Область

Размер двумерной поверхности

Площадь — это мера размера области на поверхности . Площадь плоской области или плоской области относится к площади формы или плоской пластинки , в то время как площадь поверхности относится к площади открытой поверхности или границе трехмерного объекта . Площадь можно понимать как количество материала заданной толщины, которое необходимо для создания модели формы, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности одним слоем. ^[1] Это двумерный аналог длины кривой ( одномерная концепция) или объема твердого тела (трехмерная концепция). Две разные области могут иметь одинаковую площадь (как в квадратуре круга ); по синекдохе «площадь» иногда используется для обозначения области, как в « многоугольной области ».

Площадь фигуры можно измерить, сравнив фигуру с квадратами фиксированного размера. ^[2] В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей площади является квадратный метр (обозначается как м2 ⁾ , который представляет собой площадь квадрата, длина стороны которого составляет один метр . ^[3] Фигура площадью три квадратных метра будет иметь такую ​​же площадь, как три таких квадрата. В математике единичный квадрат определяется как имеющий площадь, равную единице, а площадь любой другой фигуры или поверхности является безразмерным действительным числом .

Существует несколько известных формул для площадей простых фигур, таких как треугольники , прямоугольники и круги . Используя эти формулы, площадь любого многоугольника можно найти, разделив многоугольник на треугольники . ^[4] Для фигур с изогнутой границей для вычисления площади обычно требуется исчисление . Действительно, проблема определения площади плоских фигур была главной мотивацией для исторического развития исчисления . ^[5]

Для твердой формы, такой как сфера , конус или цилиндр, площадь ее граничной поверхности называется площадью поверхности . ^{[1] [6] [7]} Формулы для площадей поверхности простых форм были вычислены древними греками , но вычисление площади поверхности более сложной формы обычно требует многомерного исчисления .

Площадь играет важную роль в современной математике. В дополнение к своей очевидной важности в геометрии и исчислении, площадь связана с определением определителей в линейной алгебре и является основным свойством поверхностей в дифференциальной геометрии . ^[8] В анализе площадь подмножества плоскости определяется с помощью меры Лебега , ^[9] хотя не каждое подмножество измеримо, если предположить аксиому выбора. ^[10] В общем, площадь в высшей математике рассматривается как частный случай объема для двумерных областей. ^[1]

Площадь можно определить с помощью аксиом, определяя ее как функцию совокупности определенных плоских фигур к множеству действительных чисел. Можно доказать, что такая функция существует.

Формальное определение

Подход к определению того, что подразумевается под «площадью», осуществляется через аксиомы . «Площадь» может быть определена как функция от набора M специальных видов плоских фигур (называемых измеримыми множествами) к множеству действительных чисел, которая удовлетворяет следующим свойствам: ^[11]

• Для всех S из M , a ( S ) ≥ 0 .
• Если S и T принадлежат M , то также принадлежат S ∪ T и S ∩ T , а также a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ) .
• Если S и T принадлежат M, причем S ⊆ T , то T − S принадлежит M и a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ) .
• Если множество S принадлежит M и S конгруэнтно T, то T также принадлежит M и a ( S ) = a ( T ) .
• Каждый прямоугольник R принадлежит M. Если прямоугольник имеет длину h и ширину k, то a ( R ) = hk .
• Пусть Q — множество, заключенное между двумя ступенчатыми областями S и T. Ступенчатая область образована из конечного объединения смежных прямоугольников, опирающихся на общее основание, т. е. S ⊆ Q ⊆ T. Если существует уникальное число c, такое что a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) для всех таких ступенчатых областей S и T , то a ( Q ) = c .

Можно доказать, что такая функция площади действительно существует. ^[12]

Единицы

Квадратный метр из ПВХ-трубы

Каждой единице длины соответствует единица площади, а именно площадь квадрата с данной длиной стороны. Таким образом, площади могут измеряться в квадратных метрах (м ² ), квадратных сантиметрах (см ² ), квадратных миллиметрах (мм ² ), квадратных километрах (км ² ), квадратных футах (фт ² ), квадратных ярдах (ярд ² ), квадратных милях (ми ² ) и т. д. ^[13] Алгебраически эти единицы можно рассматривать как квадраты соответствующих единиц длины.

Единицей площади в системе СИ является квадратный метр, который считается производной единицей системы СИ . ^[3]

Конверсии

Хотя в 1 см содержится 10 мм, в 1 см ^{2 содержится 100 мм 2} .

Расчет площади квадрата, длина и ширина которого равны 1 метру, будет выглядеть следующим образом:

1 метр × 1 метр = 1 м ²

и таким образом, прямоугольник с разными сторонами (скажем, длиной 3 метра и шириной 2 метра) будет иметь площадь в квадратных единицах, которую можно рассчитать как:

3 метра × 2 метра = 6 м ² . Это эквивалентно 6 миллионам квадратных миллиметров. Другие полезные преобразования:

• 1 квадратный километр = 1 000 000 квадратных метров
• 1 квадратный метр = 10 000 квадратных сантиметров = 1 000 000 квадратных миллиметров
• 1 квадратный сантиметр = 100 квадратных миллиметров.

Неметрические единицы

В неметрических единицах преобразование между двумя квадратными единицами представляет собой квадрат преобразования между соответствующими единицами длины.

1 фут = 12 дюймов ,

соотношение между квадратными футами и квадратными дюймами

1 квадратный фут = 144 квадратных дюйма,

где 144 = 12 ² = 12 × 12. Аналогично:

• 1 квадратный ярд = 9 квадратных футов
• 1 квадратная миля = 3 097 600 квадратных ярдов = 27 878 ​​400 квадратных футов

Кроме того, коэффициенты пересчета включают в себя:

• 1 квадратный дюйм = 6,4516 квадратных сантиметров
• 1 квадратный фут = 0,092 903 04 квадратных метра
• 1 квадратный ярд = 0,836 127 36 квадратных метров
• 1 квадратная миля = 2,589 988 110 336 квадратных километров

Другие подразделения, включая исторические

Существует несколько других общепринятых единиц измерения площади. Ара была первоначальной единицей измерения площади в метрической системе , с:

• 1 ар = 100 квадратных метров

Хотя ар вышел из употребления, гектар по-прежнему широко используется для измерения площади земли: ^[13]

• 1 гектар = 100 акров = 10 000 квадратных метров = 0,01 квадратных километров

Другие необычные метрические единицы площади включают тетраду , гектаду и мириаду .

Акр также обычно используется для измерения площади земли, где

• 1 акр = 4840 квадратных ярдов = 43 560 квадратных футов.

Акр составляет примерно 40% гектара.

В атомном масштабе площадь измеряется в барнах , например: ^[13]

• 1 амбар = 10−28 ^{квадратных} метров.

Барн обычно используется для описания площади поперечного сечения взаимодействия в ядерной физике . ^[13]

В Южной Азии (в основном индийцы), хотя страны используют единицы СИ в качестве официальных, многие южноазиаты все еще используют традиционные единицы. Каждое административное деление имеет свою собственную единицу измерения, некоторые из них имеют одинаковые названия, но с разными значениями. Официального консенсуса относительно значений традиционных единиц не существует. Таким образом, преобразования между единицами СИ и традиционными единицами могут иметь разные результаты, в зависимости от того, какая ссылка использовалась. ^{[14] [15] [16] [17]}

Некоторые традиционные южноазиатские единицы, имеющие фиксированную стоимость:

• 1 Килла = 1 акр
• 1 гумаон = 1 акр
• 1 канал = 0,125 акра (1 акр = 8 каналов)
• 1 десятичный знак = 48,4 квадратных ярдов
• 1 Чатак = 180 квадратных футов

История

Площадь круга

В V веке до нашей эры Гиппократ Хиосский был первым, кто показал, что площадь диска (область, ограниченная кругом) пропорциональна квадрату его диаметра, как часть его квадратуры луны Гиппократа , ^[18] но не определил константу пропорциональности . Евдокс Книдский , также в V веке до нашей эры, также обнаружил, что площадь диска пропорциональна его радиусу в квадрате. ^[19]

Впоследствии, Книга I « Начал » Евклида рассматривала равенство площадей между двумерными фигурами. Математик Архимед использовал инструменты евклидовой геометрии , чтобы показать, что площадь внутри круга равна площади прямоугольного треугольника , основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга, в своей книге Измерение круга . (Окружность равна 2π r , а площадь треугольника равна половине основания, умноженного на высоту, что дает площадь π r ² для круга.) Архимед приблизил значение π (и, следовательно, площадь круга единичного радиуса) с помощью своего метода удвоения , в котором он вписывал правильный треугольник в круг и отмечал его площадь, затем удваивал число сторон, чтобы получить правильный шестиугольник , затем многократно удваивал число сторон, поскольку площадь многоугольника становилась все ближе и ближе к площади круга (и делал то же самое с описанными многоугольниками ).

Площадь треугольника

Герон Александрийский нашел то, что известно как формула Герона для площади треугольника через его стороны, и доказательство можно найти в его книге «Метрика» , написанной около 60 г. н. э. Было высказано предположение, что Архимед знал формулу более двух столетий назад, ^[20] и поскольку «Метрика» представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула предшествовала ссылке, приведенной в этой работе. ^[21] В 300 г. до н. э. греческий математик Евклид доказал, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и высотой в своей книге «Элементы геометрии» . ^[22]

В 499 году Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , выразил площадь треугольника как половину основания, умноженного на высоту в « Арьябхатии» . ^[23]

Формула, эквивалентная формуле Герона, была открыта китайцами независимо от греков. Она была опубликована в 1247 году в Шушу Цзючжан (« Математический трактат в девяти разделах »), написанном Цинь Цзюшао . ^[24]

Площадь четырехугольника

В VII веке нашей эры Брахмагупта разработал формулу, теперь известную как формула Брахмагупты , для площади вписанного четырехугольника ( четырехугольника, вписанного в окружность) через его стороны. В 1842 году немецкие математики Карл Антон Бретшнайдер и Карл Георг Христиан фон Штаудт независимо друг от друга нашли формулу, известную как формула Бретшнайдера , для площади любого четырехугольника.

Общая площадь многоугольника

Разработка Рене Декартом в XVII веке декартовой системы координат позволила Гауссу в XIX веке разработать геодезическую формулу для площади любого многоугольника с известным расположением вершин .

Площади, определенные с помощью исчисления

Развитие интегрального исчисления в конце XVII века предоставило инструменты, которые впоследствии можно было использовать для вычисления более сложных площадей, таких как площадь эллипса и площади поверхностей различных искривленных трехмерных объектов.

Формулы площади

Формулы многоугольников

Для несамопересекающегося ( простого ) многоугольника, декартовы координаты ( i =0, 1, ..., n -1) n вершин которого известны, площадь определяется по геодезической формуле : ^[25] ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}$

где когда i = n -1, то i +1 выражается как модуль n и поэтому относится к 0.

Прямоугольники

Площадь этого прямоугольника равна  lw .

Самая простая формула площади — это формула площади прямоугольника . Для прямоугольника длиной l и шириной w формула площади выглядит так: ^[2]

A = lw  (прямоугольник).

То есть, площадь прямоугольника равна длине, умноженной на ширину. В частном случае, поскольку l = w в случае квадрата, площадь квадрата со стороной s определяется по формуле: ^{[1] [2]}

А = s ²  (квадрат).

Формула для площади прямоугольника следует непосредственно из основных свойств площади и иногда принимается за определение или аксиому . С другой стороны, если геометрия развита раньше арифметики , эта формула может быть использована для определения умножения действительных чисел .

Разбиение, параллелограммы и треугольники

Параллелограмм можно разрезать и перестроить так, чтобы получился прямоугольник.

Большинство других простых формул для площади следуют из метода рассечения . Это включает в себя разрезание фигуры на части, площадь которых должна быть равна площади исходной фигуры. Например, любой параллелограмм можно разделить на трапецию и прямоугольный треугольник , как показано на рисунке слева. Если треугольник переместить на другую сторону трапеции, то полученная фигура будет прямоугольником. Из этого следует, что площадь параллелограмма такая же, как площадь прямоугольника: ^[2]

A = bh  (параллелограмм).

Параллелограмм, разделенный на два равных треугольника

Однако тот же параллелограмм можно разрезать по диагонали на два равных треугольника, как показано на рисунке справа. Из этого следует, что площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма: ^[2]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$  (треугольник).

Аналогичные аргументы можно использовать для нахождения формул площади трапеции ^[26], а также более сложных многоугольников . ^[27]

Площадь криволинейных фигур

Круги

Круг можно разделить на сектора, которые, перестраиваясь, образуют приблизительный параллелограмм .

Формула для площади круга ( более правильно называемой площадью, заключенной в круг или площадью диска ) основана на похожем методе. Если задан круг радиусом r , то можно разбить круг на сектора , как показано на рисунке справа. Каждый сектор имеет приблизительно треугольную форму, и сектора можно переставить, чтобы сформировать приблизительный параллелограмм. Высота этого параллелограмма равна r , а ширина — половине длины окружности, или π r . Таким образом, общая площадь круга равна π r ² : ^[2]

A = π r ²  (круг).

Хотя рассечение, используемое в этой формуле, является лишь приблизительным, ошибка становится все меньше и меньше по мере того, как круг разбивается на все большее количество секторов. Предел площадей приблизительных параллелограммов составляет ровно π r ² , что является площадью круга. ^[28]

Этот аргумент на самом деле является простым применением идей исчисления . В древние времена метод исчерпывания использовался аналогичным образом для нахождения площади круга, и этот метод теперь признан предшественником интегрального исчисления . Используя современные методы, площадь круга можно вычислить с помощью определенного интеграла :

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}$

Эллипсы

Формула для площади, ограниченной эллипсом , связана с формулой окружности; для эллипса с большой и малой полуосями x и y формула имеет вид: ^[2]

${\displaystyle A=\pi xy.}$

Неплоская поверхность

Архимед показал, что площадь поверхности сферы ровно в четыре раза больше площади плоского диска того же радиуса, а объем, заключенный в сфере, составляет ровно 2/3 объема цилиндра той же высоты и радиуса.

Большинство основных формул для площади поверхности можно получить, разрезая поверхности и делая их плоскими (см.: развертывающиеся поверхности ). Например, если боковая поверхность цилиндра ( или любой призмы ) разрезать вдоль, поверхность можно сделать плоской в ​​прямоугольник. Аналогично, если сделать разрез вдоль стороны конуса , боковую поверхность можно сделать плоской в ​​сектор круга, и вычислить полученную площадь.

Формулу для площади поверхности сферы вывести сложнее: поскольку сфера имеет ненулевую гауссову кривизну , ее нельзя сделать плоской. Формула для площади поверхности сферы была впервые получена Архимедом в его работе «О сфере и цилиндре» . Формула выглядит так: ^[6]

A = 4 πr ²  (сфера),

где r — радиус сферы. Как и в случае с формулой для площади круга, любой вывод этой формулы по своей сути использует методы, схожие с исчислением .

Общие формулы

Площади двумерных фигур

Площадь треугольника ${\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}$

• Треугольник : (где B — любая сторона, а h — расстояние от прямой, на которой лежит точка B , до другой вершины треугольника). Эту формулу можно использовать, если известна высота h . Если известны длины трех сторон, то можно использовать формулу Герона : где a , b , c — стороны треугольника, а — половина его периметра. ^[2] Если заданы угол и две его стороны, то площадь равна , где C — заданный угол, а a и b — его стороны, входящие в него. ^[2] Если треугольник изображен на координатной плоскости, можно использовать матрицу, которая упрощается до абсолютного значения . Эта формула также известна как формула шнурка и является простым способом решения для площади координатного треугольника путем подстановки 3 точек (x ₁ ,y ₁ ) , (x ₂ ,y ₂ ) и (x ₃ ,y ₃ ) . Формулу шнуровки можно также использовать для нахождения площадей других многоугольников, если известны их вершины. Другой подход для координатного треугольника — использовать исчисление для нахождения площади. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$ ${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$
• Простой многоугольник , построенный на сетке равноудаленных точек (т.е. точек с целочисленными координатами) таким образом, что все вершины многоугольника являются точками сетки: , где i — количество точек сетки внутри многоугольника, а b — количество граничных точек. Этот результат известен как теорема Пика . ^[29] ${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$

Площадь в исчислении

Интеграцию можно рассматривать как измерение площади под кривой, определяемой функцией f ( x ), между двумя точками (здесь a и b ).

Площадь между двумя графиками можно оценить, вычислив разность между интегралами двух функций.

• Площадь между положительной кривой и горизонтальной осью, измеренная между двумя значениями a и b (b определяется как большее из двух значений) на горизонтальной оси, определяется интегралом от a до b функции, которая представляет кривую: ^[1]

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

• Площадь между графиками двух функций равна интегралу одной функции , f ( x ), минус интеграл другой функции, g ( x ) :

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$где — кривая с большим значением y. ${\displaystyle f(x)}$

• Площадь, ограниченная функцией, выраженной в полярных координатах, равна: ^[1] ${\displaystyle r=r(\theta )}$

${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}$

• Площадь, ограниченная параметрической кривой с конечными точками, определяется линейными интегралами : ${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$

или z -компонента

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$

(Подробнее см. теорему Грина § Расчет площади .) Это принцип действия механического устройства планиметра .

Ограниченная область между двумя квадратичными функциями

Чтобы найти ограниченную площадь между двумя квадратичными функциями , мы сначала вычитаем одну из другой, записывая разницу как где f ( x ) — квадратичная верхняя граница, а g ( x ) — квадратичная нижняя граница. Используя приведенные выше формулы интеграла площади и формулу Виета , мы можем получить, что ^{[30] [31]} Вышеизложенное остается справедливым, если одна из ограничивающих функций является линейной, а не квадратичной. $${\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$$ $${\displaystyle A={\frac {(b^{2}-4ac)^{3/2}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}$$

Площадь поверхности трехмерных фигур

• Конус : ^[32] , где r — радиус круглого основания, а h — высота. Это также можно переписать как ^[32] или где r — радиус, а l — наклонная высота конуса. — площадь основания, а — площадь боковой поверхности конуса. ^[32] ${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$ ${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$ ${\displaystyle \pi rl}$
• Куб : , где s — длина ребра. ^[6] ${\displaystyle 6s^{2}}$
• Цилиндр : , где r — радиус основания, а h — высота. Можно также переписать как , где d — диаметр. ${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$ ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle \pi d}$
• Призма : , где B — площадь основания, P — периметр основания, а h — высота призмы. ${\displaystyle 2B+Ph}$
• пирамида : , где B — площадь основания, P — периметр основания, а L — длина наклонной плоскости. ${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$
• Прямоугольная призма : , где — длина, w — ширина, а h — высота. ${\displaystyle 2(\ell w+\ell h+wh)}$ ${\displaystyle \ell }$

Общая формула для площади поверхности

Общая формула для площади поверхности графика непрерывно дифференцируемой функции, где и — область в плоскости xy с гладкой границей: ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle (x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.}$

Еще более общая формула для площади графика параметрической поверхности в векторной форме, где — непрерывно дифференцируемая векторная функция от , имеет вид: ^[8] ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}$

Список формул

Приведенные выше расчеты показывают, как найти площади многих распространенных фигур .

Площади неправильных (и, следовательно, произвольных) многоугольников можно вычислить с помощью « формулы землемера » (формулы шнурка). ^[28]

Отношение площади к периметру

Изопериметрическое неравенство утверждает, что для замкнутой кривой длины L (то есть области, которую она охватывает, имеет периметр L ) и для площади A области, которую она охватывает,

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

и равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая является окружностью . Таким образом, круг имеет наибольшую площадь среди всех замкнутых фигур с заданным периметром.

С другой стороны, фигура с заданным периметром L может иметь сколь угодно малую площадь, как это иллюстрирует ромб , который «перевернут» на произвольное расстояние так, что два его угла сколь угодно близки к 0°, а два других — сколь угодно близки к 180°.

Для круга отношение площади к длине окружности (термин, обозначающий периметр круга) равно половине радиуса r . Это видно из формулы площади πr ² и формулы длины окружности 2 πr .

Площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженного на апофему (где апофема — это расстояние от центра до ближайшей точки на любой стороне).

Фракталы

Удвоение длин сторон многоугольника умножает его площадь на четыре, что равно двум (отношение новой длины стороны к старой), возведенным в степень два (размерность пространства, в котором находится многоугольник). Но если все одномерные длины фрактала, нарисованного в двух измерениях, удваиваются, пространственное содержимое фрактала масштабируется в степени два, которая не обязательно является целым числом. Эта степень называется фрактальной размерностью фрактала. ^[33]

Биссектрисы площади

Существует бесконечное множество линий, которые делят площадь треугольника пополам. Три из них являются медианами треугольника (соединяющими середины сторон с противоположными вершинами), и они пересекаются в центре тяжести треугольника ; на самом деле, это единственные биссектрисы площади, проходящие через центр тяжести. Любая линия, проходящая через треугольник и делящая как площадь треугольника, так и его периметр пополам, проходит через инцентр треугольника (центр его вписанной окружности ). Для любого данного треугольника существует один, два или три таких отрезка.

Любая линия, проходящая через середину параллелограмма, делит его площадь пополам.

Все биссектрисы площади круга или другого эллипса проходят через центр, и любые хорды, проходящие через центр, делят площадь пополам. В случае круга они являются диаметрами круга.

Оптимизация

При наличии контура проволоки, поверхность наименьшей площади, охватывающая («заполняющая») ее, является минимальной поверхностью . Знакомые примеры включают мыльные пузыри .

Вопрос о площади заполнения риманова круга остается открытым. ^[34]

Круг имеет самую большую площадь среди всех двумерных объектов с таким же периметром.

Вписанный в окружность многоугольник имеет наибольшую площадь среди многоугольников с заданным числом сторон одинаковой длины.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним . ^[35]

Треугольник наибольшей площади из всех треугольников, вписанных в данный круг, является равносторонним; а треугольник наименьшей площади из всех треугольников, описанных вокруг данного круга, является равносторонним. ^[36]

Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника больше, чем у любого неравностороннего треугольника. ^[37] ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника больше, чем у любого другого треугольника. ^[35] ${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

Смотрите также

• Четырехугольник Брахмагупты — вписанный четырехугольник с целыми сторонами, целыми диагоналями и целой площадью.
• Эквиареальная карта
• Геронов треугольник — треугольник с целыми сторонами и целой площадью.
• Список неравенств треугольника
• Треугольник площадью в одну седьмую — внутренний треугольник с площадью в одну седьмую площади опорного треугольника.

• Теорема Рауса , обобщение треугольника с площадью в одну седьмую.

• Порядки величин — список областей по размеру.
• Вывод формулы пятиугольника
• Планиметр — прибор для измерения небольших площадей, например, на картах.
• Площадь выпуклого четырехугольника
• Пентагон Роббинса — вписанный пятиугольник, длины сторон и площадь которого являются рациональными числами.

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Area". Wolfram MathWorld . Архивировано из оригинала 5 мая 2012 г. Получено 3 июля 2012 г.
2. "Формулы площади". Math.com. Архивировано из оригинала 2 июля 2012 г. Получено 2 июля 2012 г.
3. "Резолюция 12 11-го заседания CGPM (1960)". Bureau International des Poids et Mesures . Архивировано из оригинала 2012-07-28 . Получено 15 июля 2012 .
4. Марк де Берг; Марк ван Кревелд; Марк Овермарс ; Отфрид Шварцкопф (2000). «Глава 3: Триангуляция многоугольника». Вычислительная геометрия (2-е исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 45–61. ISBN 978-3-540-65620-3.
5. Бойер, Карл Б. (1959). История исчисления и его концептуальное развитие. Дувр. ISBN 978-0-486-60509-8.
6. Weisstein, Eric W. "Surface Area". Wolfram MathWorld . Архивировано из оригинала 23 июня 2012 г. Получено 3 июля 2012 г.
7. "Площадь поверхности". CK-12 Foundation . Получено 2018-10-09 .
8. do Carmo, Manfredo (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Prentice-Hall. стр. 98, ISBN 978-0-13-212589-5 
9. Уолтер Рудин (1966). Действительный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6 . 
10. Джеральд Фолланд (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение , John Wiley & Sons, Inc., стр. 20, ISBN 0-471-31716-0 
11. Апостол, Том (1967). Исчисление . Т. I: Одномерное исчисление с введением в линейную алгебру. С. 58–59. ISBN 9780471000051.
12. Моис, Эдвин (1963). Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения . Addison-Wesley Pub. Co. Получено 15 июля 2012 г.
13. Международное бюро мер и весов (2006). Международная система единиц (СИ) (PDF) . 8-е изд. Глава 5. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-11-05 . Получено 2008-02-13 .
14. "Единицы измерения земли в Индии: стандартные единицы измерения, таблица перевода земель". Magicbricks Blog . 2020-08-04 . Получено 2023-09-20 .
15. Мишра, Сунита (2023-06-13). "В каких единицах измеряется земля в Индии: все типы в 2023 году". Housing News . Получено 20-09-2023 .
16. "Стандартные единицы измерения земли в Индии - Times Property". timesproperty.com . Получено 20 сентября 2023 г.
17. www.clicbrics.com. "9 единиц измерения земли в Индии, которые вы должны знать - 2022". www.clicbrics.com . Получено 20 сентября 2023 г.
18. Хит, Томас Л. (2003). Руководство по греческой математике. Courier Dover Publications. С. 121–132. ISBN 978-0-486-43231-1. Архивировано из оригинала 2016-05-01.
19. Стюарт, Джеймс (2003). Ранние трансцендентальные исчисления с одной переменной (5-е изд.). Торонто, Онтарио: Brook/Cole. стр. 3. ISBN 978-0-534-39330-4. Однако, косвенным путем, Евдокс (пятый век до н. э.) использовал исчерпание, чтобы доказать известную формулу для площади круга: ${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$
20. Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики (т. II) . Oxford University Press. стр. 321–323.
21. Вайсштейн, Эрик В. «Формула Герона». MathWorld .
22. "Доказательство теоремы Пифагора Евклида | Synaptic". Центральный колледж . Получено 2023-07-12 .
23. Кларк, Уолтер Юджин (1930). Арьябхатия Арьябхаты: Древний индийский труд по математике и астрономии (PDF) . Издательство Чикагского университета. стр. 26.
24. Сюй, Вэньвэнь; Юй, Нин (май 2013 г.). «Мост назван в честь математика, открывшего китайскую теорему об остатках» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 60 (5): 596–597.
25. Бурк, Пол (июль 1988 г.). "Вычисление площади и центра масс многоугольника" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2012-09-16 . Получено 6 февраля 2013 г.
26. Авербах, Бонни ; Чейн, Орин (2012). Решение проблем с помощью занимательной математики . Довер. стр. 306. ISBN 978-0-486-13174-0.
27. Джоши, КД (2002). Исчисление для ученых и инженеров: аналитический подход. CRC Press. стр. 43. ISBN 978-0-8493-1319-6. Архивировано из оригинала 2016-05-05.
28. Braden, Bart (сентябрь 1986 г.). "The Surveyor's Area Formula" (PDF) . The College Mathematics Journal . 17 (4): 326–337. doi :10.2307/2686282. JSTOR  2686282. Архивировано (PDF) из оригинала 27 июня 2012 г. . Получено 15 июля 2012 г. .
29. Trainin, J. (ноябрь 2007 г.). «Элементарное доказательство теоремы Пика». Mathematical Gazette . 91 (522): 536–540. doi :10.1017/S0025557200182270. S2CID  124831432.
30. Математика. PT Графиндо Медиа Пратама. стр. 51–. ISBN 978-979-758-477-1. Архивировано из оригинала 2017-03-20.
31. Добейтесь успеха ООН +СПМБ Математика. PT Графиндо Медиа Пратама. стр. 157–. ISBN 978-602-00-0090-9. Архивировано из оригинала 2016-12-23.
32. Weisstein, Eric W. "Cone". Wolfram MathWorld . Архивировано из оригинала 21 июня 2012 года . Получено 6 июля 2012 года .
33. Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Архивировано из оригинала 20 марта 2017 . Получено 1 февраля 2012 .
34. Громов, Михаил (1983). «Заполнение римановых многообразий». Журнал дифференциальной геометрии . 18 (1): 1–147. CiteSeerX 10.1.1.400.9154 . doi :10.4310/jdg/1214509283. MR  0697984. Архивировано из оригинала 2014-04-08. 
35. Chakerian, GD (1979) «Искаженный взгляд на геометрию». Гл. 7 в Mathematical Plums . R. Honsberger (ред.). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 147.
36. Дорри, Генрих (1965), 100 великих проблем элементарной математики , Dover Publ., стр. 379–380.
37. Минда, Д.; Фелпс, С. (октябрь 2008 г.). «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены». American Mathematical Monthly . 115 (8): 679–689: Теорема 4.1. doi :10.1080/00029890.2008.11920581. JSTOR  27642581. S2CID  15049234. Архивировано из оригинала 2016-11-04.

Внешние ссылки