Векторный потенциал

Математическая концепция векторного исчисления

В векторном исчислении векторный потенциал — это векторное поле , ротор которого является заданным векторным полем. Это аналогично скалярному потенциалу , который представляет собой скалярное поле, градиент которого представляет собой заданное векторное поле.

Формально для векторного поля v векторный потенциал — это векторное поле A такое, что ${\displaystyle C^{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Последствие

Если векторное поле v допускает векторный потенциал A , то из равенства

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

дивергенция)

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$$

vсоленоидальным векторным полем

Теорема

Позволять

$${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$$

соленоидальное векторное поленепрерывно дифференцируемоеv ( x ) ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }$

$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$$

Тогда A является векторным потенциалом для v , то есть　

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$$

ycur[v]потенциалаvH-полю ${\displaystyle \nabla _{y}\times }$

Вы можете ограничить область целостности любой односвязной областью Ω . То есть A' ниже также является векторным потенциалом v ;

$${\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$$

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца , которое утверждает, что любое векторное поле можно разложить как сумму соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля .

По аналогии с законом Био-Савара , векторным потенциалом для v также можно считать следующее . ${\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})=\int _{\Omega }{\frac {{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {y}})\times ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}{4\pi |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}|^{3}}}d^{3}{\boldsymbol {y}}}$

Подставив j ( плотность тока ) вместо v и H ( H-поле ) вместо A , мы найдем закон Био-Савара.

Пусть и пусть Ω является звездной областью с центром в p , тогда, переводя лемму Пуанкаре для дифференциальных форм в мир векторных полей, следующее также является векторным потенциалом для ${\displaystyle {\textbf {p}}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{1}s(({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {p}})\times ({\boldsymbol {v}}(s{\boldsymbol {x}}+(1-s){\boldsymbol {p}}))\ ds}$

Неуникальность

Векторный потенциал, допускаемый соленоидальным полем, не единственен. Если A — векторный потенциал для v , то так же

$${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}$$

${\displaystyle f}$

Эта неединственность приводит к некоторой степени свободы в формулировке электродинамики, или калибровочной свободе, и требует выбора калибра .

Смотрите также

• Основная теорема векторного исчисления
• Магнитный векторный потенциал
• Соленоид
• Замкнутые и точные дифференциальные формы

Рекомендации

• «Основы инженерной электромагнетики» , Дэвид К. Ченг, Аддисон-Уэсли, 1993.