В математике поле — это набор , на котором определены сложение , вычитание , умножение и деление , которые ведут себя как соответствующие операции над рациональными и действительными числами . Таким образом, поле представляет собой фундаментальную алгебраическую структуру , которая широко используется в алгебре , теории чисел и многих других областях математики.
Наиболее известными полями являются поле рациональных чисел , поле действительных чисел и поле комплексных чисел . Многие другие поля, такие как поля рациональных функций , поля алгебраических функций , поля алгебраических чисел и p -адические поля , обычно используются и изучаются в математике, особенно в теории чисел и алгебраической геометрии . Большинство криптографических протоколов полагаются на конечные поля , т. е. поля с конечным числом элементов .
Теория полей доказывает, что трисекцию угла и квадратуру круга невозможно выполнить с помощью циркуля и линейки . Теория Галуа , посвященная пониманию симметрий расширений полей , дает изящное доказательство теоремы Абеля-Руффини о том, что общие уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах .
Поля служат основополагающими понятиями в нескольких математических областях. Сюда входят различные разделы математического анализа , в основе которых лежат поля с дополнительной структурой. Основные теоремы анализа зависят от структурных свойств поля действительных чисел. Что наиболее важно для алгебраических целей, любое поле может использоваться в качестве скаляров векторного пространства , которое является стандартным общим контекстом линейной алгебры . Числовые поля , братья и сестры поля рациональных чисел, глубоко изучаются в теории чисел . Поля функций могут помочь описать свойства геометрических объектов.
Неформально, поле представляет собой набор вместе с двумя операциями, определенными на этом наборе: операцией сложения, записанной как a + b , и операцией умножения, записанной как a ⋅ b , обе из которых ведут себя так же, как и для рациональных и действительных чисел. , включая существование аддитивного обратного −a для всех элементов a и мультипликативного обратного b − 1 для каждого ненулевого элемента b . Это позволяет также учитывать так называемые обратные операции вычитания a − b и деления a / b , определив:
Формально поле — это множество F вместе с двумя двоичными операциями над F , называемыми сложением и умножением . [ 1] Бинарная операция над F — это отображение F × F → F , то есть соответствие, которое сопоставляет каждой упорядоченной паре элементов F однозначно определенный элемент F. [2] [3] Результат сложения a и b называется суммой a и b и обозначается a + b . Точно так же результат умножения a и b называется произведением a и b и обозначается ab или a ⋅ b . Эти операции необходимы для удовлетворения следующих свойств, называемых аксиомами поля (в этих аксиомах a , b и c — произвольные элементы поля F ):
Эквивалентное и более краткое определение таково: поле имеет две коммутативные операции, называемые сложением и умножением; это добавляемая группа с 0 в качестве аддитивной идентичности; ненулевые элементы представляют собой группу при умножении с 1 в качестве мультипликативного тождества; и умножение распределяет над сложением.
Еще более кратко: поле — это коммутативное кольцо , где 0 ≠ 1 и все ненулевые элементы обратимы при умножении.
Поля также можно определять разными, но эквивалентными способами. Альтернативно можно определить поле четырьмя двоичными операциями (сложение, вычитание, умножение и деление) и их необходимыми свойствами. Деление на ноль исключено по определению. [4] Чтобы избежать использования кванторов существования , поля могут определяться двумя бинарными операциями (сложение и умножение), двумя унарными операциями (дающими аддитивные и мультипликативные обратные значения соответственно) и двумя нулевыми операциями (константы 0 и 1 ). Эти операции тогда подчиняются условиям, указанным выше. Избегание кванторов существования важно в конструктивной математике и вычислениях . [5] Эквивалентно поле можно определить с помощью одних и тех же двух двоичных операций, одной унарной операции (мультипликативной обратной) и двух (не обязательно различных) констант 1 и −1 , поскольку 0 = 1 + (−1) и − a = (−1) а . [а]
Рациональные числа широко использовались задолго до разработки концепции поля. Это числа, которые можно записать в виде дробей a / b , где a и b — целые числа , а b ≠ 0 . Аддитивная обратная такой дроби равна − a / b , а мультипликативная обратная (при условии, что a ≠ 0 ) равна b / a , что можно увидеть следующим образом:
Абстрактно необходимые аксиомы полей сводятся к стандартным свойствам рациональных чисел. Например, закон дистрибутивности можно доказать следующим образом: [6]
Действительные числа R вместе с обычными операциями сложения и умножения также образуют поле. Комплексные числа C состоят из выражений
где i — мнимая единица , т. е. (недействительное) число, удовлетворяющее i 2 = −1 . Сложение и умножение действительных чисел определяются таким образом, что выражения этого типа удовлетворяют всем аксиомам поля и, следовательно, выполняются для C . Например, распределительный закон обеспечивает
Сразу видно, что это снова выражение вышеуказанного типа, и поэтому комплексные числа образуют поле. Комплексные числа могут быть геометрически представлены в виде точек на плоскости с декартовыми координатами , заданными действительными числами их описывающего выражения, или в виде стрелок от начала координат до этих точек, определяемых их длиной и углом, заключенным в каком-то определенном направлении. Тогда сложение соответствует объединению стрелок в интуитивно понятный параллелограмм (добавление декартовых координат), а умножение – менее интуитивно – объединяет вращение и масштабирование стрелок (сложение углов и умножение длин). Поля действительных и комплексных чисел используются в математике, физике, технике, статистике и многих других научных дисциплинах.
В древности несколько геометрических проблем касались (не)возможности построения определенных чисел с помощью циркуля и линейки . Например, грекам было неизвестно, что разделить данный угол таким способом вообще невозможно. Эти проблемы можно решить, используя поле конструктивных чисел . [7] Действительные конструктивные числа — это, по определению, длины отрезков линий, которые можно построить из точек 0 и 1 за конечное число шагов, используя только циркуль и линейку . Эти числа, наделенные полевыми операциями над действительными числами, ограниченными конструктивными числами, образуют поле, которое собственно включает в себя поле Q рациональных чисел. На иллюстрации показано построение квадратных корней конструктивных чисел, не обязательно содержащихся в Q . Используя обозначения на рисунке, постройте отрезки AB , BD и полукруг над AD (центр в средней точке C ), который пересекает перпендикуляр , проходящий через B в точке F , на расстоянии ровно от B , когда BD имеет длину один.
Не все действительные числа конструктивны. Можно показать, что это неконструктивное число, а это означает, что невозможно построить с помощью циркуля и линейки длину стороны куба объемом 2 - еще одна проблема, поставленная древними греками.
Помимо привычных систем счисления, таких как рациональные числа, существуют и другие, менее наглядные примеры полей. В следующем примере показано поле, состоящее из четырех элементов с именами O , I , A и B. Обозначения выбраны так, что O играет роль аддитивного тождественного элемента (обозначенного 0 в аксиомах выше), а I - мультипликативного тождества (обозначенного 1 в аксиомах выше). Аксиомы поля можно проверить, используя еще немного теории поля или путем прямых вычислений. Например,
Это поле называется конечным полем или полем Галуа с четырьмя элементами и обозначается F 4 или GF(4) . [8] Подмножество , состоящее из O и I (выделено красным в таблицах справа), также является полем, известным как двоичное поле F 2 или GF(2) . В контексте информатики и булевой алгебры O и I часто обозначаются соответственно false и true , а сложение тогда обозначается XOR (исключающее или). Другими словами, структура двоичного поля — это базовая структура, позволяющая производить вычисления с битами .
В этом разделе F обозначает произвольное поле, а a и b — произвольные элементы F .
Имеем a ⋅ 0 = 0 и − a = (−1) ⋅ a . В частности, можно вывести аддитивную инверсию каждого элемента, как только известно −1 . [9]
Если ab = 0 , то a или b должно быть 0 , поскольку, если a ≠ 0 , то b = ( a −1 a ) b = a −1 ( ab ) = a −1 ⋅ 0 = 0 . Это означает, что каждое поле является областью целостности .
Кроме того, для любых элементов a и b справедливы следующие свойства :
Из аксиом поля F следует, что оно является абелевой группой при сложении. Эта группа называется аддитивной группой поля и иногда обозначается ( F , +) , поскольку ее простое обозначение F может сбить с толку.
Аналогично, ненулевые элементы F образуют абелеву группу при умножении, называемую мультипликативной группой и обозначаемую или просто , или F × .
Таким образом, поле можно определить как множество F , оснащенное двумя операциями, обозначаемыми как сложение и умножение, так что F является абелевой группой при сложении, является абелевой группой при умножении (где 0 — единичный элемент сложения), а умножение является дистрибутивным по отношению к сложению. [b] Поэтому некоторые элементарные утверждения о полях можно получить, применяя общие факты о группах . Например, аддитивные и мультипликативные обратные - a и a -1 однозначно определяются a .
Требование 1 ≠ 0 налагается по соглашению, чтобы исключить тривиальное кольцо , состоящее из одного элемента; это определяет любой выбор аксиом, определяющих поля.
Каждая конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая (см. Корень из единицы § Циклические группы ).
В дополнение к умножению двух элементов F можно определить произведение n ⋅ a произвольного элемента a из F на положительное целое число n как n -кратную сумму
Если не существует такого положительного целого числа, что
тогда говорят, что F имеет характеристику 0 . [11] Например, поле рациональных чисел Q имеет характеристику 0, поскольку ни одно положительное целое число n не равно нулю. В противном случае, если существует целое положительное число n, удовлетворяющее этому уравнению, можно показать, что наименьшее такое положительное целое число является простым числом . Обычно его обозначают p , и тогда говорят, что поле имеет характеристику p . Например, поле F 4 имеет характеристику 2 , поскольку (в обозначениях приведенной выше таблицы сложения) I + I = O .
Если F имеет характеристику p , то p ⋅ a = 0 для всех a в F. Это означает, что
поскольку все остальные биномиальные коэффициенты , входящие в биномиальную формулу , делятся на p . Здесь a p := a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( p множители) — это p -я степень, т. е. p -кратное произведение элемента a . Следовательно, отображение Фробениуса
совместим со сложением в F (а также с умножением) и, следовательно, является гомоморфизмом полей. [12] Существование этого гомоморфизма делает поля характеристики p совершенно отличными от полей характеристики 0 .
Подполе E поля F — это подмножество F , которое является полем относительно полевых операций F. Эквивалентно E - это подмножество F , которое содержит 1 и замкнуто относительно сложения, умножения, аддитивного обратного и мультипликативного обратного ненулевого элемента. Это означает, что 1 ∊ E , что для всех a , b ∊ E и a + b , и a ⋅ b находятся в E , и что для всех a ≠ 0 в E , оба - a и 1/ a находятся в E.
Гомоморфизмы полей — это отображения φ : E → F между двумя полями такие, что φ ( e 1 + e 2 ) = φ ( e 1 ) + φ ( e 2 ) , φ ( e 1 e 2 ) = φ ( e 1 ) φ ( e 2 ) и φ (1 E ) = 1 F , где e 1 и e 2 — произвольные элементы из E . Все гомоморфизмы полей инъективны . [13] Если φ также сюръективен , он называется изоморфизмом (или поля E и F называются изоморфными).
Поле называется простым, если оно не имеет собственных (т. е. строго меньших) подполей. Любое поле F содержит простое поле. Если характеристикой F является p (простое число), простое поле изоморфно конечному полю F p , введенному ниже. В противном случае простое поле изоморфно Q . [14]
Конечные поля (также называемые полями Галуа ) — это поля с конечным числом элементов, число которых также называется порядком поля. Приведенный выше вводный пример F 4 представляет собой поле с четырьмя элементами. Его подполе F 2 является наименьшим полем, поскольку по определению поле имеет как минимум два различных элемента: 0 и 1 .
Простейшие конечные поля простого порядка наиболее легко доступны с помощью модульной арифметики . Для фиксированного положительного целого числа n арифметика «по модулю n » означает работу с числами.
Сложение и умножение в этом наборе выполняются путем выполнения рассматриваемой операции в множестве Z целых чисел, деления на n и получения остатка в качестве результата. Эта конструкция дает поле именно в том случае, если n — простое число . Например, если взять простое число n = 2, получится вышеупомянутое поле F 2 . Для n = 4 и, в более общем смысле, для любого составного числа (т. е. любого числа n , которое можно выразить как произведение n = r ⋅ s двух строго меньших натуральных чисел), Z / n Z не является полем: произведение два ненулевых элемента равны нулю, поскольку r ⋅ s = 0 в Z / n Z , что, как объяснялось выше, не позволяет Z / n Z быть полем. Поле Z / p Z с p элементами ( p — простое число), построенное таким образом, обычно обозначается F p .
Каждое конечное поле F имеет q = p n элементов, где p простое число и n ≥ 1 . Это утверждение справедливо, поскольку F можно рассматривать как векторное пространство над его простым полем. Размерность этого векторного пространства обязательно конечна, скажем, n , что и подразумевает заявленное утверждение. [15]
Поле с элементами q = p n можно построить как поле разложения многочлена
Такое поле разложения является расширением F p , в котором многочлен f имеет q нулей. Это означает, что f имеет как можно больше нулей, поскольку степень f равна q . Для q = 2 2 = 4 можно проверить в каждом конкретном случае, используя приведенную выше таблицу умножения, что все четыре элемента F 4 удовлетворяют уравнению x 4 = x , поэтому они являются нулями f . Напротив, в F 2 f имеет только два нуля (а именно 0 и 1 ), поэтому f не распадается на линейные множители в этом меньшем поле. Развивая далее основные понятия теории поля, можно показать, что два конечных поля одного и того же порядка изоморфны. [16] Таким образом, принято говорить о конечном поле с q элементами, обозначаемым F q или GF( q ) .
Исторически к понятию поля привели три алгебраические дисциплины: вопрос решения полиномиальных уравнений, алгебраическая теория чисел и алгебраическая геометрия . [17] Первый шаг к понятию поля был сделан в 1770 году Жозефом-Луи Лагранжем , который заметил, что перестановка нулей x 1 , x 2 , x 3 кубического многочлена в выражении
(где ω — корень третьей степени из единицы ) дает только два значения. Таким образом, Лагранж концептуально объяснил классический метод решения Сципионе дель Ферро и Франсуа Вьета , который заключается в сведении кубического уравнения для неизвестного x к квадратному уравнению для x 3 . [18] Вместе с аналогичным наблюдением для уравнений степени 4 Лагранж, таким образом, связал то, что в конечном итоге стало концепцией полей, и концепцией групп. [19] Вандермонд , также в 1770 году, и в более полной мере Карл Фридрих Гаусс в своих Disquisitiones Arithmeticae (1801) изучали уравнение
для простого числа p и, опять же используя современный язык, получившуюся циклическую группу Галуа . Гаусс пришел к выводу, что правильный p -угольник можно построить, если p = 2 2 k + 1 . Основываясь на работе Лагранжа, Паоло Руффини заявил (1799), что уравнения пятой степени (полиномиальные уравнения 5-й степени ) не могут быть решены алгебраически; однако его аргументы были ошибочными. Эти пробелы были заполнены Нильсом Хенриком Абелем в 1824 году. [20] Эварист Галуа в 1832 году разработал необходимые и достаточные критерии для того, чтобы полиномиальное уравнение было алгебраически разрешимым, тем самым установив, по сути, то, что сегодня известно как теория Галуа . И Абель, и Галуа работали с тем, что сегодня называется полем алгебраических чисел , но не придумали ни явного понятия поля, ни группы.
В 1871 году Рихард Дедекинд ввел для обозначения набора действительных или комплексных чисел, замкнутого четырьмя арифметическими операциями, немецкое слово Körper , которое означает «тело» или «корпус» (что указывает на органически замкнутую сущность). Английский термин «поле» был введен Муром (1893). [21]
Под полем мы будем понимать всякую бесконечную систему действительных или комплексных чисел, настолько замкнутую в себе и совершенную, что сложение, вычитание, умножение и деление любых двух из этих чисел снова дает номер системы.
- Ричард Дедекинд, 1871 г. [22]
В 1881 году Леопольд Кронекер определил то, что он назвал областью рациональности , которая в современных терминах представляет собой область рациональных дробей . Понятие Кронекера не охватывало поле всех алгебраических чисел (которое является полем в смысле Дедекинда), но, с другой стороны, было более абстрактным, чем понятие Дедекинда, поскольку оно не делало конкретных предположений о природе элементов поля. Кронекер интерпретировал такое поле, как Q (π), абстрактно как поле рациональных функций Q ( X ) . До этого примеры трансцендентных чисел были известны со времен работы Жозефа Лиувилля в 1844 году, пока Чарльз Эрмит (1873) и Фердинанд фон Линдеманн (1882) не доказали трансцендентность e и π соответственно. [23]
Первое четкое определение абстрактного поля принадлежит Веберу (1893). [24] В частности, понятие Генриха Мартина Вебера включало поле F p . Джузеппе Веронезе (1891) изучал область формальных степенных рядов, что привело Хенселя (1904) к введению области p -адических чисел. Стейниц (1910) синтезировал накопленные к настоящему времени знания абстрактной теории поля. Он аксиоматически изучил свойства полей и определил многие важные теоретико-полевые понятия. Большинство теорем, упомянутых в разделах «Теория Галуа», «Построение полей» и «Элементарные понятия», можно найти в работах Стейница. Артин и Шрайер (1927) связали понятие упорядочения в поле и, следовательно, область анализа, с чисто алгебраическими свойствами. [25] Эмиль Артин переработал теорию Галуа с 1928 по 1942 год, устранив зависимость от теоремы о примитивном элементе .
Коммутативное кольцо — это множество, снабженное операциями сложения и умножения и удовлетворяющее всем аксиомам поля, за исключением существования мультипликативных обратных a −1 . [26] Например, целые числа Z образуют коммутативное кольцо, но не поле: обратное целое число n само по себе не является целым числом, если только n = ±1 .
В иерархии алгебраических структур поля можно охарактеризовать как коммутативные кольца R , в которых каждый ненулевой элемент является единицей (что означает, что каждый элемент обратим). Аналогично, поля — это коммутативные кольца ровно с двумя различными идеалами : (0) и R. Поля также являются коммутативными кольцами, в которых (0) является единственным простым идеалом .
Учитывая коммутативное кольцо R , есть два способа построить поле, связанное с R , т.е. два способа изменить R так, чтобы все ненулевые элементы стали обратимыми: сформировать поле частных и сформировать поля вычетов. Поле частных Z — это Q , рациональные числа , а поля вычетов Z — это конечные поля Fp .
Учитывая область целостности R , ее поле дробей Q ( R ) строится из дробей двух элементов R точно так же, как Q строится из целых чисел. Точнее, элементы Q ( R ) — это дроби a / b , где a и b находятся в R , и b ≠ 0 . Две дроби a / b и c / d равны тогда и только тогда, когда ad = bc . Операции с дробями работают точно так же, как и с рациональными числами. Например,
Несложно показать, что если кольцо является областью целостности, то множество дробей образует поле. [27]
Поле F ( x ) рациональных дробей над полем (или областью целостности) F является полем частных кольца полиномов F [ x ] . Поле F (( x )) ряда Лорана
над полем F — поле частных кольца F [[ x ]] формальных степенных рядов (в которых k ≥ 0 ). Поскольку любой ряд Лорана представляет собой часть степенного ряда, разделенную на степень x (в отличие от произвольного степенного ряда), представление дробей в этой ситуации менее важно.
Помимо поля частных, которое инъективно вкладывает R в поле, поле можно получить из коммутативного кольца R посредством сюръективного отображения на поле F . Любое поле , полученное таким образом, является фактором R / m , где m — максимальный идеал R. Если R имеет только один максимальный идеал m , это поле называется полем вычетов R. [28]
Идеал , порожденный одним многочленом f в кольце многочленов R = E [ X ] (над полем E ), является максимальным тогда и только тогда, когда f неприводим в E , т. е. если f не может быть выражено как произведение двух многочленов из E [ X ] меньшей степени . Это дает поле
Это поле F содержит элемент x (а именно класс вычетов X ) , который удовлетворяет уравнению
Например, C получается из R путем присоединения символа мнимой единицы i , который удовлетворяет условию f ( i ) = 0 , где f ( X ) = X 2 + 1 . Более того, f неприводим над R , а это означает, что отображение, которое переводит многочлен f ( X ) ∊ R [ X ] в f ( i ) , дает изоморфизм
Поля могут быть созданы внутри заданного большего поля-контейнера. Предположим, дано поле E и поле F , содержащее E в качестве подполя. Для любого элемента x из F существует наименьшее подполе F, содержащее E и x , называемое подполем F , порожденное x и обозначаемое E ( x ) . [ 29] Переход от E к E ( x ) называется присоединением элемента к E. В более общем смысле, для подмножества S ⊂ F существует минимальное подполе F , содержащее E и S , обозначаемое E ( S ) .
Композицией двух подполей E и E ′ некоторого поля F является наименьшее подполе F , содержащее как E , так и E ′ . Композитум можно использовать для построения самого большого подполя F , удовлетворяющего определенному свойству, например самого большого подполя F , которое на языке, представленном ниже, является алгебраическим над E. [с]
Понятие подполя E ⊂ F можно также рассматривать с противоположной точки зрения, ссылаясь на то, что F является расширением поля (или просто расширением) поля E , обозначаемым
и прочитайте « F над E ».
Базовыми данными расширения поля является его степень [ F : E ] , т.е. размерность F как E -векторного пространства. Оно удовлетворяет формуле [30]
Расширения, степень которых конечна, называются конечными расширениями. Расширения C / R и F 4 / F 2 имеют степень 2 , тогда как R / Q — бесконечное расширение.
Ключевым понятием в изучении расширений полей F / E являются алгебраические элементы . Элемент x ∈ F является алгебраическим над E , если он является корнем многочлена с коэффициентами из E , то есть если он удовлетворяет полиномиальному уравнению
с e n , ..., e 0 в E и e n ≠ 0 . Например, мнимая единица i в C является алгебраической над R и даже над Q , поскольку она удовлетворяет уравнению
Расширение поля, в котором каждый элемент F является алгебраическим над E , называется алгебраическим расширением . Любое конечное расширение обязательно является алгебраическим, как можно вывести из приведенной выше формулы мультипликативности. [31]
Подполе E ( x ) , порожденное элементом x , как указано выше, является алгебраическим расширением E тогда и только тогда, когда x является алгебраическим элементом. То есть, если x алгебраический, все остальные элементы E ( x ) также обязательно алгебраические. Более того, степень расширения E ( x ) / E , то есть размерность E ( x ) как E -векторного пространства, равна минимальной степени n такой, что существует полиномиальное уравнение с участием x , как указано выше. Если эта степень равна n , то элементы E ( x ) имеют вид
Например, поле Q ( i ) гауссовских рациональных чисел — это подполе C , состоящее из всех чисел формы a + bi , где a и b — рациональные числа: слагаемые формы i 2 (и аналогично для более высоких показателей) делают здесь не требуется рассматриваться, поскольку a + bi + ci 2 можно упростить до a − c + bi .
Упомянутое выше поле рациональных дробей E ( X ) , где X — неопределенное число , не является алгебраическим расширением E , поскольку не существует полиномиального уравнения с коэффициентами из E , нулем которого является X. Элементы, такие как X , которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными . Неформально говоря, неопределенное X и его степени не взаимодействуют с элементами E . Аналогичное построение можно провести и с набором неопределенных, а не с одним.
Еще раз, расширение поля E ( x )/ E , обсуждавшееся выше, является ключевым примером: если x не является алгебраическим (т. е. x не является корнем многочлена с коэффициентами из E ), то E ( x ) изоморфно E ( ИКС ) . Этот изоморфизм получается заменой x на X в рациональных дробях.
Подмножество S поля F является базисом трансцендентности , если оно алгебраически независимо (не удовлетворяет никаким полиномиальным соотношениям) над E и если F является алгебраическим расширением E ( S ) . Любое расширение поля F / E имеет базис трансцендентности. [32] Таким образом, расширения полей можно разделить на расширения вида E ( S )/ E ( чисто трансцендентные расширения ) и алгебраические расширения.
Поле называется алгебраически замкнутым, если оно не имеет строго больших алгебраических расширений или, что то же самое, если любое полиномиальное уравнение
имеет решение x ∊ F . [33] По основной теореме алгебры C алгебраически замкнуто, т. е. любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение. Рациональные и действительные числа не являются алгебраически замкнутыми, поскольку уравнение
не имеет никакого рационального или реального решения. Поле, содержащее F, называется алгебраическим замыканием F , если оно алгебраически над F (грубо говоря, не слишком велико по сравнению с F ) и алгебраически замкнуто (достаточно велико, чтобы содержать решения всех полиномиальных уравнений).
По вышесказанному C является алгебраическим замыканием R . Ситуация , когда алгебраическое замыкание является конечным расширением поля F , совершенно особенная: по теореме Артина–Шрайера степень этого расширения обязательно равна 2 , а F элементарно эквивалентно R. Такие поля также известны как настоящие закрытые поля .
Любое поле F имеет алгебраическое замыкание, причём единственное с точностью до (неединственного) изоморфизма. Его обычно называют алгебраическим замыканием и обозначают F . Например, алгебраическое замыкание Q поля Q называется полем алгебраических чисел . Поле F обычно довольно неявно, поскольку для его построения требуется лемма об ультрафильтре — теоретико-множественная аксиома, более слабая, чем аксиома выбора . [34] В этом отношении алгебраическое замыкание F q исключительно просто. Это объединение конечных полей, содержащих F q (порядка q n ). Для любого алгебраически замкнутого поля F характеристики 0 алгебраическим замыканием поля F (( t )) рядов Лорана является поле рядов Пюизо , полученных присоединением корней из t . [35]
Поскольку поля широко распространены в математике и за ее пределами, некоторые усовершенствования концепции были адаптированы к потребностям конкретных математических областей.
Поле F называется упорядоченным полем , если любые два элемента можно сравнить, так что x + y ≥ 0 и xy ≥ 0 всякий раз, когда x ≥ 0 и y ≥ 0 . Например, действительные числа образуют упорядоченное поле с обычным порядком ≥ . Теорема Артина -Шрайера утверждает, что поле можно упорядочить тогда и только тогда, когда оно является формально вещественным полем , а это означает, что любое квадратное уравнение
имеет только решение x 1 знак равно x 2 знак равно ⋯ знак равно x n знак равно 0 . [36] Множество всех возможных порядков на фиксированном поле F изоморфно множеству гомоморфизмов колец из кольца Витта W( F ) квадратичных форм над F в Z. [37]
Архимедово поле — это упорядоченное поле, для каждого элемента которого существует конечное выражение.
значение которого больше этого элемента, то есть бесконечных элементов не существует. Эквивалентно, поле не содержит бесконечно малых (элементов, меньших всех рациональных чисел); или, что эквивалентно, поле изоморфно подполю R .
Упорядоченное поле является дедекинд-полным, если все верхние границы , нижние границы (см. Дедекиндов разрез ) и пределы, которые должны существовать, существуют. Более формально, каждое ограниченное подмножество F должно иметь наименьшую верхнюю границу. Любое полное поле обязательно является архимедовым, [38] , поскольку в любом неархимедовом поле нет ни наибольшего бесконечно малого, ни наименьшего положительного рационального числа, откуда последовательность 1/2, 1/3, 1/4, ... , каждый элемент из которых больше каждой бесконечно малой, не имеет предела.
Поскольку каждое собственное подполе вещественных чисел также содержит такие пробелы, R — единственное полное упорядоченное поле с точностью до изоморфизма. [39] Несколько основополагающих результатов в исчислении следуют непосредственно из этой характеристики действительности.
Гиперреалы R * образуют упорядоченное поле, не являющееся архимедовым . Это расширение действительных чисел, полученное путем включения бесконечных и бесконечно малых чисел. Они больше и соответственно меньше любого действительного числа. Гиперреалы составляют фундаментальную основу нестандартного анализа .
Другое уточнение понятия поля — топологическое поле , в котором множество F является топологическим пространством , таким, что все операции поля (сложение, умножение, отображения a ↦ − a и a ↦ a −1 ) непрерывны . карты относительно топологии пространства. [40] Топология всех обсуждаемых ниже полей индуцируется из метрики , т. е. функции
который измеряет расстояние между любыми двумя элементами F .
Пополнение F — это еще одно поле, в котором , неформально говоря, заполняются «пробелы» в исходном поле F , если таковые имеются. Например, любое иррациональное число x , такое как x = √ 2 , является «пробелом» в рациональных числах Q в том смысле, что это действительное число, которое можно сколь угодно близко аппроксимировать рациональными числами p / q , в том смысле, что расстояние x и p / q , заданное абсолютным значением | Икс - п / д | настолько мал, насколько хотелось бы. В следующей таблице приведены некоторые примеры этой конструкции. В четвертом столбце показан пример нулевой последовательности , т. е. последовательности, предел которой (при n → ∞ ) равен нулю.
Поле Qp используется в теории чисел и p - адическом анализе . Алгебраическое замыкание Qp имеет единственную норму, расширяющую норму на Qp , но не является полным. Однако пополнение этого алгебраического замыкания алгебраически замкнуто. Из-за грубой аналогии с комплексными числами его иногда называют полем комплексных p-адических чисел и обозначают C p . [41]
Следующие топологические поля называются локальными полями : [42] [d]
Эти два типа локальных полей имеют некоторые фундаментальные сходства. В этом отношении элементы p ∈ Q p и t ∈ F p (( t )) (называемые униформизатором ) соответствуют друг другу. Первое проявление этого находится на элементарном уровне: элементы обоих полей могут быть выражены в виде степенных рядов в униформизаторе с коэффициентами в F p . (Однако, поскольку сложение в Q p осуществляется с помощью переноса , чего не происходит в F p (( t )) эти поля не изоморфны.) Следующие факты показывают, что это поверхностное сходство идет гораздо глубже:
Дифференциальные поля — это поля, снабженные дифференцированием , т. е. позволяющие брать производные элементов поля. [44] Например, поле R ( X ) вместе со стандартной производной многочленов образует дифференциальное поле. Эти поля являются центральными в дифференциальной теории Галуа , варианте теории Галуа, занимающейся линейными дифференциальными уравнениями .
Теория Галуа изучает алгебраические расширения поля путем изучения симметрии арифметических операций сложения и умножения. Важным понятием в этой области является понятие конечных расширений Галуа F / E , которые по определению являются сепарабельными и нормальными . Теорема о примитивном элементе показывает, что конечные сепарабельные расширения обязательно просты , т. е. имеют вид
где f — неприводимый полином (как указано выше). [45] Для такого расширения нормальность и сепарабельность означает, что все нули f содержатся в F и что f имеет только простые нули. Последнее условие всегда выполняется, если E имеет характеристику 0 .
Для конечного расширения Галуа группа Галуа Gal ( F / E ) — это группа полевых автоморфизмов F , которые тривиальны на E (т. е . биекции σ : F → F , которые сохраняют сложение и умножение и которые переводят элементы E в сами себя). Важность этой группы вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа , которая строит явное взаимно-однозначное соответствие между множеством подгрупп Gal ( F / E ) и множеством промежуточных расширений расширения F / E . [46] Посредством этого соответствия теоретико-групповые свойства преобразуются в факты о полях. Например, если группа Галуа расширения Галуа, как указано выше, неразрешима ( не может быть построена из абелевых групп ), то нули f не могут быть выражены через сложение, умножение и радикалы, т. е. выражения, включающие . Например, симметрические группы Sn неразрешимы при n ≥ 5 . Следовательно, как можно показать, нули следующих многочленов не выражаются через суммы, произведения и радикалы. Для последнего многочлена этот факт известен как теорема Абеля – Руффини :
Тензорное произведение полей обычно не является полем. Например, конечное расширение F / E степени n является расширением Галуа тогда и только тогда, когда существует изоморфизм F -алгебр
Этот факт является началом теории Галуа Гротендика , далеко идущего расширения теории Галуа, применимого к алгебро-геометрическим объектам. [48]
Основные инварианты поля F включают характеристику и степень трансцендентности поля F над его простым полем. Последнее определяется как максимальное число элементов в F , алгебраически независимых над простым полем. Два алгебраически замкнутых поля E и F изоморфны именно в том случае, если эти два данных совпадают. [49] Отсюда следует, что любые два несчетных алгебраически замкнутых поля одинаковой мощности и одной характеристики изоморфны. Например, Qp , Cp и C изоморфны (но не изоморфны как топологические поля).
В теории моделей , разделе математической логики , два поля E и F называются элементарно эквивалентными, если каждое математическое утверждение, верное для E , также верно и для F , и наоборот. Рассматриваемые математические утверждения должны быть предложениями первого порядка (включая 0 , 1 , сложение и умножение). Типичный пример для n > 0 , n — целое число:
Набор таких формул для всех n выражает алгебраическую замкнутость E. Принцип Лефшеца утверждает, что C элементарно эквивалентно любому алгебраически замкнутому полю F нулевой характеристики. Более того, любое фиксированное утверждение φ выполняется в C тогда и только тогда, когда оно выполняется в любом алгебраически замкнутом поле достаточно высокой характеристики. [50]
Если U — ультрафильтр на множестве I , а F i — поле для каждого i в I , ультрапроизведение F i относительно U является полем. [51] Обозначается
поскольку оно во многих отношениях ведет себя как предел полей Fi : теорема Лоша утверждает, что любое утверждение первого порядка, справедливое для всех, кроме конечного числа Fi , также справедливо и для ультрапроизведения. Применительно к приведенному выше предложению φ это показывает, что существует изоморфизм [e]
Отсюда также следует упомянутая выше теорема Аха–Кохена и изоморфизм ультрапроизведений (в обоих случаях по всем простым числам p )
Кроме того, теория моделей также изучает логические свойства различных других типов полей, таких как реальные замкнутые поля или экспоненциальные поля (которые оснащены экспоненциальной функцией exp : F → F × ). [52]
Для полей, которые не являются алгебраически замкнутыми (или не сепарабельно замкнутыми), абсолютная группа Галуа Gal( F ) фундаментально важна: расширяя случай конечных расширений Галуа, описанный выше, эта группа управляет всеми конечными сепарабельными расширениями F . Элементарными средствами можно показать, что группа Gal ( F q ) является группой Прюфера , проконечным пополнением Z. Это утверждение учитывает тот факт, что единственными алгебраическими расширениями Gal( F q ) являются поля Gal( F q n ) для n > 0 и что группы Галуа этих конечных расширений задаются формулой
Описание в терминах образующих и соотношений известно также для групп Галуа полей p -адических чисел ( конечных расширений Qp ). [53]
Представления групп Галуа и родственных групп, таких как группа Вейля , являются фундаментальными во многих разделах арифметики, таких как программа Ленглендса . Когомологическое исследование таких представлений проводится с использованием когомологий Галуа . [54] Например, группа Брауэра , которая классически определяется как группа центральных простых F -алгебр , может быть переинтерпретирована как группа когомологий Галуа, а именно
К-теория Милнора определяется как
Теорема об изоморфизме норм вычетов , доказанная около 2000 года Владимиром Воеводским , связывает это с когомологиями Галуа посредством изоморфизма.
Алгебраическая К-теория связана с группой обратимых матриц с коэффициентами данного поля. Например, процесс взятия определителя обратимой матрицы приводит к изоморфизму K 1 ( F ) = F × . Теорема Мацумото показывает, что K 2 ( F ) согласуется с K 2 M ( F ) . В более высоких степенях К-теория расходится с К-теорией Милнора и в целом остается трудновычислимой.
Если a ≠ 0 , то уравнение
имеет единственное решение x в поле F , а именно. Это непосредственное следствие определения поля является фундаментальным в линейной алгебре . Например, это важный компонент метода исключения Гаусса и доказательства того, что любое векторное пространство имеет базис . [55]
Теория модулей (аналог векторных пространств над кольцами вместо полей) гораздо сложнее, поскольку приведенное выше уравнение может иметь несколько решений или не иметь их. В частности, системы линейных уравнений над кольцом решать гораздо труднее, чем в случае полей, даже в особо простом случае кольца Z целых чисел.
Широко применяемая криптографическая процедура использует тот факт, что дискретное возведение в степень, т. е. вычисление
в (большом) конечном поле F q может выполняться гораздо эффективнее, чем дискретный логарифм , который является обратной операцией, т. е. определением решения n уравнения
В криптографии эллиптических кривых умножение в конечном поле заменяется операцией сложения точек на эллиптической кривой , т. е. решений уравнения вида
Конечные поля также используются в теории кодирования и комбинаторике .
Функции в подходящем топологическом пространстве X в поле F можно складывать и умножать поточечно, например, произведение двух функций определяется произведением их значений внутри области:
Это делает эти функции F - коммутативной алгеброй .
Чтобы иметь поле функций, необходимо рассматривать алгебры функций, которые являются областью целостности . В этом случае отношения двух функций, т. е. выражения вида
образуют поле, называемое полем функций.
Это происходит в двух основных случаях. Когда X — комплексное многообразие X. В этом случае рассматривается алгебра голоморфных функций , т. е. комплексно дифференцируемых функций. Их отношения образуют поле мероморфных функций на X.
Поле функций алгебраического многообразия X (геометрический объект, определяемый как общие нули полиномиальных уравнений) состоит из отношений регулярных функций , т. е. отношений полиномиальных функций на многообразии. Функциональное поле n -мерного пространства над полем F есть F ( x1 , ..., xn ) , т. е. поле, состоящее из отношений многочленов от n неопределенных значений. Функциональное поле X такое же, как и у любого открытого плотного подмногообразия. Другими словами, функциональное поле нечувствительно к замене X подмногообразием (немного) меньшего размера.
Поле функций инвариантно относительно изоморфизма и бирациональной эквивалентности многообразий. Поэтому это важный инструмент для изучения абстрактных алгебраических многообразий и классификации алгебраических многообразий. Например, размерность , равная степени трансцендентности F ( X ) , инвариантна относительно бирациональной эквивалентности. [ 56] Для кривых (т. е. размерность равна единице) функциональное поле F ( X ) очень близко к X : если X гладкое и собственное (аналог компактности ) , X можно восстановить с точностью до изоморфизма, из области своих функций. [f] В более высоком измерении функциональное поле запоминает меньшую, но все же решающую информацию о X . Изучение функциональных полей и их геометрического смысла в высших измерениях называется бирациональной геометрией . Программа минимальной модели пытается идентифицировать простейшие (в определенном смысле) алгебраические многообразия с заданным функциональным полем.
Глобальные поля находятся в центре внимания алгебраической теории чисел и арифметической геометрии . По определению они являются числовыми полями (конечными расширениями Q ) или функциональными полями над F q (конечными расширениями F q ( t ) ). Что касается локальных полей, то эти два типа полей имеют несколько схожих особенностей, хотя они имеют характеристику 0 и положительную характеристику соответственно. Эта аналогия с функциональным полем может помочь сформировать математические ожидания, часто сначала путем понимания вопросов о функциональных полях, а затем рассмотрения случая числового поля. Последнее зачастую сложнее. Например, гипотезу Римана о нулях дзета-функции Римана (открытую по состоянию на 2017 год) можно рассматривать как параллельную гипотезе Вейля (доказанной в 1974 году Пьером Делинем ).
Циклотомические поля являются одними из наиболее интенсивно изучаемых числовых полей. Они имеют вид Q ( ζn ) , где ζn — примитивный корень n -й степени из единицы , т.е. комплексное число ζ , которое удовлетворяет условиям ζn = 1 и ζm ≠ 1 для всех 0 < m < n . [57] Поскольку n является обычным простым числом , Куммер использовал круговые поля для доказательства Великой теоремы Ферма , которая утверждает отсутствие рациональных ненулевых решений уравнения
Локальные поля являются дополнениями глобальных полей. Теорема Островского утверждает, что единственными пополнениями глобального поля Q являются локальные поля Q p и R . Изучение арифметических вопросов в глобальных полях иногда можно проводить, рассматривая соответствующие вопросы локально. Этот метод называется локально-глобальным принципом . Например, теорема Хассе–Минковского сводит задачу поиска рациональных решений квадратных уравнений к решению этих уравнений в R и Qp , решения которых легко описать. [58]
В отличие от локальных полей, группы Галуа глобальных полей неизвестны. Обратная теория Галуа изучает ( нерешенную) проблему, является ли какая-либо конечная группа группой Галуа Gal( F / Q ) для некоторого числового поля F. [59] Теория полей классов описывает абелевы расширения , т. е. расширения с абелевой группой Галуа или, что то же самое, абелианизированные группы Галуа глобальных полей. Классическое утверждение, теорема Кронекера–Вебера , описывает максимальное абелева Q ab расширение Q : это поле
получается присоединением всех примитивных корней n-й степени из единицы. «Югендтраум» Кронекера требует столь же явного описания F ab общих числовых полей F . Для мнимых квадратичных полей , , d > 0 теория комплексного умножения описывает F ab с помощью эллиптических кривых . Для общих числовых полей такое явное описание не известно.
В дополнение к дополнительной структуре, которую могут иметь поля, поля допускают различные другие связанные понятия. Поскольку в любом поле 0 ≠ 1 любое поле имеет как минимум два элемента. Тем не менее, существует понятие поля с одним элементом , которое предлагается считать пределом конечных полей F p , поскольку p стремится к 1 . [60] Помимо тел, существуют различные другие более слабые алгебраические структуры, связанные с полями, такие как квазиполя , околополя и полуполя .
Существуют также собственные классы со структурой полей, которые иногда называют Fields с заглавной буквы «F». Сюрреалистические числа образуют Поле, содержащее действительные числа, и были бы полем, если бы не тот факт, что они представляют собой собственный класс, а не набор. Нимберы , концепция из теории игр , также образуют такое Поле. [61]
Отказ от одной или нескольких аксиом в определении поля приводит к другим алгебраическим структурам. Как упоминалось выше, коммутативные кольца удовлетворяют всем аксиомам поля, за исключением существования мультипликативных обратных. Отказ от коммутативности умножения приводит к понятию тела или тела ; [g] иногда ослабляется и ассоциативность. Единственными телами, которые являются конечномерными R -векторными пространствами, являются само R , C (который является полем) и кватернионы H (в которых умножение некоммутативно). Этот результат известен как теорема Фробениуса . Октонионы O , для которых умножение не является ни коммутативным, ни ассоциативным, являются нормированной альтернативной алгеброй с телом, но не телом. Этот факт был доказан методами алгебраической топологии в 1958 году Мишелем Кервером , Раулем Боттом и Джоном Милнором . [62] Отсутствие нечетномерной алгебры с делением является более классическим. Это можно вывести из теоремы о волосатом шаре , проиллюстрированной справа. [ нужна цитата ]