stringtranslate.com

Настоящий номер

Символ множества действительных чисел

В математике вещественное число — это число , которое можно использовать для измерения непрерывной одномерной величины , такой как расстояние , продолжительность или температура . Здесь непрерывность означает, что пары значений могут иметь сколь угодно малые различия. [a] Каждое действительное число может быть почти однозначно представлено бесконечным десятичным представлением . [б] [1]

Действительные числа имеют фундаментальное значение в исчислении (и в целом во всей математике), в частности, из-за их роли в классических определениях пределов , непрерывности и производных . [с]

Набор действительных чисел обозначается R или [2] и иногда называется «действительными». [3] Прилагательное real , использованное в 17 веке Рене Декартом , отличает действительные числа от мнимых чисел , таких как квадратные корни из −1 . [4]

К действительным числам относятся рациональные числа , такие как целое число −5 и дробь 4/3 . Остальные действительные числа называются иррациональными числами . Некоторые иррациональные числа (а также все рациональные числа) являются корнем многочлена с целыми коэффициентами, например квадратный корень 2 = 1,414... ; они называются алгебраическими числами . Есть также действительные числа, которые не являются таковыми, например π = 3,1415... ; они называются трансцендентными числами . [4]

Действительные числа можно рассматривать как все точки на линии , называемой числовой линией или действительной линией , где точки, соответствующие целым числам ( ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ), расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. .

Действительные числа можно рассматривать как все точки числовой прямой.
Действительные числа можно рассматривать как все точки числовой прямой.

И наоборот, аналитическая геометрия — это ассоциация точек на линиях (особенно осевых линиях ) с действительными числами, так что геометрические смещения пропорциональны разностям между соответствующими числами.

Приведенных выше неформальных описаний действительных чисел недостаточно для обеспечения корректности доказательств теорем, связанных с действительными числами. Осознание того, что необходимо лучшее определение, и разработка такого определения стали крупным достижением математики 19-го века и основой реального анализа , изучения действительных функций и вещественнозначных последовательностей . Текущее аксиоматическое определение состоит в том , что действительные числа образуют уникальное ( с точностью до изоморфизма ) полное по Дедекинду упорядоченное поле . [d] Другие распространенные определения действительных чисел включают классы эквивалентности последовательностей Коши (рациональных чисел), разрезов Дедекинда и бесконечных десятичных представлений . Все эти определения удовлетворяют аксиоматическому определению и, таким образом, эквивалентны.

Характеристика свойств

Действительные числа полностью характеризуются своими фундаментальными свойствами, которые можно резюмировать, сказав, что они образуют упорядоченное поле , полное по Дедекинду . Здесь «полностью охарактеризованный» означает, что между любыми двумя полностью упорядоченными по Дедекинду полями существует уникальный изоморфизм и, следовательно, их элементы имеют совершенно одинаковые свойства. Это означает, что можно манипулировать действительными числами и выполнять вычисления с ними, не зная, как их можно определить; именно этим занимались математики и физики в течение нескольких столетий, прежде чем во второй половине XIX века были даны первые формальные определения. Подробную информацию об этих формальных определениях и доказательстве их эквивалентности см . в разделе «Построение действительных чисел» .

Арифметика

Действительные числа образуют упорядоченное поле . Интуитивно это означает, что к ним применимы методы и правила элементарной арифметики . Точнее, есть две бинарные операции , сложение и умножение , а также общий порядок , которые обладают следующими свойствами.

Из приведенных выше можно вывести множество других свойств. В частности:

Вспомогательные операции

Обычно используются несколько других операций, которые можно вывести из приведенных выше.

Вспомогательные отношения порядка

Общий порядок , который рассматривается выше , обозначается и читается как « a меньше b ». Также часто используются три других отношения порядка :

Целые и дробные числа как действительные числа

Действительные числа 0 и 1 обычно отождествляются с натуральными числами 0 и 1 . Это позволяет отождествить любое натуральное число n с суммой n действительных чисел, равной 1 .

Эту идентификацию можно выполнить путем идентификации отрицательного целого числа (где - натуральное число) с аддитивным обратным действительным числом, идентифицируемым с Аналогично рациональное число (где p и q - целые числа и ) идентифицируется с помощью деления идентифицированных действительных чисел с p и q .

Эти отождествления делают набор рациональных чисел упорядоченным подполем действительных чисел. Описанная ниже полнота Дедекинда подразумевает , что некоторые действительные числа, например, не являются рациональными числами; их называют иррациональными числами .

Вышеупомянутые отождествления имеют смысл, поскольку натуральные числа, целые и действительные числа обычно определяются не их индивидуальной природой, а определяющими свойствами ( аксиомами ). Итак, отождествление натуральных чисел с некоторыми действительными числами оправдано тем, что эти действительные числа удовлетворяют аксиомам Пеано с добавлением с 1 , взятым в качестве функции-преемника .

Формально существует инъективный гомоморфизм упорядоченных моноидов из натуральных чисел в целые, инъективный гомоморфизм упорядоченных колец из в рациональные числа и инъективный гомоморфизм упорядоченных полей из в действительные числа. Идентификации состоят в том, чтобы не различать источник и образ каждого инъективного гомоморфизма и, таким образом, записать

Эти идентификации формально являются злоупотреблением обозначениями и, как правило, безвредны. Лишь в очень специфических ситуациях их следует избегать и заменять явно указанными выше гомоморфизмами. Так обстоит дело в конструктивной математике и компьютерном программировании . В последнем случае эти гомоморфизмы интерпретируются как преобразования типов , которые часто могут выполняться компилятором автоматически .

Дедекиндова полнота

Предыдущие свойства не отличают действительные числа от рациональных . Это различие обеспечивается полнотой Дедекинда , которая утверждает, что каждый набор действительных чисел с верхней границей допускает наименьшую верхнюю границу . Это означает следующее. Множество действительных чисел ограничено сверху, если существует такое действительное число, что для всех ; такое a называется верхней границей So. Дедекиндова полнота означает, что, если S ограничено сверху, оно имеет верхнюю границу, которая меньше любой другой верхней границы.

Дедекиндова полнота подразумевает другие виды полноты (см. ниже), но также имеет некоторые важные последствия.

Последние два свойства суммируются, говоря, что действительные числа образуют действительное замкнутое поле . Это подразумевает реальную версию фундаментальной теоремы алгебры , а именно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на многочлены с действительными коэффициентами степени не выше двух.

Десятичное представление

Ключевым свойством вещественных чисел является их десятичное представление . Десятичное представление состоит из неотрицательного целого числа k и бесконечной последовательности десятичных цифр (неотрицательные целые числа меньше 10).

это написано

(Обычно, без ограничения общности, полагают, что или или ) Например, и т . д.

Такое десятичное представление определяет уникальное неотрицательное действительное число как наименьшую верхнюю границу десятичных дробей , полученных путем усечения последовательности. Точнее, для положительного целого числа n усечение последовательности в позиции n представляет собой конечную последовательность , которая определяет десятичное число.

Действительное число, определенное последовательностью, является наименьшей верхней границей числа, существующего в силу дедекиндовой полноты.

И наоборот, учитывая неотрицательное действительное число a , можно определить десятичное представление a по индукции следующим образом. Определить как десятичное представление наибольшего целого числа такого, что (это целое число существует благодаря свойству Архимеда). Затем, предположив по индукции , что десятичная дробь определена для единицы, определяется как наибольшая цифра, такая что и устанавливается

Можно использовать определяющие свойства действительных чисел, чтобы показать, что a является наименьшей верхней границей числа. Итак, результирующая последовательность цифр называется десятичным представлением числа a .

Другое десятичное представление можно получить, заменив на в предыдущей конструкции. Эти два представления идентичны, если только a не является десятичной дробью формы . В этом случае в первом десятичном представлении все равны нулю , а во втором представлении - все 9. ( подробнее см. 0,999... ).

Таким образом, существует биекция между действительными числами и десятичными представлениями, которые не заканчиваются бесконечным количеством конечных девяток.

Предыдущие соображения применимы непосредственно к каждой системе счисления, просто заменив 10 на и 9 на

Топологическая полнота

Основная причина использования действительных чисел заключается в том, что многие последовательности имеют пределы . Более формально, действительные числа являются полными (в смысле метрических пространств или равномерных пространств , что отличается от дедекиндовой полноты порядка из предыдущего раздела):

Последовательность ( x n ) действительных чисел называется последовательностью Коши , если для любого ε > 0 существует целое число N ( возможно , зависящее от ε) такое, что расстояние | Икс п - Икс м | меньше ε для всех n и m , которые оба больше N . Это определение, первоначально данное Коши , формализует тот факт, что x n в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими друг к другу.

Последовательность ( x n ) сходится к пределу x , если ее элементы в конце концов приходят и остаются сколь угодно близкими к x , то есть если для любого ε > 0 существует целое число N (возможно, зависящее от ε) такое, что расстояние | Икс п - Икс | меньше ε для n большего N .

Каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши, и обратное верно для действительных чисел, а это означает, что топологическое пространство действительных чисел полно.

Набор рациональных чисел не полон. Например, последовательность (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...), где каждый член добавляет цифру десятичного разложения положительного квадратного корня из 2, является Коши, но не сходится к рациональное число (в действительных числах оно, напротив, сходится к положительному квадратному корню из 2).

Свойство полноты действительных чисел является основой, на которой строятся исчисления и, в более общем плане, математический анализ . В частности, проверка на то, что последовательность является последовательностью Коши, позволяет доказать, что последовательность имеет предел, не вычисляя его и даже не зная об этом.

Например, стандартный ряд показательной функции

сходится к действительному числу для каждого x , поскольку суммы

можно сделать сколь угодно малым (независимо от M ), выбрав N достаточно большим. Это доказывает, что последовательность является Коши и, следовательно, сходится, показывая, что она корректно определена для каждого x .

«Полное упорядоченное поле»

Действительные числа часто называют «полным упорядоченным полем», и эту фразу можно интерпретировать по-разному.

Во-первых, порядок может быть решеточно-полным . Легко видеть, что ни одно упорядоченное поле не может быть решеточно-полным, поскольку оно не может иметь наибольшего элемента (если любой элемент z , z + 1 больше).

Кроме того, порядок может быть дедекинд-полным, см. § Аксиоматический подход. Результат уникальности в конце этого раздела оправдывает использование слова «the» во фразе «полное упорядоченное поле», когда имеется в виду именно этот смысл слова «полное». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из дедекиндовых разрезов, поскольку это построение начинается с упорядоченного поля (рациональных чисел), а затем стандартным образом образует его дедекиндово-пополнение.

Эти два понятия полноты игнорируют структуру поля. Однако упорядоченная группа (в данном случае аддитивная группа поля) определяет однородную структуру, а однородные структуры имеют понятие полноты ; описание в § Полнота является особым случаем. (Мы имеем в виду понятие полноты в равномерных пространствах, а не родственное и более известное понятие для метрических пространств , поскольку определение метрического пространства основано на уже наличии характеристики действительных чисел.) Неверно, что это единственное равномерно полное упорядоченное поле, но это единственное равномерно полное архимедово поле , и действительно, часто можно услышать фразу «полное архимедово поле» вместо «полное упорядоченное поле». Каждое равномерно полное архимедово поле также должно быть по Дедекинду (и наоборот), что оправдывает использование «the» во фразе «полное архимедово поле». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из последовательностей Коши (построение полностью проведено в этой статье), поскольку оно начинается с архимедова поля (рациональных чисел) и образует его равномерное пополнение в стандартной способ.

Но первоначально фразу «полное архимедово поле» использовал Давид Гильберт , который подразумевал под ней нечто иное. Он имел в виду, что действительные числа образуют самое большое архимедово поле в том смысле, что любое другое архимедово поле является подполем . Таким образом , оно «полное» в том смысле, что к нему нельзя ничего добавить, не сделав его уже не архимедовым полем. Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из сюрреалистических чисел , поскольку это построение начинается с правильного класса, который содержит каждое упорядоченное поле (сюрреалистические числа), а затем выбирает из него самое большое архимедово подполе.

Мощность

Набор всех действительных чисел несчетен в том смысле, что, хотя набор всех натуральных чисел {1, 2, 3, 4, ...} и набор всех действительных чисел являются бесконечными множествами , не существует ни одного- функция «единица» от действительных чисел к натуральным числам. Мощность множества всех действительных чисел обозначается и называется мощностью континуума . Оно строго больше мощности набора всех натуральных чисел (обозначаемого и называемого «алеф-ноль» ) и равно мощности набора степеней набора натуральных чисел.

Утверждение о том, что не существует подмножества действительных чисел с мощностью строго большей и строго меньшей, известно как гипотеза континуума (CH). Это невозможно ни доказать, ни опровергнуть, используя аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля, включая аксиому выбора (ZFC) — стандартную основу современной математики. Фактически, некоторые модели ZFC удовлетворяют CH, а другие его нарушают. [5]

Другие объекты недвижимости

В топологическом пространстве действительные числа разделимы . Это связано с тем, что счетное множество рациональных чисел плотно в действительных числах. Иррациональные числа также плотны в действительных числах, однако они несчетны и имеют ту же мощность, что и действительные числа.

Действительные числа образуют метрическое пространство : расстояние между x и y определяется как абсолютное значение | х - у | . Поскольку они представляют собой полностью упорядоченный набор, они также имеют упорядоченную топологию ; Топология , возникающая из метрики, и топология, возникающая из порядка, идентичны, но дают разные представления топологии - в топологии порядка в виде упорядоченных интервалов, в метрической топологии в виде эпсилон-шаров. Конструкция разрезов Дедекинда использует представление порядковой топологии, а конструкция последовательностей Коши использует представление метрической топологии. Вещественные числа образуют сжимаемое (следовательно, связное и односвязное ), сепарабельное и полное метрическое пространство хаусдорфовой размерности  1. Вещественные числа локально компактны , но не компактны . Существуют различные свойства, которые однозначно определяют их; например, все топологии неограниченного, связного и сепарабельного порядка обязательно гомеоморфны действительным числам.

Каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень в , хотя отрицательное число не имеет. Это показывает, что порядок на определяется его алгебраической структурой. Кроме того, каждый многочлен нечетной степени допускает по крайней мере один действительный корень: эти два свойства составляют главный пример действительного замкнутого поля . Доказательство этого — первая половина доказательства основной теоремы алгебры .

Вещественные числа несут каноническую меру , меру Лебега , которая является мерой Хаара в их структуре как топологической группы, нормализованной так, что единичный интервал [0; 1] имеет меру 1. Существуют множества действительных чисел, которые не измеримы по Лебегу, например наборы Виталия .

Супремальная аксиома действительных чисел относится к подмножествам действительных чисел и, следовательно, является логическим утверждением второго порядка. Невозможно охарактеризовать действительные числа только с помощью логики первого порядка : теорема Левенхайма – Скулема подразумевает, что существует счетное плотное подмножество действительных чисел, удовлетворяющее точно тем же предложениям в логике первого порядка, что и сами действительные числа. Набор гипердействительных чисел удовлетворяет тем же предложениям первого порядка, что и . Упорядоченные поля, удовлетворяющие тем же предложениям первого порядка, которые называются нестандартными моделями . Именно это делает нестандартный анализ эффективным; доказывая утверждение первого порядка в некоторой нестандартной модели (что может быть проще, чем доказывать его в ), мы знаем, что то же самое утверждение должно быть истинным и для .

Поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел и поэтому может рассматриваться как векторное пространство над . Теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора гарантирует существование базиса этого векторного пространства: существует набор B действительных чисел такой, что каждое действительное число можно однозначно записать как конечную линейную комбинацию элементов этого набора, используя только рациональные коэффициенты и такие, что ни один элемент B не является рациональной линейной комбинацией остальных. Однако эта теорема существования является чисто теоретической, поскольку такая база никогда явно не описывалась.

Теорема о хорошем порядке подразумевает, что действительные числа могут быть хорошо упорядочены, если принять аксиому выбора: существует полный порядок со свойством, что каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент в этом порядке. (Стандартный порядок вещественных чисел ≤ не является хорошим упорядочением, поскольку, например, открытый интервал не содержит ни одного наименьшего элемента в этом порядке.) Опять же, существование такого хорошего порядка является чисто теоретическим, поскольку оно не было исследовано. подробно описано. Если в дополнение к аксиомам ZF предполагается V = L , можно показать, что хороший порядок действительных чисел явно определяется формулой. [6]

Действительное число может быть вычислимым или невычислимым; либо алгоритмически случайный , либо нет; и либо арифметически случайны , либо нет.

История

К действительным числам относятся рациональные числа , к которым относятся целые числа , которые, в свою очередь, включают натуральные числа.

Простые дроби использовались египтянами около 1000 г. до н. э.; Ведические « Шульба Сутры » («Правила аккордов») в ок. 600 г. до н.э. включают, возможно, первое «использование» иррациональных чисел. Концепция иррациональности была безоговорочно принята ранними индийскими математиками, такими как Манава ( ок. 750–690 до н. э.) , который осознавал, что квадратные корни некоторых чисел, например 2 и 61, невозможно точно определить. [7] Около 500 г. до н.э. греческие математики во главе с Пифагором также осознали, что квадратный корень из 2 иррационален.

Средние века привели к принятию нуля , отрицательных чисел , целых и дробных чисел сначала индийскими и китайскими математиками , а затем арабскими математиками , которые также были первыми, кто стал относиться к иррациональным числам как к алгебраическим объектам (последнее стало возможным благодаря развитию алгебры). [8] Арабские математики объединили понятия « число » и « величина » в более общее представление о действительных числах. [9] Египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам ( ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа в качестве решений квадратных уравнений или в качестве коэффициентов в уравнении (часто в форме квадратных корней, кубических корней и четвертых корней ). корнеплоды ). [10] В Европе такие числа, не соизмеримые с числовой единицей, назывались иррациональными или сурд («глухими»).

В 16 веке Саймон Стевин создал основу современной десятичной системы счисления и настаивал на том, что в этом отношении нет разницы между рациональными и иррациональными числами.

В 17 веке Декарт ввёл термин «действительные» для описания корней многочлена , отличая их от «мнимых».

В XVIII и XIX веках было много работ по иррациональным и трансцендентным числам. Ламберт (1761) дал ошибочное доказательство того, что число π не может быть рациональным; Лежандр (1794) завершил доказательство [11] и показал, что π не является квадратным корнем из рационального числа. [12] Лиувилл (1840) показал, что ни е , ни е 2 не могут быть корнями целочисленного квадратного уравнения , а затем установил существование трансцендентных чисел; Кантор (1873) расширил и значительно упростил это доказательство. [13] Эрмит (1873) доказал, что е трансцендентно, а Линдеманн (1882) показал, что π трансцендентно. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885), Гильбертом (1893), Гурвицем [ 14] и Горданом . [15]

Разработчики исчисления использовали действительные числа, не давая им строгого определения. Первое строгое определение было опубликовано Кантором в 1871 году. В 1874 году он показал, что множество всех действительных чисел неисчислимо бесконечно , но множество всех алгебраических чисел счетно бесконечно . Первое доказательство несчетности Кантора отличалось от его знаменитого диагонального аргумента , опубликованного в 1891 году.

Формальные определения

Система действительных чисел может быть определена аксиоматически с точностью до изоморфизма , который описан ниже. Существует также много способов построить «настоящую» систему действительных чисел, и популярный подход предполагает начинать с натуральных чисел, затем определять рациональные числа алгебраически и, наконец, определять действительные числа как классы эквивалентности их последовательностей Коши или как разрезы Дедекинда, которые являются определенными. подмножества рациональных чисел. [16] Другой подход состоит в том, чтобы начать с некоторой строгой аксиоматизации евклидовой геометрии (скажем, Гильберта или Тарского ) , а затем определить систему действительных чисел геометрически. Было показано, что все эти конструкции действительных чисел эквивалентны в том смысле, что полученные системы счисления изоморфны .

Аксиоматический подход

Пусть обозначает множество всех действительных чисел. Затем:

Последнее свойство применимо к действительным числам, но не к рациональным числам (или к другим, более экзотическим упорядоченным полям ). Например, имеет рациональную верхнюю границу (например, 1,42), но не имеет наименее рациональной верхней границы, поскольку не является рациональным.

Эти свойства подразумевают архимедово свойство (которое не подразумевается другими определениями полноты), которое гласит, что набор целых чисел не имеет верхней границы в действительных числах. Фактически, если бы это было ложью, то целые числа имели бы минимальную верхнюю границу N ; тогда N – 1 не будет верхней границей, и будет целое число n такое, что n > N – 1 и, следовательно, n + 1 > N , что противоречит свойству верхней границы N .

Действительные числа однозначно определяются указанными выше свойствами. Точнее, для любых двух дедекиндово полных упорядоченных полей и существует единственный изоморфизм полей от до . Эта уникальность позволяет нам думать о них как об одном и том же математическом объекте.

Для другой аксиоматизации см. аксиоматизацию действительности Тарского .

Построение из рациональных чисел

Действительные числа могут быть построены как пополнение рациональных чисел таким образом, что последовательность, определяемая десятичным или двоичным представлением, например (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...), сходится к уникальному действительному числу. — в данном случае π . Подробности и другие конструкции действительных чисел см. в разделе « Построение действительных чисел» .

Приложения и подключения

Физика

В физических науках большинство физических констант, таких как универсальная гравитационная постоянная и физические переменные, такие как положение, масса, скорость и электрический заряд, моделируются с использованием действительных чисел. Фактически, фундаментальные физические теории, такие как классическая механика , электромагнетизм , квантовая механика , общая теория относительности и стандартная модель , описываются с использованием математических структур, обычно гладких многообразий или гильбертовых пространств , которые основаны на действительных числах, хотя фактические измерения физических величин имеют конечную точность и прецизионность .

Физики иногда высказывали предположения, что более фундаментальная теория заменила бы действительные числа величинами, которые не образуют континуум, но такие предложения остаются спекулятивными. [17]

Логика

Действительные числа чаще всего формализуются с использованием аксиоматизации теории множеств Цермело-Френкеля , но некоторые математики изучают действительные числа с помощью других логических основ математики. В частности, действительные числа изучаются также в обратной математике и в конструктивной математике . [18]

Гипердействительные числа, разработанные Эдвином Хьюиттом , Абрахамом Робинсоном и другими, расширяют набор действительных чисел, вводя бесконечно малые и бесконечные числа, позволяя строить исчисление бесконечно малых , ближе к первоначальным интуициям Лейбница , Эйлера , Коши и других.

Внутренняя теория множеств Эдварда Нельсона синтаксически обогащает теорию множеств Цермело-Френкеля , вводя унарный предикат «стандарт». В этом подходе бесконечно малые числа являются (нестандартными) элементами множества действительных чисел (а не элементами его расширения, как в теории Робинсона).

Гипотеза континуума утверждает, что мощность множества действительных чисел равна ; т.е. наименьшее бесконечное кардинальное число после , мощность целых чисел. Пол Коэн доказал в 1963 году, что это аксиома, независимая от других аксиом теории множеств; то есть: можно без противоречия выбрать либо гипотезу континуума, либо ее отрицание в качестве аксиомы теории множеств.

Вычисление

Электронные калькуляторы и компьютеры не могут работать с произвольными действительными числами, поскольку конечные компьютеры не могут напрямую хранить бесконечное количество цифр или других бесконечных представлений. И при этом они обычно даже не оперируют произвольными определяемыми действительными числами , которыми неудобно манипулировать.

Вместо этого компьютеры обычно работают с аппроксимациями конечной точности, называемыми числами с плавающей запятой , представлением, похожим на научную запись . Достижимая точность ограничена пространством хранения данных, выделенным для каждого числа, будь то числа с фиксированной запятой , числа с плавающей запятой, числа произвольной точности или какое-либо другое представление. В большинстве научных вычислений используется двоичная арифметика с плавающей запятой, часто 64-битное представление с точностью около 16 десятичных цифр . Действительные числа удовлетворяют обычным правилам арифметики , а числа с плавающей запятой — нет . Область численного анализа изучает стабильность и точность численных алгоритмов , реализованных с помощью приближенной арифметики.

С другой стороны, системы компьютерной алгебры могут точно оперировать иррациональными величинами, манипулируя для них символическими формулами (такими как или ), а не их рациональным или десятичным приближением. [19] Но точная и символьная арифметика также имеет ограничения: например, они являются более дорогостоящими в вычислительном отношении; вообще невозможно определить, равны ли два символьных выражения ( проблема с константами ); а арифметические операции могут вызвать экспоненциальный взрыв размера представления одного числа (например, возведение в квадрат рационального числа примерно удваивает количество цифр в его числителе и знаменателе, а возведение в квадрат многочлена примерно удваивает количество его членов), подавляя конечные компьютерное хранилище. [20]

Действительное число называется вычислимым, если существует алгоритм, вычисляющий его цифры. Поскольку существует только счетное количество алгоритмов, [21] но несчетное количество действительных чисел, почти все действительные числа не могут быть вычислимы. Более того, равенство двух вычислимых чисел является неразрешимой проблемой . Некоторые конструктивисты признают существование только тех реалий, которые вычислимы. Набор определимых чисел шире, но все же только счетен.

Теория множеств

В теории множеств , особенно в дескриптивной теории множеств , пространство Бэра используется в качестве заменителя действительных чисел, поскольку последние обладают некоторыми топологическими свойствами (связностью), которые представляют собой техническое неудобство. Элементы пространства Бэра называются «реальными».

Словарь и обозначения

Множество всех действительных чисел обозначается ( жирный шрифт на доске ) или R (жирный вертикальный шрифт). Поскольку оно естественным образом наделено структурой поля , поле выражений действительных чисел часто используется при рассмотрении его алгебраических свойств.

Часто отмечают множества положительных действительных чисел и отрицательных действительных чисел и , [22] соответственно; и тоже используются. [23] Можно отметить неотрицательные действительные числа, но часто можно увидеть этот набор отмеченным [22] Во французской математике положительные действительные числа и отрицательные действительные числа обычно включают ноль , и эти наборы отмечены соответственно и [23] В этом В понимании соответствующие множества без нуля называются строго положительными действительными числами и строго отрицательными действительными числами и отмечаются и [23]

Обозначение относится к набору n - кортежей элементов ( действительного координатного пространства ), которые можно идентифицировать как декартово произведение n копий . Это n - мерное векторное пространство над полем действительных чисел, часто называемое координатное пространство размерности n ; это пространство можно отождествить с n - мерным евклидовым пространством , как только в последнем будет выбрана декартова система координат . При этой идентификации точка евклидова пространства отождествляется с набором ее декартовых координат .

В математике слово «real» используется как прилагательное, означающее, что базовое поле — это поле действительных чисел (или действительное поле ). Например, вещественная матрица , вещественный полином и вещественная алгебра Ли . Это слово также используется как существительное , означающее действительное число (как в «наборе всех действительных чисел»).

Обобщения и расширения

Действительные числа можно обобщить и расширить в нескольких различных направлениях:

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Этого недостаточно, чтобы отличить действительные числа от рациональных ; требуется также свойство полноты .
  2. ^ Конечные рациональные числа могут иметь два десятичных расширения (см. 0,999... ); остальные действительные числа имеют ровно одно десятичное расширение.
  3. ^ Пределы и непрерывность могут быть определены в общей топологии без ссылки на действительные числа, но эти обобщения появились относительно недавно и используются только в очень конкретных случаях.
  4. ^ Точнее, если даны два полных полностью упорядоченных поля, между ними существует единственный изоморфизм. Это означает, что тождество представляет собой уникальный полевой автоморфизм вещественных чисел, совместимый с упорядочением.

Рекомендации

Цитаты

  1. ^ «Реальное число». Оксфордский справочник . 03 августа 2011 г.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Настоящее число». Вольфрам Математический мир . Проверено 11 августа 2020 г.
  3. ^ "настоящий" . Оксфордский словарь английского языка (3-е изд.). 2008. 'Реал', №2 , Б.4. Математика. Настоящее число. Обычно во множественном числе
  4. ^ ab «Реальное число». Британская энциклопедия .
  5. ^ Кёлльнер, Питер (2013). «Гипотеза континуума». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Стэндфордский Университет.
  6. ^ Мошовакис, Яннис Н. (1980), «5. Конструируемая Вселенная» , Описательная теория множеств , Северная Голландия, стр. 274–285, ISBN 978-0-444-85305-9
  7. ^ Т. К. Путтасвами, «Достижения древнеиндийских математиков», стр. 410–11. В: Селин, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2000), Математика в разных культурах: история незападной математики , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1.
  8. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999), «Арабская математика: забытое великолепие?», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  9. ^ Матвиевская, Галина (1987), «Теория квадратичных иррациональных чисел в средневековой восточной математике», Анналы Нью-Йоркской академии наук , 500 (1): 253–77 [254], Бибкод : 1987NYASA.500..253M, doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID  121416910
  10. ^ Жак Сезиано, «Исламская математика», с. 148, в Селине, Хелейн; Д'Амброзио, Убиратан (2000), Математика в разных культурах: история незападной математики , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
  11. ^ Бекманн, Петр (1971). История π (PI) . Пресса Святого Мартина. п. 170. ИСБН 9780312381851.
  12. ^ Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2001), Pi Unleashed, Springer, стр. 192, ИСБН 978-3-540-66572-4, получено 15 ноября 2015 г..
  13. ^ Данэм, Уильям (2015), Галерея исчисления: шедевры от Ньютона до Лебега, Princeton University Press, стр. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, получено 17 февраля 2015 г. , Кантор нашел замечательный способ прийти к выводу Лиувилля с помощью небольшой части работы.
  14. ^ Гурвиц, Адольф (1893). «Beweis der Transendenz der Zahl e». Mathematische Annalen (43): 134–35.
  15. ^ Гордан, Пол (1893). «Трансценденц фон е и π». Математические Аннален . 43 (2–3): 222–224. дои : 10.1007/bf01443647. S2CID  123203471.
  16. ^ «Лекция №1» (PDF) . 18.095 Цикл лекций по математике . 05.01.2015.
  17. ^ Уилер, Джон Арчибальд (1986). «Герман Вейль и единство знания: В связи четырех загадок — «как получилось» существования, времени, математического континуума и прерывистого ответа «да» или «нет» квантовой физики — может лежать ключ к глубокому новому пониманию ". Американский учёный . 74 (4): 366–75. Бибкод : 1986AmSci..74..366W. JSTOR  27854250.
    Бенгтссон, Ингемар (2017). «Число простейшего SIC-POVM». Основы физики . 47 (8): 1031–41. arXiv : 1611.09087 . Бибкод : 2017FoPh...47.1031B. дои : 10.1007/s10701-017-0078-3. S2CID  118954904.
  18. ^ Бишоп, Эрретт; Бриджес, Дуглас (1985), Конструктивный анализ , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 279, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-15066-4, Глава 2.
  19. ^ Коэн, Джоэл С. (2002), Компьютерная алгебра и символьные вычисления: элементарные алгоритмы , том. 1, А.К. Петерс, с. 32, ISBN 978-1-56881-158-1
  20. ^ Трефетен, Ллойд Н. (2007). «Численные вычисления с использованием функций вместо чисел» (PDF) . Математика в информатике . 1 (1): 9–19. дои : 10.1007/s11786-007-0001-y.
  21. ^ Хейн, Джеймс Л. (2010), «14.1.1», Дискретные структуры, логика и вычислимость (3-е изд.), Садбери, Массачусетс: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 97-80763772062, получено 15 ноября 2015 г.
  22. ^ аб Шумахер, Кэрол (1996). Глава нулевая: Фундаментальные понятия абстрактной математики . Аддисон-Уэсли. стр. 114–115. ISBN 9780201826531.
  23. ^ abc École Normale Supérieure в Париже , "Nombres réels" ("Реальные числа"). Архивировано 8 мая 2014 г. в Wayback Machine , стр. 6

Источники

Внешние ссылки