Расширение поля

Построение большего алгебраического поля путем «добавления элементов» к меньшему полю

В математике , в частности в алгебре , расширение поля — это пара полей , таких, что операции K являются операциями L, ограниченными K. В этом случае L является полем расширения K , а K является подполем L. ^{[1] [2] [3]} Например , при обычных понятиях сложения и умножения комплексные числа являются полем расширения действительных чисел ; действительные числа являются подполем комплексных чисел. ${\displaystyle K\subseteq L}$

Расширения полей имеют основополагающее значение в алгебраической теории чисел и в изучении полиномиальных корней с помощью теории Галуа , а также широко используются в алгебраической геометрии .

Подполе

Подполе поля — это подмножество , которое является полем относительно операций поля, унаследованных от . Эквивалентно, подполе — это подмножество, которое содержит , и замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и взятия обратного ненулевого элемента из . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$

Поскольку 1 – 1 = 0 , последнее определение подразумевает и имеет один и тот же нулевой элемент. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Например, поле рациональных чисел является подполем действительных чисел , которое само является подполем комплексных чисел. В более общем смысле поле рациональных чисел является (или изоморфно ) подполем любого поля характеристики . ${\displaystyle 0}$

Характеристика подполя такая же , как и характеристика большего поля.

Расширение поля

Если K является подполем L , то L является полем расширения или просто расширением K , и эта пара полей является расширением поля . Такое расширение поля обозначается ( читается как « L над K »). ${\displaystyle L/K}$

Если L является расширением F , которое в свою очередь является расширением K , то F называется промежуточным полем (или промежуточным расширением или подрасширением ) . ${\displaystyle L/K}$

При заданном расширении поля большее поле L является векторным пространством K. Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается как . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle [L:K]}$

Степень расширения равна 1, если и только если оба поля равны. В этом случае расширение являетсятривиальное расширение . Расширения степени 2 и 3 называютсяквадратичными расширениямиикубическими расширениямисоответственно.Конечное расширение— это расширение, имеющее конечную степень.

При наличии двух расширений и расширение конечно тогда и только тогда, когда оба и конечны. В этом случае имеем ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle M/L}$ ${\displaystyle M/K}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle M/L}$

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

При наличии расширения поля и подмножества S из L существует наименьшее подполе L , содержащее K и S. Это пересечение всех подполей L , содержащих K и S , и обозначается как K ( S ) (читается как « K ${\displaystyle L/K}$ Присоединяйтесь к S"). Говорят, чтоK(S) — это поле, порожденноеSнадK, и чтоS— этопорождающее множествоK(S)надK. Когдаявляется конечным, пишутвместои говорят, чтоK(S)является ${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),}$конечно порождено над K. Если S состоит из одного элемента s , расширение K ( s ) / K называется простым расширением ^{[4] [5],} а s называется примитивным элементом расширения. ^[6]

Часто говорят , что поле расширения формы K ( S ) является результатомприсоединение SкK.^[7][⁸]

В характеристике 0 каждое конечное расширение является простым расширением. Это теорема о примитивном элементе , которая не верна для полей ненулевой характеристики.

Если простое расширение K ( s ) / K не конечно, то поле K ( s ) изоморфно полю рациональных дробей от s над K .

Предостережения

Обозначение L / K является чисто формальным и не подразумевает образование факторкольца или факторгруппы или любого другого вида деления. Вместо этого косая черта выражает слово «над». В некоторой литературе используется обозначение L : K.

Часто желательно говорить о расширениях полей в ситуациях, когда малое поле фактически не содержится в большем, но естественным образом вложено. Для этой цели абстрактно определяется расширение поля как инъективный кольцевой гомоморфизм между двумя полями. Каждый ненулевой кольцевой гомоморфизм между полями инъективен, поскольку поля не обладают нетривиальными собственными идеалами , поэтому расширения полей — это в точности морфизмы в категории полей .

В дальнейшем мы будем подавлять инъективный гомоморфизм и предполагать, что имеем дело с реальными подполями.

Примеры

Поле комплексных чисел является полем расширения поля действительных чисел , и в свою очередь является полем расширения поля рациональных чисел . Тогда ясно, что также является расширением поля. Мы имеем , поскольку является базисом, поэтому расширение конечно. Это простое расширение, поскольку ( мощность континуума ), поэтому это расширение бесконечно. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$ ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i).}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}}$

Поле

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

является полем расширения также, очевидно, простого расширения. Степень равна 2, поскольку может служить базисом. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$

Поле

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

является полем расширения обоих и степени 2 и 4 соответственно. Это также простое расширение, поскольку можно показать, что ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

Конечные расширения также называются алгебраическими числовыми полями и играют важную роль в теории чисел . Другое поле расширения рациональных чисел, которое также играет важную роль в теории чисел, хотя и не является конечным расширением, — это поле p-адических чисел для простого числа p . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Обычно поле расширения заданного поля K строится как фактор-кольцо кольца многочленов K [ X ] , чтобы «создать» корень для заданного многочлена f ( X ). Предположим, например, что K не содержит ни одного элемента x с x ² = −1. Тогда многочлен неприводим в K [ X ], следовательно, идеал , порожденный этим многочленом, является максимальным и является полем расширения K , которое содержит элемент, квадрат которого равен −1 (а именно, класс вычетов X ) . ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$

Повторяя приведенную выше конструкцию, можно построить поле расщепления любого многочлена из K [ X ]. Это поле расширения L многочлена K , в котором заданный многочлен расщепляется в произведение линейных множителей.

Если p — любое простое число , а n — положительное целое число, то существует единственное (с точностью до изоморфизма) конечное поле с p ⁿ элементами; это поле расширения простого поля с p элементами. ${\displaystyle GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Для данного поля K мы можем рассмотреть поле K ( X ) всех рациональных функций от переменной X с коэффициентами в K ; элементы K ( X ) являются дробями двух многочленов над K , и действительно K ( X ) является полем дробей кольца многочленов K [ X ]. Это поле рациональных функций является полем расширения K . Это расширение бесконечно.

Для данной римановой поверхности M множество всех мероморфных функций, определенных на M , является полем, обозначаемым через Оно является трансцендентным полем расширения, если мы отождествляем каждое комплексное число с соответствующей постоянной функцией, определенной на M. В более общем случае, для данного алгебраического многообразия V над некоторым полем K , поле функций K ( V ), состоящее из рациональных функций, определенных на V , является полем расширения K . ${\displaystyle \mathbb {C} (M).}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Алгебраическое расширение

Элемент x расширения поля является алгебраическим над K, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в K. Например, является алгебраическим над рациональными числами, поскольку является корнем Если элемент x из L является алгебраическим над K , то монический многочлен наименьшей степени, имеющий x в качестве корня , называется минимальным многочленом x . Этот минимальный многочлен неприводим над K. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$

Элемент s из L является алгебраическим над K тогда и только тогда, когда простое расширение K ( s ) / K является конечным расширением. В этом случае степень расширения равна степени минимального многочлена, а базис K - векторного пространства K ( s ) состоит из , где d - степень минимального многочлена. ${\displaystyle 1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},}$

Множество элементов L , алгебраических над K, образует подрасширение, которое называется алгебраическим замыканием K в L. Это следует из предыдущей характеристики: если s и t алгебраичны, то расширения K ( s ) / K и K ( s )( t ) / K ( s ) конечны. Таким образом, K ( s , t ) / K также конечно, как и подрасширения K ( s ± t ) / K , K ( st ) / K и K (1/ s ) / K (если s ≠ 0 ). Отсюда следует, что s ± t , st и 1/ s являются алгебраическими.

Алгебраическое расширение — это расширение, при котором каждый элемент L является алгебраическим над K. Эквивалентно, алгебраическое расширение — это расширение, которое порождается алгебраическими элементами. Например, является алгебраическим расширением , поскольку и являются алгебраическими над ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Простое расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно конечно. Это означает, что расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно является объединением своих конечных подрасширений, и что каждое конечное расширение является алгебраическим.

Каждое поле K имеет алгебраическое замыкание, которое с точностью до изоморфизма является наибольшим полем расширения K , которое является алгебраическим над K , а также наименьшим полем расширения, таким что каждый многочлен с коэффициентами в K имеет в нем корень. Например, является алгебраическим замыканием , но не алгебраическим замыканием , поскольку оно не является алгебраическим над (например, π не является алгебраическим над ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Трансцендентальное расширение

При заданном расширении поля подмножество S множества L называется алгебраически независимым над K , если среди элементов S не существует нетривиального полиномиального отношения с коэффициентами в K. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности L / K. Всегда можно найти множество S , алгебраически независимое над K , такое, что L / K ( S ) является алгебраическим. Такое множество S называется базисом трансцендентности L / K. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности расширения. Расширение называется ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$чисто трансцендентно тогда и только тогда, когда существует базис трансцендентностиSтакой, чтоL=K(S). Такое расширение обладает тем свойством, что все элементыL,за исключением элементовK,трансцендентны надK, но, однако, существуют расширения с этим свойством, которые не являются чисто трансцендентными — класс таких расширений принимает видL/K, где иL, иKалгебраически замкнуты. ${\displaystyle L/K}$

Если L / K является чисто трансцендентным, а S является базисом трансцендентности расширения, то это не обязательно означает, что L = K ( S ). Напротив, даже если известен базис трансцендентности, может быть трудно решить, является ли расширение чисто отделимым, и если это так, может быть трудно найти базис трансцендентности S такой, что L = K ( S ).

Например, рассмотрим расширение , где является трансцендентным над и является корнем уравнения Такое расширение можно определить как в , в котором и являются классами эквивалентности и Очевидно, что одноэлементное множество является трансцендентным над , а расширение является алгебраическим; следовательно, является базисом трансцендентности , который не порождает расширение . Аналогично, является базисом трансцендентности , который не порождает все расширение. Однако расширение является чисто трансцендентным, поскольку, если одно множество имеет и и , таким образом, порождает все расширение. ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle t=y/x,}$ ${\displaystyle x=t^{2}}$ ${\displaystyle y=t^{3},}$ ${\displaystyle t}$

Чисто трансцендентные расширения алгебраически замкнутого поля возникают как функциональные поля рациональных многообразий . Проблема нахождения рациональной параметризации рационального многообразия эквивалентна проблеме нахождения базиса трансцендентности, который порождает все расширение.

Нормальные, отделимые и расширения Галуа

Алгебраическое расширение называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен из K [ X ], имеющий корень в L, полностью разлагается на линейные множители над L. Каждое алгебраическое расширение F / K допускает нормальное замыкание L , которое является полем расширения F таким, что является нормальным и которое минимально с этим свойством. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$

Алгебраическое расширение называется отделимым, если минимальный многочлен каждого элемента L над K отделим , т. е. не имеет повторных корней в алгебраическом замыкании над K. Расширение Галуа — это расширение поля , которое является как нормальным, так и отделимым. ${\displaystyle L/K}$

Следствие теоремы о примитивном элементе гласит, что каждое конечное отделимое расширение имеет примитивный элемент (т.е. является простым).

Для любого расширения поля можно рассмотреть его группу автоморфизмов , состоящую из всех автоморфизмов поля α : L → L с α ( x ) = x для всех x из K . Когда расширение является группой Галуа, эта группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения. Расширения, группа Галуа которых абелева, называются абелевыми расширениями . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K)}$

Для заданного расширения поля часто интересуют промежуточные поля F (подполя L , содержащие K ). Значимость расширений Галуа и групп Галуа заключается в том, что они позволяют полностью описать промежуточные поля: существует биекция между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа, описываемая фундаментальной теоремой теории Галуа . ${\displaystyle L/K}$

Обобщения

Расширения полей можно обобщить до расширений колец , которые состоят из кольца и одного из его подколец . Более близким некоммутативным аналогом являются центральные простые алгебры (CSA) — расширения колец над полем, которые являются простой алгеброй (нет нетривиальных 2-сторонних идеалов, как и для поля) и где центр кольца — это в точности поле. Например, единственным конечным расширением поля действительных чисел являются комплексные числа, в то время как кватернионы являются центральной простой алгеброй над действительными числами, и все CSA над действительными числами эквивалентны по Брауэру действительным числам или кватернионам. CSA можно дополнительно обобщить до алгебр Адзумая , где базовое поле заменено коммутативным локальным кольцом .

Расширение скаляров

При наличии расширения поля можно « расширить скаляры » на ассоциированные алгебраические объекты. Например, при наличии действительного векторного пространства можно создать комплексное векторное пространство с помощью комплексификации . В дополнение к векторным пространствам можно выполнить расширение скаляров для ассоциативных алгебр, определенных над полем, таких как многочлены или групповые алгебры и ассоциированные представления групп . Расширение скаляров многочленов часто используется неявно, просто рассматривая коэффициенты как элементы большего поля, но может также рассматриваться более формально. Расширение скаляров имеет многочисленные приложения, как обсуждается в расширении скаляров: приложения .

Смотрите также

• Теория поля
• Глоссарий теории поля
• Башня полей
• Первичное расширение
• Регулярное продление

Примечания

1. Фрейли (1976, стр. 293)
2. Херштейн (1964, стр. 167)
3. Маккой (1968, стр. 116)
4. Фрейли (1976, стр. 298)
5. Херштейн (1964, стр. 193)
6. Фрейли (1976, стр. 363)
7. Фрейли (1976, стр. 319)
8. Херштейн (1964, стр. 169)

Ссылки

• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Херштейн, IN (1964), Топики по алгебре , Уолтем: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (Исправленное четвертое издание, пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
• Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, пересмотренное издание , Бостон: Allyn and Bacon , LCCN  68015225

Внешние ссылки

• «Расширение поля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]