В математике гауссово рациональное число — это комплексное число формы p + qi , где p и q — рациональные числа . Множество всех гауссовских рациональных чисел образует гауссово рациональное поле , обозначаемое Q ( i ) , полученное присоединением мнимого числа i к полю рациональных чисел Q.
Поле гауссовых рациональных чисел представляет собой пример поля алгебраических чисел , которое является одновременно квадратичным и круговым полем (поскольку i является корнем четвертой степени из единицы ). Как и все квадратичные поля, это расширение Галуа Q с циклической группой Галуа второго порядка, в данном случае порожденной комплексным сопряжением , и, таким образом, является абелевым расширением Q с проводником 4. [1]
Как и в случае с круговыми полями в более общем смысле, поле гауссовых рациональных чисел не является ни упорядоченным , ни полным (как метрическое пространство). Гауссовы целые числа Z [ i ] образуют кольцо целых чисел Q ( i ) . Множество всех гауссовских рациональных чисел счетно бесконечно .
Поле гауссовских рациональных чисел также является двумерным векторным пространством над Q с естественным базисом .
Понятие кругов Форда можно обобщить от рациональных чисел до гауссовых рациональных чисел, получив сферы Форда. В этой конструкции комплексные числа вложены в виде плоскости в трехмерное евклидово пространство , и для каждой гауссовой рациональной точки в этой плоскости строится сфера, касающаяся плоскости в этой точке. Для гауссова рационального, представленного в самых простых терминах как , радиус этой сферы должен быть где представляет собой комплексно-сопряженное число . Полученные сферы касаются пар гауссовых рациональных чисел и с , а в противном случае они не пересекаются друг с другом. [2] [3]
