Аксиома

Утверждение, которое считается правдой

Аксиома , постулат или предположение — это утверждение , которое считается истинным и служит предпосылкой или отправной точкой для дальнейших рассуждений и аргументов. Это слово происходит от древнегреческого слова ἀξίωμα ( аксиома ), означающего «то, что считается достойным или подходящим» или «то, что считается очевидным». ^{[1] [2]}

Точное определение варьируется в зависимости от области исследования. В классической философии аксиома — это утверждение, которое настолько очевидно или устоялось, что принимается без споров и вопросов. ^[3] В современной логике аксиома является предпосылкой или отправной точкой рассуждения. ^[4]

В математике аксиома может быть «логической аксиомой» или « нелогической аксиомой». Логические аксиомы считаются истинными в рамках определяемой ими системы логики и часто изображаются в символической форме (например, ( A и B ) подразумевают A ), в то время как нелогические аксиомы (например, a + b = b + a ) содержательные утверждения об элементах области конкретной математической теории, например арифметики .

Нелогические аксиомы также можно назвать «постулатами» или «предположениями». В большинстве случаев нелогическая аксиома представляет собой просто формальное логическое выражение, используемое при дедукции для построения математической теории, и может быть, а может и не быть самоочевидным по своей природе (например, постулат о параллельности в евклидовой геометрии ). Аксиоматизировать систему знаний — значит показать, что ее утверждения могут быть выведены из небольшого, хорошо понятного набора предложений (аксиом), и обычно существует множество способов аксиоматизировать данную математическую область.

Любая аксиома — это утверждение, служащее отправной точкой, из которой логически выводятся другие утверждения. Имеет ли значение (и если да, то что это значит) для того, чтобы аксиома была «истинной», является предметом споров в философии математики . ^[5]

Этимология

Слово аксиома происходит от греческого слова ἀξίωμα ( axíōma ), отглагольного существительного от глагола ἀξιόειν ( axioein ), означающего «считать достойным», но также и «требовать», которое, в свою очередь, происходит от ἄξιος ( áxios ), означающего « находясь в равновесии», а значит, «имея (такую ​​же) ценность (как)», «достойный», «надлежащий». Древнегреческие философы и математики считали аксиомы непосредственными очевидными положениями, основополагающими и общими для многих областей исследования и самоочевидно истинными без каких-либо дополнительных аргументов или доказательств . ^[6]

Коренное значение слова постулат — «требовать»; например, Евклид требует, чтобы кто-то согласился с тем, что некоторые вещи можно сделать (например, любые две точки можно соединить прямой линией). ^[7]

Древние геометры придерживались некоторого различия между аксиомами и постулатами. Комментируя книги Евклида, Прокл отмечает, что « Гемин считал, что этот [4-й] постулат следует рассматривать не как постулат, а как аксиому, поскольку он не утверждает, как первые три постулата, возможность какой-либо конструкции, а выражает существенное имущество». ^[8] Боэций перевел «постулат» как petitio и назвал аксиомы notiones communes , но в более поздних рукописях это употребление не всегда строго соблюдалось. ^{[ нужна цитата ]}

Историческое развитие

Ранние греки

Логико-дедуктивный метод, при котором выводы (новое знание) следуют из посылок (старое знание) посредством применения обоснованных аргументов ( силлогизмов , правил вывода ), был разработан древними греками и стал основным принципом современной математики. Если исключить тавтологии , ничего нельзя вывести, если ничего не предполагается. Таким образом, аксиомы и постулаты являются основными предположениями, лежащими в основе данного массива дедуктивных знаний. Они принимаются без демонстрации. Все остальные утверждения ( теоремы в случае математики) должны быть доказаны с помощью этих основных предположений. Однако интерпретация математического знания изменилась с древних времен на современность, и, следовательно, термины « аксиома » и «постулат» имеют для современного математика несколько иное значение, чем для Аристотеля и Евклида . ^[6]

Древние греки считали геометрию лишь одной из нескольких наук и ставили теоремы геометрии наравне с научными фактами. Таким образом, они разработали и использовали логико-дедуктивный метод как средство предотвращения ошибок, а также для структурирования и передачи знаний. Апостериорная аналитика Аристотеля представляет собой окончательное изложение классической точки зрения. ^{[ нужна цитата ]}

«Аксиома» в классической терминологии относится к самоочевидному предположению, обычному для многих отраслей науки. Хорошим примером может служить утверждение, что:

Когда из равных берется равная сумма, получается равная сумма.

В основе различных наук лежали некоторые дополнительные гипотезы , принимаемые без доказательств. Такая гипотеза получила название постулата . Хотя аксиомы были общими для многих наук, постулаты каждой конкретной науки были разными. Их обоснованность должна была быть установлена ​​на основе реального опыта. Аристотель предупреждает, что содержание науки не может быть успешно передано, если обучающийся сомневается в истинности постулатов. ^[9]

Классический подход хорошо иллюстрируется ^[а] «Началами » Евклида , где дан список постулатов (здравомыслящие геометрические факты, извлеченные из нашего опыта), за которыми следует список «общих понятий» (очень основные, самоочевидные утверждения). ).

Постулаты

1. Из любой точки можно провести прямую линию в любую другую точку.
2. Можно непрерывно удлинять сегмент линии в обоих направлениях.
3. Описать окружность можно с любым центром и любым радиусом.
4. Это правда, что все прямые углы равны между собой.
5. (« Постулат о параллельности »). Верно, что если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной и той же стороне меньшими, чем два прямых угла, то две прямые линии, если их производить бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше двух прямых углов .

Общие понятия

1. Вещи, равные одному и тому же, равны и друг другу.
2. Если равные прибавляются к равным, целые становятся равными.
3. Если из равных вычесть равные, то остатки равны.
4. Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.
5. Целое больше части.

Современное развитие

Урок, извлеченный математикой за последние 150 лет, заключается в том, что полезно лишить математических утверждений (аксиом, постулатов, предложений , теорем) и определений смысла. Необходимо признать необходимость примитивных понятий или неопределенных терминов или концепций в любом исследовании. Такая абстракция или формализация делает математические знания более общими, способными иметь множество различных значений и, следовательно, полезными в различных контекстах. Алессандро Падоа , Марио Пьери и Джузеппе Пеано были пионерами этого движения.

Структуралистская математика идет дальше и разрабатывает теории и аксиомы (например , теорию поля , теорию групп , топологию , векторные пространства ) без какого-либо конкретного применения. Различие между «аксиомой» и «постулатом» исчезает. Постулаты Евклида выгодно мотивированы тем, что они приводят к огромному количеству геометрических фактов. Истинность этих сложных фактов основывается на принятии основных гипотез. Однако, отбросив пятый постулат Евклида, можно получить теории, имеющие смысл в более широком контексте (например, гиперболическая геометрия ). Таким образом, нужно просто быть готовым использовать такие ярлыки, как «линия» и «параллель», с большей гибкостью. Развитие гиперболической геометрии научило математиков тому, что постулаты полезно рассматривать как чисто формальные утверждения, а не как факты, основанные на опыте.

Когда математики используют аксиомы поля , намерения становятся еще более абстрактными. Предложения теории поля не касаются какого-либо конкретного приложения; математик теперь работает в полной абстракции. Существует множество примеров полей; теория поля дает правильные знания обо всех них.

Неверно говорить, что аксиомы теории поля — это «предложения, которые считаются истинными без доказательства». Скорее, аксиомы поля представляют собой набор ограничений. Если какая-либо система сложения и умножения удовлетворяет этим ограничениям, то можно мгновенно узнать об этой системе большое количество дополнительной информации.

Современная математика формализует свои основы до такой степени, что математические теории можно рассматривать как математические объекты, а саму математику — как раздел логики . Фреге , Рассел , Пуанкаре , Гильберт и Гёдель — одни из ключевых фигур в этом развитии.

Еще один урок, извлеченный из современной математики, заключается в тщательном изучении предполагаемых доказательств на предмет скрытых предположений.

В современном понимании набор аксиом — это любой набор формально сформулированных утверждений, из которого следуют другие формально сформулированные утверждения — посредством применения определенных четко определенных правил. С этой точки зрения логика становится просто еще одной формальной системой. Набор аксиом должен быть последовательным ; из аксиом должно быть невозможно вывести противоречие. Набор аксиом также не должен быть избыточным; утверждение, которое можно вывести из других аксиом, не обязательно должно рассматриваться как аксиома.

Современные логики надеялись, что различные разделы математики, а возможно, и вся математика, могут быть выведены из последовательного набора основных аксиом. Ранним успехом формалистической программы стала формализация Гильбертом ^[b] евклидовой геометрии ^[10] и связанная с ней демонстрация непротиворечивости этих аксиом.

В более широком контексте была попытка основать всю математику на теории множеств Кантора . Здесь появление парадокса Рассела и подобных антиномий наивной теории множеств повысило вероятность того, что любая такая система может оказаться несовместимой.

Формалистский проект потерпел решающую неудачу, когда в 1931 году Гёдель показал, что для любого достаточно большого набора аксиом ( например, аксиом Пеано ) возможно построить утверждение, истинность которого не зависит от этого набора аксиом. Как следствие , Гёдель доказал, что непротиворечивость такой теории, как арифметика Пеано, является недоказуемым утверждением в рамках этой теории. ^[11]

Разумно верить в непротиворечивость арифметики Пеано, поскольку ей удовлетворяет система натуральных чисел , бесконечная , но интуитивно доступная формальная система. Однако в настоящее время неизвестен способ продемонстрировать непротиворечивость современных аксиом Цермело–Френкеля для теории множеств. Более того, используя методы принуждения ( Коэн ), можно показать, что гипотеза континуума (Кантор) не зависит от аксиом Цермело – Френкеля. ^[12] Таким образом, даже этот очень общий набор аксиом не может рассматриваться как окончательная основа математики.

Другие науки

Экспериментальные науки - в отличие от математики и логики - также имеют общие основополагающие утверждения, на основе которых можно построить дедуктивные рассуждения, чтобы выразить предложения, предсказывающие свойства - либо все еще общие, либо гораздо более специализированные для конкретного экспериментального контекста. Например, законы Ньютона в классической механике, уравнения Максвелла в классическом электромагнетизме, уравнение Эйнштейна в общей теории относительности, законы генетики Менделя , закон естественного отбора Дарвина и т. д. Эти основополагающие утверждения обычно называют принципами или постулатами , чтобы отличить их от математических аксиом .

На самом деле роль аксиом в математике и постулатов в экспериментальных науках различна. В математике аксиому нельзя ни «доказать», ни «опровергнуть». Набор математических аксиом дает набор правил, фиксирующих концептуальную область, в которой логически следуют теоремы. Напротив, в экспериментальных науках набор постулатов должен позволять выводить результаты, которые соответствуют или не соответствуют экспериментальным результатам. Если постулаты не позволяют делать экспериментальные предсказания, они не задают научную концептуальную основу и должны быть дополнены или уточнены. Если постулаты позволяют вывести предсказания экспериментальных результатов, то сравнение с экспериментами позволяет фальсифицировать ( фальсифицировать ) теорию, которую устанавливают постулаты. Теория считается обоснованной до тех пор, пока она не была фальсифицирована.

Но переход между математическими аксиомами и научными постулатами всегда слегка размыт, особенно в физике. Это связано с интенсивным использованием математических инструментов для поддержки физических теорий. Например, введение законов Ньютона редко устанавливает в качестве предпосылки ни евклидову геометрию, ни дифференциальное исчисление, которые они подразумевают. Это стало более очевидным, когда Альберт Эйнштейн впервые представил специальную теорию относительности , где инвариантной величиной является уже не евклидова длина (определяемая как ) >, а пространственно-временной интервал Минковского (определяемый как ), а затем общая теория относительности , в которой плоская геометрия Минковского заменяется псевдоримановой. геометрия на искривленных многообразиях . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

В квантовой физике в течение некоторого времени сосуществовали два набора постулатов, которые представляют собой очень хороший пример фальсификации. « Копенгагенская школа » ( Нильс Бор , Вернер Гейзенберг , Макс Борн ) разработала операционный подход с полным математическим формализмом, который предполагает описание квантовой системы векторами («состояниями») в сепарабельном гильбертовом пространстве и физическими величинами как линейными операторами. которые действуют в этом гильбертовом пространстве. Этот подход полностью фальсифицируем и на данный момент дает наиболее точные предсказания в физике. Но у него есть неудовлетворительный аспект: он не дает ответов на вопросы, которые естественно задаются. По этой причине другой подход « скрытых переменных » некоторое время разрабатывался Альбертом Эйнштейном, Эрвином Шрёдингером , Дэвидом Бомом . Он был создан для того, чтобы попытаться дать детерминистское объяснение таким явлениям, как запутанность . Этот подход предполагал, что описание Копенгагенской школы не было полным, и постулировал, что в теорию должна быть добавлена ​​некая, пока неизвестная переменная, чтобы позволить ответить на некоторые вопросы, на которые она не отвечает (основополагающие элементы которых обсуждались как ЭПР) . парадокс 1935 года). Серьезно приняв эти идеи, Джон Белл в 1964 году сделал предсказание, которое привело к различным экспериментальным результатам ( неравенствам Белла ) в случае Копенгагена и скрытой переменной. Эксперимент был впервые проведен Аленом Аспектом в начале 1980-х годов, и его результат исключил простой подход со скрытыми переменными (сложные скрытые переменные все еще могут существовать, но их свойства все равно будут более тревожными, чем проблемы, которые они пытаются решить). Это не означает, что концептуальную основу квантовой физики сейчас можно считать завершенной, поскольку некоторые открытые вопросы все еще существуют (предел между квантовой и классической сферами, что происходит во время квантового измерения, что происходит в полностью закрытой квантовой системе, такой как как сама Вселенная и т. д.).

Математическая логика

В области математической логики проводится четкое различие между двумя понятиями аксиом: логическими и нелогическими (что-то похожее на древнее различие между «аксиомами» и «постулатами» соответственно).

Логические аксиомы

Это определенные формулы формального языка , которые являются универсально действительными , то есть формулы, которым удовлетворяет любое присвоение значений. Обычно в качестве логических аксиом принимают хотя бы некоторый минимальный набор тавтологий, достаточный для доказательства всех тавтологий в языке; в случае логики предикатов требуется больше логических аксиом, чем требуется, чтобы доказать логические истины , которые не являются тавтологиями в строгом смысле.

Примеры

Логика высказываний

В логике высказываний принято принимать в качестве логических аксиом все формулы следующих форм, где , , и могут быть любыми формулами языка и где включенные примитивные связки служат лишь " " для отрицания непосредственно следующего предложения и " " для импликация от антецедента к последующему суждению: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \to }$

1. ${\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )}$
2. ${\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))}$
3. ${\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi ).}$

Каждый из этих шаблонов представляет собой схему аксиом , правило для генерации бесконечного числа аксиом. Например, если , и являются пропозициональными переменными , то и оба являются экземплярами схемы аксиом 1 и, следовательно, являются аксиомами. Можно показать, что только с помощью этих трех схем аксиом и modus ponens можно доказать все тавтологии исчисления высказываний. Можно также показать, что ни одна пара этих схем не достаточна для доказательства всех тавтологий с modus ponens . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\to (B\to A)}$ ${\displaystyle (A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))}$

Альтернативно можно построить другие схемы аксиом, включающие тот же или разные наборы примитивных связок. ^[13]

Эти схемы аксиом также используются в исчислении предикатов , но для включения квантора в исчисление необходимы дополнительные логические аксиомы. ^[14]

Логика первого порядка

Аксиома равенства.
Пусть — язык первого порядка . Для каждой переменной приведенная ниже формула является универсальной. ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x}$

Это означает, что для любого переменного символа формулу можно рассматривать как аксиому. Кроме того, в этом примере, чтобы не впасть в неопределенность и бесконечную череду «примитивных представлений», необходимо либо точное представление о том, что мы подразумеваем (или, если на то пошло, «быть равным»), сначала четко установлено, либо необходимо обеспечить чисто формальное и синтаксическое использование символа , рассматривая его только как строку и только как строку символов, и математическая логика действительно это делает. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=x}$ ${\displaystyle x=x}$ ${\displaystyle =}$

Другой, более интересный пример схемы аксиом — это та, которая предоставляет нам так называемое универсальное создание экземпляров :

Схема аксиом для универсального создания экземпляров.
Учитывая формулу на языке первого порядка , переменную и термин , который можно заменить на in , приведенная ниже формула является универсальной. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall x\,\phi \to \phi _{t}^{x}}$

Где символ обозначает формулу , в которой термин заменен на . (См. «Замена переменных» .) Говоря неформально, этот пример позволяет нам заявить, что если мы знаем, что определенное свойство справедливо для каждого и соответствует определенному объекту в нашей структуре, то мы должны иметь возможность утверждать . Опять же, мы утверждаем, что формула действительна , то есть мы должны быть в состоянии дать «доказательство» этого факта или, точнее говоря, метадоказательство . Эти примеры являются метатеоремами нашей теории математической логики, поскольку мы имеем дело с самим понятием доказательства . Помимо этого, мы также можем иметь экзистенциальное обобщение : ${\displaystyle \phi _{t}^{x}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle \forall x\phi \to \phi _{t}^{x}}$

Схема аксиом экзистенциального обобщения. Учитывая формулу на языке первого порядка , переменную и термин , который можно заменить на in , приведенная ниже формула является универсальной. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{t}^{x}\to \exists x\,\phi }$

Нелогические аксиомы

Нелогические аксиомы — это формулы, которые играют роль предположений, специфичных для теории. Рассуждения о двух разных структурах, например натуральных числах и целых числах , могут включать одни и те же логические аксиомы; нелогические аксиомы направлены на то, чтобы уловить особенности конкретной структуры (или набора структур, таких как группы ). Таким образом, нелогические аксиомы, в отличие от логических аксиом, не являются тавтологиями . Другое название нелогической аксиомы — постулат . ^[15]

Почти каждая современная математическая теория начинается с определенного набора нелогических аксиом, и считалось, что в принципе каждую теорию можно аксиоматизировать таким образом и формализовать до чистого языка логических формул. ^{[ нужна ссылка ] [ нужны дополнительные пояснения ]}

Нелогические аксиомы в математическом дискурсе часто называют просто аксиомами . Это не означает, что утверждается, что они верны в каком-то абсолютном смысле. Например, в некоторых группах групповая операция коммутативна , и это можно утверждать введением дополнительной аксиомы, но без этой аксиомы мы вполне можем неплохо развивать (более общую) теорию групп и даже можем взять его отрицание как аксиома изучения некоммутативных групп.

Таким образом, аксиома является элементарной основой формальной логической системы , которая вместе с правилами вывода определяет дедуктивную систему .

Примеры

В этом разделе приводятся примеры математических теорий, которые полностью разработаны на основе набора нелогических аксиом (далее — аксиомы). Строгое рассмотрение любой из этих тем начинается с уточнения этих аксиом.

Базовые теории, такие как арифметика , действительный анализ и комплексный анализ , часто вводятся неаксиоматически, но неявно или явно обычно предполагается, что используемые аксиомы являются аксиомами теории множеств Цермело-Френкеля с выбором, сокращенно ZFC, или некоторыми другими теориями. очень похожая система аксиоматической теории множеств, такая как теория множеств Фон Неймана–Бернейса–Гёделя , консервативное расширение ZFC. Иногда используются несколько более сильные теории, такие как теория множеств Морса – Келли или теория множеств с сильно недоступным кардиналом , позволяющая использовать вселенную Гротендика , но на самом деле большинство математиков могут доказать все, что им нужно, в системах более слабых, чем ZFC, таких как вторая -порядковая арифметика . ^{[ нужна цитата ]}

Изучение топологии в математике охватывает топологию множества точек , алгебраическую топологию , дифференциальную топологию и все связанные с ней принадлежности, такие как теория гомологии , теория гомотопий . Развитие абстрактной алгебры принесло с собой теорию групп , колец , полей и теорию Галуа .

Этот список можно расширить, включив в него большинство областей математики, включая теорию меры , эргодическую теорию , теорию вероятностей , теорию представлений и дифференциальную геометрию .

Арифметика

Аксиомы Пеано — наиболее широко используемая аксиоматизация арифметики первого порядка . Они представляют собой набор аксиом, достаточно сильных, чтобы доказать многие важные факты теории чисел , и они позволили Гёделю установить его знаменитую вторую теорему о неполноте . ^[16]

У нас есть язык , где – постоянный символ, – унарная функция и следующие аксиомы: ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$

1. ${\displaystyle \forall x.\lnot (Sx=0)}$
2. ${\displaystyle \forall x.\forall y.(Sx=Sy\to x=y)}$
3. ${\displaystyle (\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)}$для любой формулы с одной свободной переменной. ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}}$ ${\displaystyle \phi }$

Стандартная структура: где – набор натуральных чисел, – функция - преемник и естественно интерпретируется как число 0. ${\displaystyle {\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$

Евклидова геометрия

Вероятно, самый старый и самый известный список аксиом — это постулаты плоской геометрии Евклида 4 + 1 . Аксиомы называются «4 + 1», потому что на протяжении почти двух тысячелетий считалось, что пятый (параллельный) постулат («через точку вне прямой проходит ровно одна параллель») можно вывести из первых четырех. В конечном итоге пятый постулат оказался независимым от первых четырех. Можно предположить, что существует ровно одна параллель, проходящая через точку вне прямой, или что их бесконечно много. Этот выбор дает нам две альтернативные формы геометрии, в которых сумма внутренних углов треугольника составляет ровно 180 градусов или меньше соответственно, и они известны как евклидова и гиперболическая геометрии. Если убрать еще и второй постулат («линию можно продолжать бесконечно»), то возникает эллиптическая геометрия , в которой нет параллели, проходящей через точку вне линии, и в которой сумма внутренних углов треугольника превышает 180 градусов. .

Реальный анализ

Цели исследования находятся в области действительных чисел . Действительные числа однозначно выбираются (с точностью до изоморфизма ) свойствами дедекиндова полного упорядоченного поля , что означает, что любой непустой набор действительных чисел с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу. Однако выражение этих свойств в виде аксиом требует использования логики второго порядка . Теоремы Левенхайма -Скулема говорят нам, что если мы ограничимся логикой первого порядка , любая система аксиом для действительных чисел допускает другие модели, включая как модели, которые меньше действительных чисел, так и модели, которые больше. Некоторые из последних изучаются в рамках нестандартного анализа .

Роль в математической логике

Дедуктивные системы и полнота

Дедуктивная система состоит из набора логических аксиом, набора нелогических аксиом и набора правил вывода . Желательным свойством дедуктивной системы является ее полнота . Система называется полной, если для всех формул ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \{(\Gamma ,\phi )\}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\text{if }}\Sigma \models \phi {\text{ then }}\Sigma \vdash \phi }$

то есть для любого утверждения, которое является логическим следствием, действительно существует вывод утверждения из . Иногда это выражают так: «все истинное доказуемо», но следует понимать, что «истинное» здесь означает «сделанное истинным с помощью набора аксиом», а не, например, «истинное в предполагаемой интерпретации». Теорема Гёделя о полноте устанавливает полноту определенного широко используемого типа дедуктивной системы. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Обратите внимание, что «полнота» здесь имеет другое значение, чем в контексте первой теоремы Гёделя о неполноте , которая утверждает, что ни один рекурсивный , непротиворечивый набор нелогических аксиом теории арифметики не является полным в том смысле, что всегда будет существовать существует такое арифметическое утверждение , которое ни одно из заданных аксиом не может быть доказано на основе данного набора аксиом. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \lnot \phi }$

Таким образом, существует, с одной стороны, понятие полноты дедуктивной системы , а с другой — полноты набора нелогических аксиом . Теорема о полноте и теорема о неполноте, несмотря на названия, не противоречат друг другу.

Дальнейшее обсуждение

Ранние математики рассматривали аксиоматическую геометрию как модель физического пространства , и очевидно, что такая модель могла быть только одна. Идея о том, что могут существовать альтернативные математические системы, очень беспокоила математиков XIX века, и разработчики таких систем, как булева алгебра, предприняли тщательно продуманные усилия, чтобы вывести их из традиционной арифметики. Незадолго до своей безвременной кончины Галуа показал, что эти усилия по большей части оказались напрасными. В конечном итоге абстрактные параллели между алгебраическими системами оказались более важными, чем детали, и родилась современная алгебра . С современной точки зрения аксиомами может быть любой набор формул, если не известно, что они непротиворечивы.

Смотрите также

• Математический портал
• Философский портал

• Аксиоматическая система
• Догма
• Первый принцип , аксиома в науке и философии
• Список аксиом
• Теория моделей
• Регула Юрис
• Теорема
• Предпосылка
• Физический закон
• Принцип

Примечания

1. Хотя и не полный; некоторые из заявленных результатов фактически не следовали из заявленных постулатов и общепринятых представлений.
2. Гильберт также подробно разъяснил предположения, которые Евклид использовал в своих доказательствах, но не перечислил в своих общих понятиях и постулатах.

Рекомендации

1. См. аксиома, сущ., этимология. Оксфордский словарь английского языка , по состоянию на 28 апреля 2012 г.
2. Стивенсон, Ангус; Линдберг, Кристин А., ред. (2015). Новый Оксфордский американский словарь (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. doi : 10.1093/acref/9780195392883.001.0001. ISBN 9780199891535. утверждение или предложение, которое считается установленным, принятым или самоочевидно истинным
3. «Предложение, которое пользуется всеобщим признанием; устоявшийся или общепризнанный принцип; максима, правило, закон», аксиома, n., определение 1a. Оксфордский онлайн-словарь английского языка, по состоянию на 28 апреля 2012 г. См. Аристотель, Апостериорная аналитика I.2.72a18-b4.
4. Аксиома «Предложение (истинное или ложное)», n., определение 2. Оксфордский онлайн-словарь английского языка, по состоянию на 28 апреля 2012 г.
5. См., например , Мэдди, Пенелопа (июнь 1988 г.). «Веря аксиомам, я». Журнал символической логики . 53 (2): 481–511. дои : 10.2307/2274520. JSTOR  2274520.для реалистичного взгляда.
6. «Аксиома — Powszechna Encyklopedia Filozofii» (PDF) . Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
7. Вольф, П. Прорывы в математике , 1963, Нью-Йорк: Новая американская библиотека, стр. 47–48.
8. Хит, TL (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Нью-Йорк: Дувр. п. 200.
9. Аристотель, Метафизика, Bk IV, Глава 3, 1005b «Физика также является разновидностью Мудрости, но это не первый вид. - И попытки некоторых из тех, кто обсуждает условия, на которых должна быть принята истина, обусловлены отсутствие обучения логике; ибо они должны знать эти вещи уже тогда, когда придут на специальное исследование, а не исследовать их, пока слушают лекции по этому вопросу». Перевод В. Д. Росса в «Основных трудах Аристотеля», изд. Ричард МакКеон (Рэндом Хаус, Нью-Йорк, 1941)
10. Подробнее см. в «Аксиомах Гильберта» .
11. Раатикайнен, Пану (2018), «Теоремы Гёделя о неполноте», в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осени 2018 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 19 октября 2019 г.
12. Келлнер, Питер (2019), «Гипотеза континуума», в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Весны 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 19 октября 2019 г.
13. Мендельсон, «6. Другие аксиоматизации» гл. 1
14. Мендельсон, «3. Теории первого порядка» гл. 2
15. Мендельсон, «3. Теории первого порядка: правильные аксиомы» гл. 2
16. Мендельсон, «5. Теорема о неподвижной точке. Теорема Гёделя о неполноте» из гл. 2

дальнейшее чтение

• Мендельсон, Эллиот (1987). Введение в математическую логику. Бельмонт, Калифорния: Уодсворт и Брукс. ISBN 0-534-06624-0 
• Джон Кук Уилсон (1889 г.), Об эволюционистской теории аксиом: вступительная лекция, прочитанная 15 октября 1889 г. (1-е изд.), Оксфорд, Викиданные  Q26720682{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Внешние ссылки

• Аксиома в PhilPapers
• Аксиома в PlanetMath .
• Страница метаматематических аксиом
• Аксиома