В своей интегральной форме он утверждает, что поток электрического поля из произвольной замкнутой поверхности пропорционален электрическому заряду, заключенному в этой поверхности, независимо от того, как этот заряд распределен. Хотя одного закона недостаточно для определения электрического поля на поверхности, охватывающей любое распределение заряда, это может быть возможно в тех случаях, когда симметрия требует однородности поля. Там, где такой симметрии не существует, можно использовать закон Гаусса в его дифференциальной форме , которая гласит, что дивергенция электрического поля пропорциональна локальной плотности заряда.
Чистый электрический поток через любую гипотетическую замкнутую поверхность равен 1/ ε0 , умноженному на чистый электрический заряд , заключенный внутри этой замкнутой поверхности. Замкнутую поверхность также называют поверхностью Гаусса. [5]
Закон Гаусса имеет близкое математическое сходство с рядом законов в других областях физики, таких как закон Гаусса для магнетизма и закон Гаусса для гравитации . Фактически, любой закон обратных квадратов может быть сформулирован аналогично закону Гаусса: например, сам закон Гаусса по существу эквивалентен закону Кулона , а закон Гаусса для гравитации по существу эквивалентен закону гравитации Ньютона , оба из которых которые представляют собой законы обратных квадратов.
Закон Гаусса можно сформулировать, используя либо электрическое поле E , либо поле электрического смещения D. В этом разделе показаны некоторые формы с E ; форма с D приведена ниже, как и другие формы с E .
В искривленном пространстве-времени поток электромагнитного поля через замкнутую поверхность выражается как
где скорость света ; обозначает временные компоненты электромагнитного тензора ; – определитель метрического тензора ; – ортонормированный элемент двумерной поверхности, окружающей заряд ; индексы и не совпадают друг с другом. [8]
Поскольку поток определяется как интеграл электрического поля, это выражение закона Гаусса называется интегральной формой .
В задачах, связанных с проводниками, имеющими известные потенциалы, потенциал вдали от них получается путем решения уравнения Лапласа аналитически или численно. Затем электрическое поле рассчитывается как отрицательный градиент потенциала. Закон Гаусса позволяет найти распределение электрического заряда: заряд в любой заданной области проводника можно определить, проинтегрировав электрическое поле и найдя поток через небольшой ящик, стороны которого перпендикулярны поверхности проводника, и отметив, что электрическое поле перпендикулярно поверхности и равно нулю внутри проводника.
Обратная задача, когда известно распределение электрического заряда и необходимо рассчитать электрическое поле, гораздо сложнее. Полный поток через данную поверхность дает мало информации об электрическом поле и может входить и выходить из поверхности по сколь угодно сложным схемам.
Исключение составляют случаи, когда в задаче присутствует некоторая симметрия , которая требует, чтобы электрическое поле проходило через поверхность равномерно. Тогда, если известен полный поток, само поле можно определить в каждой точке. Общие примеры симметрии, подпадающие под действие закона Гаусса, включают: цилиндрическую симметрию, плоскую симметрию и сферическую симметрию. См. статью «Гауссова поверхность» , где приведены примеры использования этих симметрий для расчета электрических полей.
Дифференциальная форма
По теореме о дивергенции закон Гаусса альтернативно можно записать в дифференциальной форме :
Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм
По теореме о дивергенции интегральная и дифференциальная формы математически эквивалентны. Вот аргумент более конкретно.
Схема доказательства
Интегральная форма закона Гаусса:
для любой замкнутой поверхности S , содержащей заряд Q. По теореме о дивергенции это уравнение эквивалентно:
для любого объема V , содержащего заряд Q. По соотношению между зарядом и плотностью заряда это уравнение эквивалентно:
для любого объема V . Для того чтобы это уравнение было одновременно верным для любого возможного объема V , необходимо (и достаточно), чтобы подынтегральные выражения были повсюду равны. Следовательно, это уравнение эквивалентно:
Таким образом, интегральная и дифференциальная формы эквивалентны.
Уравнение, включающее поле D
Бесплатно, связанно и за полную плату
Электрический заряд, который возникает в простейших учебниковых ситуациях, можно было бы классифицировать как «свободный заряд» — например, заряд, который передается в статическом электричестве , или заряд на пластине конденсатора . Напротив, «связанный заряд» возникает только в случае диэлектрических (поляризующихся) материалов. (Все материалы в той или иной степени поляризуемы.) Когда такие материалы помещаются во внешнее электрическое поле, электроны остаются связанными с соответствующими атомами, но смещаются на микроскопическое расстояние под действием поля, так что они оказываются больше на одной стороне. атома, чем другой. Все эти микроскопические смещения в сумме дают макроскопическое распределение суммарного заряда, и это составляет «связанный заряд».
Хотя микроскопически все заряды по сути одинаковы, часто существуют практические причины рассматривать связанный заряд иначе, чем свободный заряд. В результате более фундаментальный закон Гаусса в терминах E (выше) иногда приводится в эквивалентную форму ниже, которая выражается только в терминах D и свободного заряда.
Интегральная форма
Эта формулировка закона Гаусса определяет форму полного заряда:
где Φ D — поток D -поля через поверхность S , охватывающую объем V , а Q free — свободный заряд, содержащийся в V. Поток Φ D определяется аналогично потоку Φ E электрического поля E через S :
Дифференциальная форма
Дифференциальная форма закона Гаусса, включающая только бесплатный заряд, гласит:
где ∇ · D — дивергенция поля электрического смещения, а ρ free — плотность свободного электрического заряда.
Эквивалентность отчетов об общих и бесплатных расходах
Доказательство того, что формулировки закона Гаусса в терминах свободного заряда эквивалентны формулировкам, включающим полный заряд.
В этом доказательстве мы покажем, что уравнение
эквивалентно уравнению
Обратите внимание, что мы имеем дело только с дифференциальными формами, а не с интегральными формами, но этого достаточно, поскольку дифференциальная и интегральная формы эквивалентны в каждом случае по теореме о расходимости.
Ключевой вывод заключается в том, что сумма первых двух уравнений является третьим уравнением. Это завершает доказательство: первое уравнение истинно по определению, и, следовательно, второе уравнение истинно тогда и только тогда, когда истинно третье уравнение. Итак, второе и третье уравнения эквивалентны, что мы и хотели доказать.
Строго говоря, закон Гаусса не может быть выведен только из закона Кулона, поскольку закон Кулона дает электрическое поле только за счет отдельного электростатического точечного заряда . Однако закон Гаусса можно доказать из закона Кулона, если предположить, кроме того, что электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции . Принцип суперпозиции гласит, что результирующее поле представляет собой векторную сумму полей, создаваемых каждой частицей (или интеграл, если заряды равномерно распределены в пространстве).
Схема доказательства
Закон Кулона гласит, что электрическое поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом, равно:
q — заряд частицы, которая предполагается находящейся в начале координат .
Используя выражение из закона Кулона, мы получаем полное поле в точке r , используя интеграл для суммирования поля в точке r , обусловленного бесконечно малыми зарядами в каждой точке s в пространстве, что дает
где ρ — плотность заряда. Если взять дивергенцию обеих частей этого уравнения по r и воспользоваться известной теоремой [9]
что является дифференциальной формой закона Гаусса, как и хотелось.
Поскольку закон Кулона применим только к стационарным зарядам, нет оснований ожидать, что закон Гаусса будет справедливым и для движущихся зарядов, основываясь только на этом выводе. Фактически закон Гаусса справедлив для движущихся зарядов, и в этом отношении закон Гаусса является более общим, чем закон Кулона.
Доказательство (без Дельты Дирака)
Пусть – ограниченное открытое множество и
— электрическое поле с непрерывной функцией (плотность заряда).
Это правда во всем этом .
Рассмотрим теперь компакт, имеющий кусочно- гладкую границу такой, что . Отсюда следует , что и так для теоремы о расходимости:
Теперь рассмотрим , а как сферу с центром и радиусом (она существует, потому что является открытым множеством).
Пусть и – электрическое поле, созданное внутри и снаружи сферы соответственно. Затем,
, и
Последнее равенство следует из наблюдения и приведенного выше аргумента.
RHS — это электрический поток, создаваемый заряженной сферой, поэтому:
с
Где последнее равенство следует из теоремы о среднем значении для интегралов. Используя теорему о сжатии и непрерывность , можно получить:
Вывод закона Кулона из закона Гаусса.
Строго говоря, закон Кулона не может быть выведен только из закона Гаусса, поскольку закон Гаусса не дает никакой информации относительно ротора Е ( см . разложение Гельмгольца и закон Фарадея ). Однако закон Кулона можно доказать из закона Гаусса, если дополнительно предположить, что электрическое поле от точечного заряда сферически симметрично (это предположение, как и сам закон Кулона, в точности верно, если заряд стационарен, и приблизительно верно если заряд находится в движении).
Схема доказательства
Принимая S в интегральной форме закона Гаусса за сферическую поверхность радиуса r с центром в точечном заряде Q , мы имеем
В предположении сферической симметрии подынтегральная функция является константой, которую можно вынести из интеграла. Результат
где r̂ — единичный вектор , направленный радиально от заряда. Опять же, согласно сферической симметрии, E указывает в радиальном направлении, и поэтому мы получаем
^ Более конкретно, бесконечно малая область считается плоской и имеет площадь d N . Вектор d R нормален к этому элементу площади и имеет величину d A . [7]
Цитаты
^ Дюэм, Пьер (1891). «4». Leçons sur l'électricité et le Magnetisme [ Уроки электричества и магнетизма ] (на французском языке). Том. 1. Париж Готье-Виллар. стр. 22–23. OCLC 1048238688. ОЛ 23310906М .Показывает, что Лагранж имеет приоритет над Гауссом. Другие после того, как Гаусс открыл «Закон Гаусса», тоже.
^ Лагранж, Жозеф-Луи (1869) [1776]. Серрет, Жозеф-Альфред ; Дарбу, Жан-Гастон (ред.). «Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques» [О притяжении эллиптических сфероидов]. Œuvres de Lagrange: Mémoires extraits des Recueils de l'Académie Royale des Sciences et belles-lettres de Berlin (на французском языке). Готье-Виллар: 619.
^ Гаусс, Карл Фридрих (1877). «Теория притяжения однородных сфероидальных эллиптических тел, трактуемая новым методом». В Шеринге, Эрнст Кристиан Юлиус ; Брендель, Мартин (ред.). Карл Фридрих Гаусс Верке [ Труды Карла Фридриха Гаусса ] (на латыни и немецком языке). Том. 5 (2-е изд.). Gedruckt in der Dieterichschen Universitätsdruckerei (WF Kaestner). стр. 2–22.Гаусс упоминает предложение Ньютона « Начала XCI» о нахождении силы, действующей сферой на точку в любом месте вдоль оси, проходящей через сферу.
^ Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (1970). Основы физики . Джон Уайли и сыновья. стр. 452–453.
^ Сервей, Раймонд А. (1996). Физика для ученых и инженеров с современной физикой (4-е изд.). п. 687.
^ AB Грант, IS; Филлипс, WR (2008). Электромагнетизм . Манчестерская физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN978-0-471-92712-9.
^ Мэтьюз, Пол (1998). Векторное исчисление . Спрингер. ISBN3-540-76180-2.
^ Федосин, Сергей Г. (2019). «О ковариантном представлении интегральных уравнений электромагнитного поля». Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма C . 96 : 109–122. arXiv : 1911.11138 . Бибкод : 2019arXiv191111138F. дои : 10.2528/PIERC19062902. S2CID 208095922.
^ См., например, Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (4-е изд.). Прентис Холл. п. 50.
Рекомендации
Гаусс, Карл Фридрих (1867). Верке Банд 5 .Цифровая версия
Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-30932-Х.Дэвид Дж. Гриффитс (6-е изд.)
Внешние ссылки
СМИ, связанные с законом Гаусса, на Викискладе?
Серия видеолекций MIT (30 лекций по 50 минут) — Электричество и магнетизм, преподаваемые профессором Уолтером Левином .
раздел о законе Гаусса в онлайн-учебнике. Архивировано 27 мая 2010 г. в Wayback Machine.
MISN-0-132 Закон Гаусса для сферической симметрии ( файл PDF ), автор Питер Сигнелл для проекта PHYSNET.
MISN-0-133 Закон Гаусса в применении к цилиндрическим и плоским распределениям заряда (файл PDF), автор Питер Сигнелл для проекта PHYSNET.