Разделение поля

Поле, порожденное всеми полями разрыва полинома над полем

В абстрактной алгебре поле разложения многочлена с коэффициентами в поле — это наименьшее расширение поля этого поля, по которому полином расщепляется , т. е. разлагается на линейные множители.

Определение

Поле расщепления многочлена p ( X ) над полем K - это расширение поля L поля K , по которому p разлагается на линейные множители.

${\displaystyle p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg p}(X-a_{i})}$

где и для каждого мы имеем a i _не обязательно различные и такие, что корни a _i порождают L над K . Тогда расширение L является расширением минимальной степени над K , в котором p распадается. Можно показать, что такие поля расщепления существуют и единственны с точностью до изоморфизма . Количество свободы в этом изоморфизме известно как группа Галуа p (если мы предположим, что она сепарабельна ). ${\displaystyle c\in K}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X-a_{i}\in L[X]}$

Поле расщепления набора из P многочленов — это наименьшее поле, по которому распадается каждый из многочленов из P.

Характеристики

Расширение L , которое является полем разложения множества полиномов p ( X ) над K , называется нормальным расширением K.

Учитывая алгебраически замкнутое поле A, содержащее K , существует единственное поле разложения L поля p между K и A , порожденное корнями p . Если K является подполем комплексных чисел , его существование является немедленным. С другой стороны, существование алгебраических замыканий в целом часто доказывается путем «предельного перехода» от результата о поле расщепления, что поэтому требует независимого доказательства, чтобы избежать циклических рассуждений .

Учитывая сепарабельное расширение K ′ поля K , замыкание Галуа L поля K ′ является типом поля расщепления, а также расширением Галуа поля K , содержащим K ′, которое минимально в очевидном смысле. Такое замыкание Галуа должно содержать поле разложения для всех многочленов p над K , которые являются минимальными многочленами над K элементов из K ′.

Построение полей разделения

Мотивация

Поиск корней многочленов был важной проблемой еще со времен древних греков. Однако некоторые многочлены, такие как x ² + 1 над R , действительные числа , не имеют корней. Построив поле расщепления такого многочлена, можно найти корни многочлена в новом поле.

Конструкция

Пусть F — поле и p ( X ) — многочлен в кольце полиномов F [ X ] степени n . Общий процесс построения K , поля разложения p ( X ) над F , заключается в построении цепочки полей такой, что K _i является расширением K _{i  −1} , содержащим новый корень p ( X ). Поскольку p ( X ) имеет не более n корней, для построения потребуется не более n расширений. Шаги для построения K _i приведены ниже: ${\displaystyle F=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{r-1}\subseteq K_{r}=K}$

• Разложите p ( X ) по K _i на неприводимые факторы . ${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$
• Выберите любой нелинейный неприводимый множитель f ( X ).
• Постройте расширение поля K _{i  +1} кольца K _i как факторкольцо K _{i  +1} = K _i [ X ] / ( f ( X ) ), где ( f ( X )) обозначает идеал в K _i [ X ], порожденный е ( Икс ).
• Повторяйте процесс для K _{i  +1} до тех пор, пока p ( X ) не будет полностью факторизован.

Неприводимый множитель f ( X ), используемый в факторстроении, может быть выбран произвольно. Хотя разный выбор факторов может привести к разным последовательностям подполей, результирующие поля расщепления будут изоморфными.

Поскольку f ( X ) неприводимо, ( f ( X )) — максимальный идеал K _i [ X ] и K _i [ X ] / ( f ( X )) является, по сути, полем. Более того, если мы обозначим – естественную проекцию кольца на его фактор, то ${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))}$

${\displaystyle f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0}$

поэтому π ( X ) является корнем f ( X ) и p ( X ).

Степень одиночного расширения равна степени неприводимого множителя f ( X ). Степень расширения [ K  : F ] определяется выражением и не превосходит n !. ${\displaystyle [K_{i+1}:K_{i}]}$ ${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$

Поле K i  [ X ]/( f ( X ))

Как упоминалось выше, факторкольцо K _{i  +1} = K _i [ X ]/( f ( X )) является полем, когда f ( X ) неприводимо. Его элементы имеют вид

${\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}$

где c _j находятся в K _i и α = π ( X ). (Если рассматривать K _{i  +1} как векторное пространство над K _i , то степени α ^j для 0 ≤ j ≤ n −1 образуют базис .)

Элементы K _{i  +1} можно рассматривать как многочлены от α степени меньше n . Сложение в K _{i  +1} задается правилами полиномиального сложения, а умножение задается полиномиальным умножением по модулю f ( X ). То есть для g ( α ) и h ( α ) в K _{i  +1} их произведение равно g ( α ) h ( α ) = r (α), где r ( X ) — остаток от g ( X ) h ( X ) при делении на f ( X ) в K _i [ X ].

Остаток r ( X ) может быть вычислен посредством полиномиального деления в столбик ; однако существует также простое правило сокращения, которое можно использовать для непосредственного вычисления r ( α ) = g ( α ) h ( α ). Сначала позвольте

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

Полином над полем, поэтому можно считать f ( X ) моническим без потери общности . Теперь α является корнем f ( X ), поэтому

${\displaystyle \alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).}$

Если произведение g ( α ) h ( α ) имеет член α ^m с m ≥ n , его можно сократить следующим образом:

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n})}$.

В качестве примера правила сведения возьмем K _i = Q [ X ], кольцо многочленов с рациональными коэффициентами, и возьмем f ( X ) = X ⁷ − 2. Пусть и h ( α ) = α ³ +1 — два элементы Q [ X ]/( X ⁷ − 2). Правило редукции, заданное f ( X ), равно α ⁷ = 2, поэтому ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

Примеры

Комплексные числа

Рассмотрим кольцо многочленов R [ x ] и неприводимый многочлен x ² + 1. Фактор -кольцо R [ x ] / ( x ² + 1) задается сравнением x 2 ^≡ −1. В результате элементы (или классы эквивалентности ) группы R [ x ]/( x2 + 1 ) имеют вид a + bx , где ^a и b принадлежат R. Чтобы убедиться в этом, заметим, что поскольку x ² ≡ −1 , отсюда следует, что x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x и т. д.; и так, например, p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r (−1) + s (− x ) = ( p − r ) + ( q − s ) x .

Операции сложения и умножения выполняются сначала с использованием обычного полиномиального сложения и умножения, а затем уменьшения по модулю x ² + 1 , т.е. с использованием того факта, что x ² ≡ −1 , x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x и т. д. Таким образом:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

Если мы отождествим a + bx с ( a , b ), то мы увидим, что сложение и умножение задаются формулами

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

^Мы утверждаем, что как поле факторкольцо R [ x ] / ( x2 +1 ) изоморфно комплексным числам C. Общее комплексное число имеет вид a + bi , где a и b — действительные числа, а i ² = −1. Сложение и умножение задаются формулами

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Если мы отождествляем a + bi с ( a , b ), то мы видим, что сложение и умножение задаются формулами

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Предыдущие расчеты показывают ^, что сложение и умножение ведут себя одинаково в R [ x ]/( x2 +1) и C. Фактически мы видим, что отображение между R [ x ] / ( x ² + 1) и C , заданное формулой a + bx → a + bi , является гомоморфизмом относительно сложения и умножения. Также очевидно, что отображение a + bx → a + bi одновременно инъективно и сюръективно ; это означает, что a + bx → a + bi является биективным гомоморфизмом, т. е. изоморфизмом . Отсюда следует, что, как утверждается: R [ x ] / ( x ² + 1) ≅ C .

В 1847 году Коши использовал этот подход для определения комплексных чисел. ^[1]

Кубический пример

Пусть K — поле рациональных чисел Q и p ( x ) = x ³ - 2 . Каждый корень из p равен ³ √ 2 кубическому корню из единицы . Поэтому, если мы обозначим кубические корни из единицы через

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

любое поле, содержащее два различных корня из p , будет содержать частное между двумя различными кубическими корнями из единицы. Такое частное представляет собой примитивный кубический корень из единицы — или или . Отсюда следует, что поле разложения L поля p будет содержать ω ₂ , а также вещественный кубический корень из 2; и наоборот , любое расширение Q , содержащее эти элементы, содержит все корни p . Таким образом ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$

${\displaystyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}}$

Обратите внимание, что, применяя к этому примеру процесс построения, описанный в предыдущем разделе, мы начинаем с построения поля . Это поле не является полем разбиения, но содержит один (любой) корень. Однако полином не является неприводимым по факту: ${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$ ${\displaystyle Y^{3}-2}$ ${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

Обратите внимание, что это не неопределенное число , а фактически элемент . Теперь, продолжая процесс, мы получаем , которое действительно является полем расщепления и натянуто на -базис . Обратите внимание: если мы сравним это с приведенным выше, мы можем определить и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle Y=\omega _{2}}$

Другие примеры

• Поле расщепления x ^q − x над F _p является единственным конечным полем F _q для q = p ⁿ . ^[2] Иногда это поле обозначается как GF( q ).

• Поле расщепления x ² + 1 над F ₇ равно F ₄₉ ; многочлен не имеет корней в F ₇ , т.е. −1 там не является квадратом , поскольку 7 не конгруэнтно 1 по модулю 4. ^[3]

• Поле расщепления x ² - 1 над F ₇ равно F ₇ , поскольку x ² - 1 = ( x + 1)( x - 1) уже распадается на линейные множители.

• Мы вычисляем поле расщепления f ( x ) = x3 + x + ¹ над F2 _. Легко проверить, что _f ( x ) не имеет корней в F2 ; следовательно, _f ( x ) неприводима в F2 [ x ]. Поместите r = x + ( f ( x )) в F ₂ [ x ]/( f ( x )) так, чтобы F ₂ ( r  ) было полем и x ³ + x + 1 = ( x + r )( x ² + топор + б ) в F ₂ ( р  )[ Икс ]. Обратите внимание, что мы можем написать + вместо −, поскольку характеристика равна двум. Сравнение коэффициентов показывает, что a = r и b = 1 + r ² . Элементы F ₂ ( r  ) можно перечислить как c + dr + er ² , где c , d , e находятся в F ₂ . Всего элементов восемь: 0, 1, r , 1 + r , r ² , 1 + r ² , r + r ² и 1 + r + r ² . Подставив их в x ² + rx + 1 + r ² , получим ( r ² ) ² + r ( r ² ) + 1 + r ² = r ⁴ + r ³ + 1 + r ² = 0, следовательно, x ³ + x + 1 = ( Икс + р )( Икс + р ² )( Икс + ( р + р ²)) для r в F ₂ [ x ]/( f ( x )); E = F ₂ ( r  ) является полем разложения x ³ + x + 1 над F ₂ .

Примечания

1. Коши, Огюстен-Луи (1847), «Mémoire sur la theorie des équivalences algébriques, substituée à la theorie des imaginaires», Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 24 : 1120–1130
2. Серр, Жан-Пьер . Курс арифметики .
3. Вместо того, чтобы применять эту характеристику нечетных простых модулей, для которых −1 является квадратом, можно просто проверить, что набор квадратов в F ₇ представляет собой набор классов 0, 1, 4 и 2, который не включает класс −1 ≡ 6.

Рекомендации

• Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-36857-1 . 
• «Поле расщепления многочлена», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Расщепляющееся поле». Математический мир .