Тензор Эйнштейна

Тензор, используемый в общей теории относительности

В дифференциальной геометрии тензор Эйнштейна ( названный в честь Альберта Эйнштейна ; также известный как тензор Риччи с обращенным следом ) используется для выражения кривизны псевдориманова многообразия . В общей теории относительности это происходит в уравнениях гравитационного поля Эйнштейна , которые описывают кривизну пространства-времени способом, который согласуется с сохранением энергии и импульса.

Определение

Тензор Эйнштейна — тензор второго порядка, определенный над псевдоримановыми многообразиями . В безиндексной записи он определяется как ${\displaystyle \mathbf {G} }$

$${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$$

где – тензор Риччи , – метрический тензор и – скалярная кривизна , которая вычисляется как след Тензора Риччи с помощью . В компонентной форме предыдущее уравнение имеет вид ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R_{\mu }^{\mu }}$

$${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$$

Тензор Эйнштейна симметричен

$${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$$

и, как и тензор энергии-напряжения на оболочке , имеет нулевую дивергенцию:

$${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.}$$

Явная форма

Тензор Риччи зависит только от метрического тензора, поэтому тензор Эйнштейна можно определить непосредственно с помощью только метрического тензора. Однако это выражение сложное и редко цитируется в учебниках. Сложность этого выражения можно показать с помощью формулы тензора Риччи в терминах символов Кристоффеля :

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\\[2pt]G^{\alpha \beta }&=\left(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\end{aligned}}}$$

где – тензор Кронекера , а символ Кристоффеля определяется как ${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }\left(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }\right).}$$

а члены формы представляют его частную производную в направлении μ, т. е.: ${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }}$

$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$$

До отмены эта формула приводит в индивидуальном выражении. Отмены несколько снижают это число. ${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$

В частном случае локально инерциальной системы отсчета вблизи точки первые производные метрического тензора обращаются в нуль и компонентная форма тензора Эйнштейна значительно упрощается:

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }\left[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right)\right]\\&=g^{\gamma \mu }\left(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta }\right)\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right),\end{aligned}}}$$

где квадратные скобки условно обозначают антисимметризацию по индексам в скобках, т.е.

$${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }\right).}$$

След

След тензора Эйнштейна можно вычислить, сжимая уравнение в определении с метрическим тензором . По размерам (произвольной подписи): ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$$

Следовательно, в частном случае n = 4 измерений . То есть след тензора Эйнштейна является отрицательным следом тензора Риччи . Таким образом, другое название тензора Эйнштейна — тензор Риччи с обращенным следом . Этот случай особенно актуален в общей теории относительности . ${\displaystyle G\ =-R}$ ${\displaystyle n=4}$

Использование в общей теории относительности

Тензор Эйнштейна позволяет записать уравнения поля Эйнштейна в краткой форме:

$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$

космологическая постояннаягравитационная постоянная ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

Судя по явной форме тензора Эйнштейна, тензор Эйнштейна является нелинейной функцией метрического тензора, но линеен по вторым частным производным метрики. Как симметричный тензор второго порядка, тензор Эйнштейна имеет 10 независимых компонентов в 4-мерном пространстве. Отсюда следует, что уравнения поля Эйнштейна представляют собой совокупность 10 квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка для метрического тензора.

Сжатые тождества Бьянки также легко выражаются с помощью тензора Эйнштейна:

$${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$$

(Сжатые) тождества Бьянки автоматически обеспечивают ковариантное сохранение тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени:

$${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}$$

Это тождество подчеркивает физическое значение тензора Эйнштейна. В терминах уплотненного тензора напряжений, сжатого на векторе Киллинга , выполняется обычный закон сохранения: ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu }\right)=0.}$$

Уникальность

Дэвид Лавлок показал, что в четырехмерном дифференцируемом многообразии тензор Эйнштейна является единственной тензорной и бездивергентной функцией и не более чем их первой и второй частных производных. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Однако уравнение поля Эйнштейна — не единственное уравнение, удовлетворяющее трем условиям: ^[6]

1. Напоминают, но обобщают уравнение гравитации Ньютона – Пуассона.
2. Применяется ко всем системам координат и
3. Гарантировать локальное ковариантное сохранение энергии-импульса для любого метрического тензора.

Было предложено множество альтернативных теорий, таких как теория Эйнштейна-Картана , которые также удовлетворяют вышеуказанным условиям.

Смотрите также

• Физический портал

• Сокращенные личности Бьянки
• Теорема Вермейля
• Математика общей теории относительности
• Ресурсы по общей теории относительности

Примечания

1. Лавлок, Д. (1971). «Тензор Эйнштейна и его обобщения». Журнал математической физики . 12 (3): 498–502. Бибкод : 1971JMP....12..498L. дои : 10.1063/1.1665613 .
2. Лавлок, Д. (1972). «Четырехмерность пространства и тензор Эйнштейна». Журнал математической физики . 13 (6): 874–876. Бибкод : 1972JMP....13..874L. дои : 10.1063/1.1666069.
3. Лавлок, Д. (1969). «Единственность уравнений поля Эйнштейна в четырехмерном пространстве». Архив рациональной механики и анализа . 33 (1): 54–70. Бибкод : 1969ArRMA..33...54L. дои : 10.1007/BF00248156. S2CID  119985583.
4. Фархуди, М. (2009). «Тензор Лавлока как обобщенный тензор Эйнштейна». Общая теория относительности и гравитация . 41 (1): 17–29. arXiv : gr-qc/9510060 . Бибкод : 2009GReGr..41..117F. дои : 10.1007/s10714-008-0658-9. S2CID  119159537.
5. Риндлер, Вольфганг (2001). Относительность: специальная, общая и космологическая . Издательство Оксфордского университета . п. 299. ИСБН 978-0-19-850836-6.
6. Шютц, Бернард (31 мая 2009 г.). Первый курс общей теории относительности (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . п. 185. ИСБН 978-0-521-88705-2.

Рекомендации

• Оганян, Ханс К.; Ремо Руффини (1994). Гравитация и пространство-время (второе изд.). WW Нортон и компания . ISBN 978-0-393-96501-8.
• Мартин, Джон Легат (1995). Общая теория относительности: первый курс для физиков . Международная серия Прентис Холл по физике и прикладной физике (пересмотренная редакция). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-291196-2.