который учитывает не только пространственное разделение между событиями, но и их разделение во времени. Интервал s 2 между двумя событиями определяется как:
где c — скорость света, а ∆r и ∆t обозначают разность пространственных и временных координат соответственно между событиями. Выбор знаков для s 2 выше соответствует пространственному соглашению (−+++) . Обозначение типа Δ r 2 означает (Δ r ) 2 . Причина, по которой s2 называется интервалом, а не s, заключается в том, что s2 может быть положительным, нулевым или отрицательным.
Пространственно-временные интервалы можно разделить на три различных типа в зависимости от того, больше ли временное разделение ( c 2 Δ t 2 ) или пространственное разделение ( Δ r 2 ) двух событий: времяподобное, светоподобное или пространственноподобное. .
Определенные типы мировых линий называются геодезическими пространства-времени — прямые линии в случае плоского пространства-времени Минковского и их ближайший эквивалент в искривленном пространстве-времени общей теории относительности. В случае чисто времениподобных путей геодезические — это (локально) пути наибольшего разделения (пространственно-временной интервал), измеренные вдоль пути между двумя событиями, тогда как в евклидовом пространстве и римановых многообразиях геодезические — это пути кратчайшего расстояния между двумя точками. . [4] [5] Понятие геодезической становится центральной в общей теории относительности , поскольку геодезическое движение можно рассматривать как «чистое движение» ( движение по инерции ) в пространстве-времени, то есть свободное от каких-либо внешних влияний.
Ковариантная производная является обобщением производной по направлению из векторного исчисления. Как и производная по направлению, ковариантная производная представляет собой правило, которое принимает в качестве входных данных: (1) вектор u (вдоль которого берется производная), определенный в точке P , и (2) векторное поле v , определенный в окрестности P . Результатом является вектор, также в точке P. Основное отличие от обычной производной по направлению состоит в том, что ковариантная производная должна в определенном точном смысле быть независимой от способа ее выражения в системе координат.
Учитывая ковариантную производную, можно определить параллельный транспорт вектора v в точке P вдоль кривой γ , начиная с P . Для каждой точки x из γ параллельная транспортировка v в x будет функцией x и может быть записана как v ( x ) , где v (0) = v . Функция v определяется требованием, чтобы ковариантная производная v ( x ) вдоль γ была равна 0. Это аналогично тому факту, что постоянной функцией является та, производная которой постоянно равна 0.
Уравнение для ковариантной производной можно записать с помощью символов Кристоффеля. Символы Кристоффеля находят частое использование в общей теории относительности Эйнштейна , где пространство-время представлено искривленным 4-мерным многообразием Лоренца со связностью Леви-Чивита . Уравнения поля Эйнштейна , которые определяют геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи . Поскольку тензор Риччи является производным от тензора кривизны Римана, который можно записать в терминах символов Кристоффеля, вычисление символов Кристоффеля имеет важное значение. После определения геометрии траектории частиц и световых лучей рассчитываются путем решения геодезических уравнений , в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.
В общей теории относительности геодезическая обобщает понятие «прямой линии» на искривленное пространство- время . Важно отметить, что мировая линия частицы, свободная от всех внешних, негравитационных сил, представляет собой особый тип геодезической. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется по геодезической.
В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленной геометрии пространства-времени, где источником кривизны является тензор энергии-импульса (представляющий, например, материю). Так, например, путь планеты, вращающейся вокруг звезды, представляет собой проекцию геодезической искривленной 4-мерной геометрии пространства-времени вокруг звезды на 3-мерное пространство.
Кривая является геодезической, если касательный вектор кривой в любой точке равен параллельному переносу касательного вектора базовой точки.
Тензор кривизны Римана R ρ σμν математически показывает нам, насколько велика кривизна в любой данной области пространства. В плоском пространстве этот тензор равен нулю.
Сжатие тензора создает еще два математических объекта:
Тензор кривизны Римана можно выразить через ковариантную производную.
Тензор Эйнштейна G — это тензор ранга 2 , определенный над псевдоримановыми многообразиями . В безиндексной записи он определяется как
где R — тензор Риччи , g — метрический тензор и R — скалярная кривизна . Он используется в уравнениях поля Эйнштейна .
Тензор энергии-импульса (иногда тензор напряжения-энергии-импульса или тензор энергии-импульса ) — тензорная величина в физике , которая описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени , обобщая тензор напряжений ньютоновской физики. Это атрибут материи , излучения и негравитационных силовых полей . Тензор энергии-импульса является источником гравитационного поля в уравнениях поля Эйнштейна общей теории относительности , точно так же, как плотность массы является источником такого поля в ньютоновской гравитации . Поскольку этот тензор имеет 2 индекса (см. следующий раздел), тензор кривизны Римана необходимо сжать в тензор Риччи, также с 2 индексами.
Уравнения поля Эйнштейна ( EFE ) или уравнения Эйнштейна представляют собой набор из 10 уравнений общей теории относительности Альберта Эйнштейна, которые описывают фундаментальное взаимодействие гравитации как результат искривления пространства - времени материей и энергией . [6] Впервые опубликованный Эйнштейном в 1915 году [7] в виде тензорного уравнения , EFE приравнивает локальную кривизну пространства-времени (выраженную тензором Эйнштейна ) с локальной энергией и импульсом внутри этого пространства-времени (выраженными тензором энергии-напряжения ). [8]
Уравнения поля Эйнштейна можно записать в виде
где G µν – тензор Эйнштейна , а T µν – тензор энергии-импульса .
Это означает, что кривизна пространства (представленная тензором Эйнштейна) напрямую связана с наличием материи и энергии (представленной тензором энергии-импульса).
В общей теории относительности Эйнштейна метрика Шварцшильда (также вакуум Шварцшильда или решение Шварцшильда ) является решением уравнений поля Эйнштейна , которое описывает гравитационное поле вне сферической массы, при условии, что электрический заряд массы, угловой момент массы и универсальная космологическая постоянная равны нулю. Решение является полезным приближением для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как многие звезды и планеты , включая Землю и Солнце. Решение названо в честь Карла Шварцшильда , который впервые опубликовал решение в 1916 году, незадолго до своей смерти.
Согласно теореме Биркгофа , метрика Шварцшильда является наиболее общим сферически - симметричным вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна . Черная дыра Шварцшильда или статическая черная дыра — это черная дыра , не имеющая заряда или углового момента . Черная дыра Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда, и ее нельзя отличить от любой другой черной дыры Шварцшильда, кроме как по ее массе.
