Разложение Гельмгольца

Некоторые векторные поля являются суммой безвихревого и соленоидального векторного поля.

В физике и математике теорема о разложении Гельмгольца или основная теорема векторного исчисления ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]} утверждает, что некоторые дифференцируемые векторные поля могут быть разложены в сумму безвихревого ( безроторного ) векторного поля и соленоидального ( бездивергентного ) векторного поля. В физике часто обсуждается только разложение достаточно гладких , быстро затухающих векторных полей в трех измерениях. Она названа в честь Германа фон Гельмгольца .

Определение

Для векторного поля , определенного на домене , разложение Гельмгольца представляет собой пару векторных полей и таких, что: Здесь — скалярный потенциал , — его градиент , а — дивергенция векторного поля . Безвихревое векторное поле называется градиентным полем и называется соленоидальным полем или полем вращения . Это разложение не существует для всех векторных полей и не является единственным . ^[8] ${\displaystyle \mathbf {F} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {r} ),\\\mathbf {G} (\mathbf {r} )&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),\\\nabla \cdot \mathbf {R} (\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Phi \in C^{2}(V,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \nabla \Phi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

История

Разложение Гельмгольца в трех измерениях было впервые описано в 1849 году ^[9] Джорджем Габриэлем Стоксом для теории дифракции . Герман фон Гельмгольц опубликовал свою статью о некоторых основных гидродинамических уравнениях в 1858 году, ^{[10] [11],} которая была частью его исследования теорем Гельмгольца, описывающих движение жидкости вблизи вихревых линий. ^[11] Их вывод требовал, чтобы векторные поля достаточно быстро затухали на бесконечности. Позже это условие удалось ослабить, и разложение Гельмгольца можно было распространить на более высокие измерения. ^{[8] [12] [13]} Для римановых многообразий было выведено разложение Гельмгольца-Ходжа с использованием дифференциальной геометрии и тензорного исчисления . ^{[8] [11] [14] [15]}

Разложение стало важным инструментом для решения многих задач теоретической физики ^{[11] [14]} , но также нашло применение в анимации , компьютерном зрении , а также робототехнике ^[15] .

Трехмерное пространство

Многие учебники по физике ограничивают разложение Гельмгольца трехмерным пространством и ограничивают его применение векторными полями, которые достаточно быстро затухают на бесконечности, или функцией выпуклости , которая определена на ограниченной области . Затем можно определить векторный потенциал , так что поле вращения задается как , используя ротор векторного поля. ^[16] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Пусть будет векторным полем на ограниченной области , которая дважды непрерывно дифференцируема внутри , и пусть будет поверхностью, которая охватывает область . Тогда может быть разложена на компоненту без завихрений и компоненту без дивергенции следующим образом: ^[17] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,}$$где $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}$$

и является оператором набла относительно , ​​а не . ${\displaystyle \nabla '}$ ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Если и, следовательно, неограниченно и исчезает быстрее, чем при , то имеем ^[18] ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}$$Это справедливо, в частности, если дважды непрерывно дифференцируемо по и имеет ограниченный носитель. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Вывод

Доказательство

Предположим, что у нас есть векторная функция , ротор которой нам известен , и дивергенция, в области и полях на границе. Записывая функцию с использованием дельта-функции в виде, где — векторный оператор Лапласа , имеем ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ $${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,,}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}$$

где мы использовали векторное тождество Лапласа: $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,}$$

дифференцирование/интегрирование по и в последней строке линейность аргументов функции: ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} V',}$ $${\displaystyle \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .}$$

Затем, используя векторные тождества

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}$$

мы получаем $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}$$

Благодаря теореме о дивергенции уравнение можно переписать как

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}$$

с нормалью к внешней поверхности . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}$

Определение

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$$

мы наконец получаем $${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Пространство решений

Если — разложение Гельмгольца , то — другое разложение тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})}$

${\displaystyle \Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad }$и ${\displaystyle \quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,}$

где

• ${\displaystyle \lambda }$— гармоническое скалярное поле ,
• ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$является векторным полем, которое удовлетворяет ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,}$
• ${\displaystyle \varphi }$скалярное поле.

Доказательство: Положим и . Согласно определению разложения Гельмгольца, условие эквивалентно ${\displaystyle \lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}}$

${\displaystyle -\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0}$.

Расхождение каждого члена этого уравнения дает , следовательно, является гармоническим. ${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle \lambda }$

Наоборот, при любой гармонической функции , является соленоидальной, поскольку ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \lambda }$

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.}$

Таким образом, согласно предыдущему разделу, существует векторное поле такое, что . ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }}$

Если — другое такое векторное поле, то выполняется , следовательно, для некоторого скалярного поля . ${\displaystyle {\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {C} }=0}$ ${\displaystyle C=\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Поля с заданной дивергенцией и ротором

Термин «теорема Гельмгольца» может также относиться к следующему. Пусть C — соленоидальное векторное поле , а d — скалярное поле на R ³ , которые достаточно гладкие и которые исчезают быстрее, чем 1/ r ² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}$$

если дополнительно векторное поле F исчезает при r → ∞ , то F является уникальным. ^[18]

Другими словами, векторное поле может быть построено как с заданной дивергенцией, так и с заданным ротором, и если оно также исчезает на бесконечности, оно однозначно определяется своей дивергенцией и ротором. Эта теорема имеет большое значение в электростатике , поскольку уравнения Максвелла для электрических и магнитных полей в статическом случае имеют именно такой тип. ^[18] Доказательство проводится с помощью конструкции, обобщающей приведенную выше: положим

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla ({\mathcal {G}}(d))-\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$$

где представляет собой ньютоновский потенциальный оператор. (При действии на векторное поле, такое как ∇ × F , он определяется как действующий на каждый компонент.) ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Слабая формулировка

Разложение Гельмгольца можно обобщить, уменьшив предположения о регулярности (необходимость существования сильных производных). Предположим, что Ω — ограниченная, односвязная, липшицева область . Каждое квадратично-интегрируемое векторное поле u ∈ ( L ² (Ω)) ³ имеет ортогональное разложение: ^{[19] [20] [21]}

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$$

где φ находится в пространстве Соболева H ¹ (Ω) квадратично интегрируемых функций на Ω , частные производные которых, определенные в смысле распределения , квадратично интегрируемы, и A ∈ H (rot, Ω) — пространство Соболева векторных полей, состоящее из квадратично интегрируемых векторных полей с квадратично интегрируемым ротором.

Для несколько более гладкого векторного поля u ∈ H (rot, Ω) справедливо аналогичное разложение:

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$$

где φ ∈ H ¹ (Ω), v ∈ ( H ¹ (Ω)) ^d .

Вывод из преобразования Фурье

Обратите внимание, что в теореме, сформулированной здесь, мы наложили условие, что если не определено на ограниченной области, то будет затухать быстрее, чем . Таким образом, преобразование Фурье от , обозначенное как , гарантированно существует. Мы применяем соглашение ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$$

Преобразование Фурье скалярного поля является скалярным полем, а преобразование Фурье векторного поля является векторным полем той же размерности.

Теперь рассмотрим следующие скалярные и векторные поля: $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$$

Следовательно

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

Продольные и поперечные поля

Терминология, часто используемая в физике, относится к компоненту без завихрений векторного поля как к продольной компоненте , а к компоненте без расхождения как к поперечной компоненте . ^[22] Эта терминология исходит из следующей конструкции: вычислить трехмерное преобразование Фурье векторного поля . Затем разложить это поле в каждой точке k на два компонента, один из которых указывает продольно, т. е. параллельно k , другой из которых указывает в поперечном направлении, т. е. перпендикулярно k . До сих пор мы имели ${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$$

Теперь применим обратное преобразование Фурье к каждому из этих компонентов. Используя свойства преобразований Фурье, выводим:

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$$

Так как и , ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

мы можем получить

$${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$

так что это действительно разложение Гельмгольца. ^[23]

Обобщение на более высокие измерения

Матричный подход

Обобщение на размерности невозможно выполнить с помощью векторного потенциала, поскольку оператор вращения и векторное произведение определены (как векторы) только в трех измерениях. ${\displaystyle d}$

Пусть — векторное поле в ограниченной области , которое убывает быстрее, чем при и . ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }$ ${\displaystyle \delta >2}$

Скалярный потенциал определяется аналогично трехмерному случаю как: где ядро ​​интегрирования снова является фундаментальным решением уравнения Лапласа , но в d-мерном пространстве: с объемом d-мерных единичных шаров и гамма -функцией . $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',}$$ ${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ $${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ ${\displaystyle V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )}$

Для , просто равно , что дает тот же префактор, что и выше. Вращательный потенциал является антисимметричной матрицей с элементами: Над диагональю находятся элементы, которые снова появляются в зеркальном отображении на диагонали, но с отрицательным знаком. В трехмерном случае элементы матрицы просто соответствуют компонентам векторного потенциала . Однако такой матричный потенциал может быть записан как вектор только в трехмерном случае, поскольку действителен только для . ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$ $${\displaystyle A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.}$$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}=d}$ ${\displaystyle d=3}$

Как и в трехмерном случае, градиентное поле определяется как Поле вращения, с другой стороны, определяется в общем случае как расходимость строк матрицы: В трехмерном пространстве это эквивалентно вращению векторного потенциала. ^{[8] [24]} $${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].}$$

Тензорный подход

В -мерном векторном пространстве с , можно заменить соответствующей функцией Грина для Лапласа , определяемой как , где для индекса используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Например, в 2D. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d\neq 3}$ ${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$

Следуя тем же шагам, что и выше, мы можем записать, где есть дельта Кронекера (и снова используется соглашение о суммировании). Вместо определения векторного Лапласа, использованного выше, мы теперь используем тождество для символа Леви-Чивиты , которое справедливо в размерностях, где есть -компонентный мультииндекс . Это дает $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$ ${\displaystyle \delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })}$$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (d-2)}$ $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$

Поэтому мы можем записать, где Обратите внимание, что векторный потенциал заменяется ранговым тензором в размерностях. $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (d-2)}$ ${\displaystyle d}$

Поскольку является функцией только , можно заменить , что дает Интегрирование по частям затем можно использовать для определения того, где находится граница . Эти выражения аналогичны приведенным выше для трехмерного пространства. ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\rightarrow -{\frac {\partial }{\partial r'_{\mu }}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&=-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\nu }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\sigma }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle S=\partial V}$ ${\displaystyle V}$

Для дальнейшего обобщения на многообразия см. обсуждение разложения Ходжа ниже.

Дифференциальные формы

Разложение Ходжа тесно связано с разложением Гельмгольца, ^[25] обобщающим векторные поля на R ³ на дифференциальные формы на римановом многообразии M . Большинство формулировок разложения Ходжа требуют, чтобы M было компактным . ^[26] Поскольку это не так для R ³ , теорема о разложении Ходжа не является строго обобщением теоремы Гельмгольца. Однако ограничение компактности в обычной формулировке разложения Ходжа можно заменить подходящими предположениями о распаде на бесконечности для задействованных дифференциальных форм, что дает надлежащее обобщение теоремы Гельмгольца.

Расширения полей, не затухающих на бесконечности

Большинство учебников имеют дело только с векторными полями, затухающими быстрее, чем с на бесконечности. ^{[16] [13] [27]} Однако Отто Блюменталь в 1905 году показал, что адаптированное ядро ​​интегрирования может быть использовано для интегрирования полей, затухающих быстрее, чем с , что существенно менее строго. Чтобы добиться этого, ядро ​​в интегралах свертки должно быть заменено на . ^[28] С еще более сложными ядрами интегрирования решения могут быть найдены даже для расходящихся функций, которые не должны расти быстрее, чем полиномиальные. ^{[12] [13] [24] [29]} ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >1}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle K'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')-K(0,\mathbf {r} ')}$

Для всех аналитических векторных полей, которые не должны стремиться к нулю даже на бесконечности, методы, основанные на частичном интегрировании и формуле Коши для повторного интегрирования ^[30], могут быть использованы для вычисления замкнутых решений вращательного и скалярного потенциалов, как в случае многомерных полиномиальных , синусоидальных , косинусных и экспоненциальных функций . ^[8]

Уникальность решения

В общем случае разложение Гельмгольца не определено однозначно. Гармоническая функция — это функция, которая удовлетворяет . Добавляя к скалярному потенциалу , можно получить другое разложение Гельмгольца: ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Delta H(\mathbf {r} )=0}$ ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} '(\mathbf {r} )&=\nabla (\Phi (\mathbf {r} )+H(\mathbf {r} ))=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\nabla H(\mathbf {r} ),\\\mathbf {R} '(\mathbf {r} )&=\mathbf {R} (\mathbf {r} )-\nabla H(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Для векторных полей , затухающих на бесконечности, вполне правдоподобно, что скалярные и вращательные потенциалы также затухают на бесконечности. Поскольку является единственной гармонической функцией с этим свойством, что следует из теоремы Лиувилля , это гарантирует уникальность градиентных и вращательных полей. ^[31] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle H(\mathbf {r} )=0}$

Эта уникальность не распространяется на потенциалы: в трехмерном случае скалярный и векторный потенциалы совместно имеют четыре компонента, тогда как векторное поле имеет только три. Векторные поля инвариантны к калибровочным преобразованиям, а выбор соответствующих потенциалов, известный как фиксация калибровки, является предметом калибровочной теории . Важными примерами из физики являются калибровочное условие Лоренца и калибровка Кулона . Альтернативой является использование полоидально-тороидального разложения .

Приложения

Электродинамика

Теорема Гельмгольца представляет особый интерес в электродинамике , поскольку ее можно использовать для записи уравнений Максвелла в потенциальном изображении и более простого их решения. Разложение Гельмгольца можно использовать для доказательства того, что при заданной плотности электрического тока и плотности заряда можно определить электрическое поле и плотность магнитного потока . Они являются уникальными, если плотности исчезают на бесконечности и предполагается то же самое для потенциалов. ^[16]

Динамика жидкости

В динамике жидкости проекция Гельмгольца играет важную роль, особенно для теории разрешимости уравнений Навье-Стокса . Если проекция Гельмгольца применяется к линеаризованным несжимаемым уравнениям Навье-Стокса, получается уравнение Стокса . Оно зависит только от скорости частиц в потоке, но больше не от статического давления, что позволяет свести уравнение к одному неизвестному. Однако оба уравнения, Стокса и линеаризованные уравнения, эквивалентны. Оператор называется оператором Стокса . ^[32] ${\displaystyle P\Delta }$

Теория динамических систем

В теории динамических систем разложение Гельмгольца может быть использовано для определения «квазипотенциалов», а также для вычисления функций Ляпунова в некоторых случаях. ^{[33] [34] [35]}

Для некоторых динамических систем, таких как система Лоренца ( Эдвард Н. Лоренц , 1963 ^[36] ), упрощенная модель атмосферной конвекции , можно получить замкнутое выражение разложения Гельмгольца: Разложение Гельмгольца со скалярным потенциалом задается как: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.}$$

Квадратичный скалярный потенциал обеспечивает движение в направлении начала координат, что отвечает за устойчивую точку фиксации для некоторого диапазона параметров. Для других параметров поле вращения обеспечивает создание странного аттрактора , заставляя модель проявлять эффект бабочки . ^{[8] [37]}

Медицинская визуализация

В магнитно-резонансной эластографии , варианте МРТ, где механические волны используются для исследования вязкоупругости органов, разложение Гельмгольца иногда используется для разделения измеренных полей смещения на его компонент сдвига (без расходимости) и компонент сжатия (без завитков). ^[38] Таким образом, комплексный модуль сдвига может быть рассчитан без учета вкладов волн сжатия.

Компьютерная анимация и робототехника

Разложение Гельмгольца также используется в области компьютерной инженерии. Это включает в себя робототехнику, реконструкцию изображений, а также компьютерную анимацию, где разложение используется для реалистичной визуализации жидкостей или векторных полей. ^{[15] [39]}

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Представление Клебша для связанного разложения векторных полей
• Лагранжиан Дарвина для приложения
• Полоидально-тороидальное разложение для дальнейшего разложения бездивергентной компоненты . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$
• Скалярно-векторно-тензорное разложение
• Теория Ходжа, обобщающая разложение Гельмгольца
• Теорема о полярной факторизации
• Разложение Гельмгольца–Лере, используемое для определения проекции Лере

Примечания

1. Дэниел Александр Мюррей : Элементарный курс интегрального исчисления . American Book Company, 1898. С. 8.
2. Дж. У. Гиббс , Эдвин Бидвелл Уилсон : Векторный анализ . 1901, стр. 237, ссылка из интернет-архива .
3. Оливер Хевисайд : Электромагнитная теория . Том 1, издательская компания «Электрик», 1893.
4. Уэсли Стокер Баркер Вулхаус : Элементы дифференциального исчисления . Уил, 1854.
5. Уильям Вулси Джонсон : Элементарный трактат по интегральному исчислению: основанный на методе скоростей или флюксий . John Wiley & Sons, 1881.
   См. также: Метод флюксий .
6. Джеймс Берни Шоу: Вектор исчисления: с приложениями к физике . Д. Ван Ностранд, 1922, стр. 205.
   См. также: Теорема Грина .
7. Джозеф Эдвардс: Трактат об интегральном исчислении . Том 2. Chelsea Publishing Company, 1922.
8. Эрхард Глётцль, Оливер Рихтерс: Разложение Гельмгольца и потенциальные функции для n-мерных аналитических векторных полей . В: Журнал математического анализа и приложений 525(2), 127138, 2023, doi :10.1016/j.jmaa.2023.127138, arXiv :2102.09556v3. Рабочий лист Mathematica в doi :10.5281/zenodo.7512798.
9. Джордж Габриэль Стокс : О динамической теории дифракции . В: Труды Кембриджского философского общества 9, 1849, стр. 1–62. doi :10.1017/cbo9780511702259.015, см. стр. 9–10.
10. Герман фон Гельмгольц : Über Integrale der Hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen . В: Journal für die reine und angewandte Mathematik 55, 1858, стр. 25–55, номер документа : 10.1515/crll.1858.55.25 (sub.uni-goettingen.de, digizeitschriften.de). На странице 38 компоненты скорости жидкости ( u ,  v ,  w ) выражены через градиент скалярного потенциала P и ротор векторного потенциала ( L ,  M ,  N ).
11. Альп Кустепели: О теореме Гельмгольца и ее обобщении для многослойных сред . В: Электромагнетизм 36.3, 2016, стр. 135–148, doi :10.1080/02726343.2016.1149755.
12. Ton Tran-Cong: О теореме разложения Гельмгольца и уравнении Пуассона с бесконечной областью определения . В: Quarterly of Applied Mathematics 51.1, 1993, стр. 23–35, JSTOR  43637902.
13. D. Petrascheck, R. Folk: Теорема разложения Гельмгольца и расширение Блюменталя с помощью регуляризации . В: Физика конденсированных сред 20(1), 13002, 2017, doi :10.5488/CMP.20.13002.
14. Вольфганг Шпрессиг: О разложениях Гельмгольца и их обобщениях – Обзор . В: Математические методы в прикладных науках 33.4, 2009, стр. 374–383, doi :10.1002/mma.1212.
15. Харш Бхатия, Грегори Норгард, Валерио Паскуччи, Пир-Тимо Бремер: Разложение Гельмгольца-Ходжа – Обзор . В: Труды IEEE по визуализации и компьютерной графике 19.8, 2013, стр. 1386–1404, doi :10.1109/tvcg.2012.316.
16. Дитмар Петрашек: Повторное рассмотрение разложения Гельмгольца . В: European Journal of Physics 37.1, 2015, Статья 015201, doi : 10.1088/0143-0807/37/1/015201.
17. "Теорема Гельмгольца" (PDF) . Университет Вермонта. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-08-13 . Получено 2011-03-11 .
18. Дэвид Дж. Гриффитс : Введение в электродинамику . Prentice-Hall, 1999, стр. 556.
19. Шериф Амруш, Кристин Бернарди , Моник Дож , Виветт Жиро : Векторные потенциалы в трехмерных негладких областях . В: Математические методы в прикладных науках 21(9), 1998, стр. 823–864, doi :10.1002/(sici)1099-1476(199806)21:9<823::aid-mma976>3.0.co;2-b, Bibcode :/abstract 1998MMAS...21..823A .
20. Р. Дотрей и Ж.-Л. Лионс. Спектральная теория и ее приложения, том 3 Математического анализа и численных методов для науки и техники. Springer-Verlag, 1990.
21. V. Girault , PA Raviart: Методы конечных элементов для уравнений Навье–Стокса: теория и алгоритмы. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.
22. AM Stewart: Продольные и поперечные компоненты векторного поля . В: Sri Lankan Journal of Physics 12, стр. 33–42, 2011, doi :10.4038/sljp.v12i0.3504 arXiv :0801.0335
23. Роберт Литтлджон: Гамильтониан классического электромагнитного поля. Онлайн-лекции, berkeley.edu.
24. Эрхард Глётцль, Оливер Рихтерс: Разложение Гельмгольца и вращательные потенциалы в n-мерных декартовых координатах . 2020, arXiv :2012.13157.
25. Фрэнк У. Уорнер: Теорема Ходжа . В: Основания дифференцируемых многообразий и групп Ли . (= Graduate Texts in Mathematics 94). Springer, Нью-Йорк, 1983, doi :10.1007/978-1-4757-1799-0_6.
26. Кантарелла, Джейсон; ДеТурк, Деннис; Глюк, Герман (2002). «Векторное исчисление и топология доменов в 3-пространстве». The American Mathematical Monthly . 109 (5): 409–442. doi :10.2307/2695643. JSTOR  2695643.
27. Р. Дуглас Грегори: Теорема Гельмгольца, когда область бесконечна и когда поле имеет особые точки . В: The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 49.3, 1996, стр. 439–450, doi :10.1093/qjmam/49.3.439.
28. Отто Блюменталь : Über die Zerlegung unendlicher Vektorfelder . В: Mathematische Annalen 61.2, 1905, стр. 235–250, doi : 10.1007/BF01457564.
29. Мортон Э. Гуртин: О теореме Гельмгольца и полноте функций напряжения Папковича-Нейбера для бесконечных областей . В: Архив рациональной механики и анализа 9.1, 1962, стр. 225–233, doi :10.1007/BF00253346.
30. Коши, Огюстен-Луи (1823). «Тренте-Чинквием Лесон». Резюме уроков, проводимых в Королевской политехнической школе по исчислению бесконечно малых величин (на французском языке). Париж: Королевская империя. стр. 133–140.
31. Шелдон Акслер, Пол Бурдон, Уэйд Рэми: Ограниченные гармонические функции . В: Теория гармонических функций (= Graduate Texts in Mathematics 137). Springer, Нью-Йорк, 1992, стр. 31–44, doi :10.1007/0-387-21527-1_2.
32. Александр Дж. Хорин, Джерролд Э. Марсден: Математическое введение в механику жидкости (= Тексты по прикладной математике 4). Springer US, Нью-Йорк 1990, doi :10.1007/978-1-4684-0364-0.
33. Томохару Суда: Построение функций Ляпунова с использованием разложения Гельмгольца–Ходжа . В: Дискретные и непрерывные динамические системы – A 39.5, 2019, стр. 2437–2454, doi :10.3934/dcds.2019103.
34. Томохару Суда: Применение разложения Гельмгольца–Ходжа к изучению некоторых векторных полей . В: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 53.37, 2020, стр. 375703. doi :10.1088/1751-8121/aba657.
35. Джозеф Сюй Чжоу, MDS Алию, Эрик Аурелл, Суй Хуан: Квазипотенциальный ландшафт в сложных мультистабильных системах . В: Журнал интерфейса Королевского общества 9.77, 2012, стр. 3539–3553, doi :10.1098/rsif.2012.0434.
36. Эдвард Н. Лоренц : Детерминированный непериодический поток . В: Журнал атмосферных наук 20.2, 1963, стр. 130–141, doi :10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
37. Хайнц-Отто Пейтген, Хартмут Юргенс, Дитмар Саупе: Странные аттракторы: Локус хаоса . В: Хаос и фракталы . Спрингер, Нью-Йорк, стр. 655–768. дои : 10.1007/978-1-4757-4740-9_13.
38. Армандо Мандука: МР-эластография: принципы, руководства и терминология . В: Магнитный резонанс в медицине , 2021, doi :10.1002/mrm.28627 PMID  33296103.
39. Херш Бхатия, Валерио Паскуччи, Пир-Тимо Бремер: Естественное разложение Гельмгольца-Ходжа для анализа потоков с открытой границей . В: Труды IEEE по визуализации и компьютерной графике 20.11, ноябрь 2014 г., стр. 1566–1578, ноябрь 2014 г., doi : 10.1109/TVCG.2014.2312012.

Ссылки

• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 4-е издание, Academic Press: Сан-Диего (1995) стр. 92–93
• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков – Международное издание , 6-е издание, Academic Press: Сан-Диего (2005) стр. 95–101
• Резерфорд Арис , Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Prentice-Hall (1962), OCLC  299650765, стр. 70–72