Закон Гаусса для гравитации

Повторная формулировка закона всемирного тяготения Ньютона.

В физике закон гравитации Гаусса , также известный как теорема Гаусса о потоке гравитации , представляет собой закон физики, эквивалентный закону всемирного тяготения Ньютона . Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса . Он утверждает, что поток ( поверхностный интеграл ) гравитационного поля над любой замкнутой поверхностью пропорционален заключенной в ней массе . Закон гравитации Гаусса зачастую удобнее использовать, чем закон Ньютона. ^[1]

Форма закона Гаусса для гравитации математически аналогична закону Гаусса для электростатики , одному из уравнений Максвелла . Закон гравитации Гаусса имеет такое же математическое отношение к закону Ньютона, какое закон Гаусса для электростатики имеет к закону Кулона . Это связано с тем, что и закон Ньютона, и закон Кулона описывают взаимодействие обратных квадратов в трехмерном пространстве.

Качественная формулировка закона

Гравитационное поле g (также называемое гравитационным ускорением ) представляет собой векторное поле – вектор в каждой точке пространства (и времени). Она определяется так, что гравитационная сила, испытываемая частицей, равна массе частицы, умноженной на гравитационное поле в этой точке.

Гравитационный поток — это поверхностный интеграл гравитационного поля над замкнутой поверхностью, аналогично тому, как магнитный поток является поверхностным интегралом магнитного поля.

Закон Гаусса для гравитации гласит:

Гравитационный поток через любую замкнутую поверхность пропорционален приложенной к ней массе .

Интегральная форма

Интегральная форма закона Гаусса для гравитации гласит:

${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

где

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ (также пишется ) обозначает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности, ${\displaystyle \oint _{\partial V}}$
• ∂ V — любая замкнутая поверхность ( граница произвольного объема V ),
• d A — вектор , величина которого равна площади бесконечно малого участка поверхности ∂ V и направлением которого является направленная наружу нормаль к поверхности ( более подробную информацию см. в разделе «Поверхностный интеграл »)
• g – гравитационное поле ,
• G — универсальная гравитационная постоянная , а
• M — общая масса, заключенная внутри поверхности ∂ V.

Левая часть этого уравнения называется потоком гравитационного поля. Обратите внимание, что по закону оно всегда отрицательно (или ноль) и никогда не положительно. Это можно противопоставить закону Гаусса для электричества, где поток может быть как положительным, так и отрицательным. Разница в том, что заряд может быть как положительным, так и отрицательным, а масса может быть только положительной.

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса для гравитационных состояний

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$

где обозначает дивергенцию , G — универсальная гравитационная постоянная , а ρ — плотность массы в каждой точке. ${\displaystyle \nabla \cdot }$

Отношение к интегральной форме

Две формы закона гравитации Гаусса математически эквивалентны. Теорема о дивергенции гласит: где V — замкнутая область, ограниченная простой замкнутой ориентированной поверхностью ∂ V , а dV — бесконечно малая часть объема V ( более подробную информацию см. в разделе «Интеграл объема» ). Гравитационное поле g должно быть непрерывно дифференцируемым векторным полем, определенным в окрестности V . $${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV}$$

Учитывая также, что мы можем применить теорему о дивергенции к интегральной форме закона Гаусса для гравитации, которая будет выглядеть так: что можно переписать: Это должно выполняться одновременно для каждого возможного объема V ; единственный способ, которым это может произойти, - это если подынтегральные выражения равны. Таким образом, мы приходим к дифференциальной форме закона гравитации Гаусса. $${\displaystyle M=\int _{V}\rho \ dV}$$ $${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV}$$ $${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$$

Можно вывести интегральную форму из дифференциальной формы, используя обратный метод.

Хотя эти две формы эквивалентны, в конкретных вычислениях может быть удобнее использовать одну или другую.

Связь с законом Ньютона

Вывод закона Гаусса из закона Ньютона.

Закон гравитации Гаусса можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона , который гласит, что гравитационное поле, создаваемое точечной массой , равно: где $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}} }$$

• e _r — радиальный единичный вектор ,
• r — радиус, | р |.
• M — масса частицы, которая считается точечной массой , расположенной в начале координат .

Доказательство с использованием векторного исчисления показано в рамке ниже. Математически оно идентично доказательству закона Гаусса (в электростатике ), начиная с закона Кулона . ^[2]

Схема доказательства

g ( r ), гравитационное поле в точке r , можно рассчитать, сложив вклад в g ( r ), вносимый каждым битом массы во Вселенной (см. принцип суперпозиции ). Для этого мы интегрируем по каждой точке s в пространстве, складывая вклад в g ( r ), связанный с массой (если таковая имеется) в точке s , где этот вклад рассчитывается по закону Ньютона. Результат: ( d ³ s означает ds _x ds _y ds _z , каждый из которых интегрируется от −∞ до +∞.) Если мы возьмем расхождение обеих частей этого уравнения относительно r и воспользуемся известным теорема ^[2] где δ ( r ) — дельта-функция Дирака , результат: Используя «свойство просеивания» дельта-функции Дирака, мы приходим к дифференциальной форме закона Гаусса для гравитации, как и хотелось. $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )}$$

Вывод закона Ньютона из закона Гаусса и безвихревости.

Невозможно математически доказать закон Ньютона, исходя только из закона Гаусса , поскольку закон Гаусса определяет расхождение g , но не содержит никакой информации относительно ротора g (см. разложение Гельмгольца ). В дополнение к закону Гаусса используется предположение, что g является безвихревой (имеет нулевой ротор), поскольку гравитация является консервативной силой :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =0}$

Даже этого недостаточно: граничные условия на g также необходимы для доказательства закона Ньютона, например, предположение о том, что поле равно нулю на бесконечном расстоянии от массы.

Доказательство закона Ньютона из этих предположений состоит в следующем:

Схема доказательства

Начните с интегральной формы закона Гаусса: примените этот закон к ситуации, когда объем V представляет собой сферу радиуса r с центром в точечной массе M. Разумно ожидать, что гравитационное поле точечной массы будет сферически симметричным. (Для простоты мы опускаем доказательство.) При таком предположении g принимает следующую форму: (т. е. направление g антипараллельно направлению r , а величина g зависит только от величины, а не направления р ). Подставив это и используя тот факт, что ∂ V представляет собой сферическую поверхность с постоянным r и площадью , $${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.}$$ $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-g(r)\,\mathbf {e_{r}} }$$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$

${\displaystyle g(r)\oint _{\partial V}(-\mathbf {e_{r}} )\cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

${\displaystyle g(r)\cdot (-4\pi r^{2})=-4\pi GM}$

${\displaystyle g(r)={\frac {GM}{r^{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}}$

что является законом Ньютона.

Уравнение Пуассона и гравитационный потенциал

Поскольку гравитационное поле имеет нулевой ротор (т. е. гравитация является консервативной силой ), как упоминалось выше, его можно записать как градиент скалярного потенциала , называемого гравитационным потенциалом : Тогда дифференциальная форма закона Гаусса для гравитации становится уравнением Пуассона : Это обеспечивает альтернативный способ расчета гравитационного потенциала и гравитационного поля. Хотя вычисление g с помощью уравнения Пуассона математически эквивалентно вычислению g непосредственно из закона Гаусса, тот или иной подход может быть более простым вычислением в данной ситуации. $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

В радиально-симметричных системах гравитационный потенциал является функцией только одной переменной (а именно ), и уравнение Пуассона принимает вид (см. Дель в цилиндрических и сферических координатах ): тогда как гравитационное поле равно: ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ $${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)}$$ $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.}$$

При решении уравнения следует учитывать, что в случае конечных плотностей ∂ φ /∂ r должна быть непрерывной на границах (разрывах плотности), а при r = 0 — нулевой .

Приложения

Закон Гаусса можно использовать для легкого определения гравитационного поля в определенных случаях, когда прямое применение закона Ньютона было бы сложнее (но не невозможно). Дополнительную информацию о том, как выполняются эти выводы, см. в статье «Гауссова поверхность» . Три таких приложения следующие:

Пластина Бугера

Мы можем заключить (используя « гауссову дот »), что для бесконечной плоской пластины ( пластины Бугера ) любой конечной толщины гравитационное поле снаружи пластины перпендикулярно пластине, по направлению к ней, с величиной, в 2 раза превышающей массу πG . на единицу площади, независимо от расстояния до плиты ^[3] (см. также гравитационные аномалии ).

В более общем смысле, для распределения массы с плотностью, зависящей только от одной декартовой координаты z , гравитация для любого z в 2 πG раза превышает разницу в массе на единицу площади по обе стороны от этого значения z .

В частности, параллельная комбинация двух параллельных бесконечных плит одинаковой массы на единицу площади не создает между ними гравитационного поля.

Цилиндрически симметричное распределение массы

В случае бесконечного однородного (по z ) цилиндрически-симметричного распределения массы мы можем заключить (используя цилиндрическую гауссову поверхность ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена ​​внутрь с величиной, в 2 раза превышающей полную величину G / r . масса единицы длины на меньшем расстоянии (от оси), независимо от каких-либо масс на большем расстоянии.

Например, внутри бесконечного однородного полого цилиндра поле равно нулю.

Сферически симметричное распределение массы

В случае сферически-симметричного распределения массы мы можем заключить (используя сферическую поверхность Гаусса ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена ​​внутрь с величиной G / r , ^{умноженной} только на общую массу на меньшем расстоянии. чем р . Вся масса, находящаяся на расстоянии большем, чем r от центра, не оказывает результирующего действия.

Например, полая сфера не создает внутри себя чистой гравитации. Гравитационное поле внутри такое же, как если бы полой сферы не было (т.е. результирующее поле - это поле всех масс, за исключением сферы, которые могут находиться внутри и снаружи сферы).

Хотя это в одной или двух строках алгебры следует из закона гравитации Гаусса, Исааку Ньютону потребовалось несколько страниц громоздких вычислений, чтобы вывести это напрямую, используя его закон гравитации; этот прямой вывод см. в статье « Теорема об оболочке» .

Вывод из лагранжиана

Плотность лагранжиана для ньютоновской гравитации. Применяя принцип Гамильтона к этому лагранжиану, результатом является закон Гаусса для гравитации: подробности см. в разделе Лагранжиан (теория поля) . $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}}$$ $${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).}$$

Смотрите также

• Физический портал

• Карл Фридрих Гаусс
• Теорема о дивергенции
• Закон Гаусса для электричества
• Закон Гаусса для магнетизма
• Векторное исчисление
• интеграл
• Поток
• Гауссова поверхность

Рекомендации

1. «Закон Гаусса и гравитация».
2. См., например, Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. п. 50. ISBN 0-13-805326-Х.
3. Решение механических задач, Фогель, стр. 535–536.

дальнейшее чтение

• Об использовании термина «Закон Гаусса для гравитации» см., например, Moody, MV; Пайк, HJ (1 марта 1993 г.). «Проверка закона гравитации Гаусса на близком расстоянии». Письма о физических отзывах . 70 (9): 1195–1198. Бибкод : 1993PhRvL..70.1195M. doi : 10.1103/PhysRevLett.70.1195. ПМИД  10054315.