Максимальный идеал

В математике , точнее в теории колец , максимальный идеал — это идеал , который является максимальным (относительно включения множества ) среди всех собственных идеалов. ^[1]^[2] Другими словами, I — максимальный идеал кольца R , если между I и R нет других идеалов .

Максимальные идеалы важны, поскольку факторы колец по максимальным идеалам являются простыми кольцами , а в частном случае коммутативных колец с единицей они также являются полями .

В некоммутативной теории колец максимальный правый идеал определяется аналогично как максимальный элемент в частично упорядоченном множестве собственных правых идеалов, и аналогично максимальный левый идеал определяется как максимальный элемент частично упорядоченного множества собственных левых идеалов. Поскольку односторонний максимальный идеал A не обязательно является двусторонним, фактор R / A не обязательно является кольцом, но является простым модулем над R. Если R имеет единственный максимальный правый идеал, то R известен как локальное кольцо , а максимальный правый идеал также является единственным максимальным левым и единственным максимальным двусторонним идеалом кольца и фактически является радикалом Джекобсона J( R ).

Кольцо может иметь единственный максимальный двусторонний идеал и при этом не иметь уникальных максимальных односторонних идеалов: например, в кольце квадратных матриц 2 на 2 над полем нулевой идеал является максимальным двусторонним идеалом. идеал, но существует много максимальных правых идеалов.

Определение

Существуют и другие эквивалентные способы выражения определения максимальных односторонних и максимальных двусторонних идеалов. Учитывая кольцо R и собственный идеал I кольца R (то есть I ≠ R ), я является максимальным идеалом кольца R , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

Не существует другого собственного идеала J кольца R такого, что I ⊊ J .
Для любого идеала J , для которого I ⊆ J , либо J = I , либо J = R.
Факторкольцо R / I является простым кольцом.

Аналогичный список имеется и для односторонних идеалов, для которых будут даны только правые варианты. Для правого идеала A кольца R следующие условия эквивалентны тому, что A является максимальным правым идеалом кольца R :

Не существует другого собственного правого идеала B кольца R такого, что A ⊊ B .
Для любого правого идеала B такого, что A ⊆ B , либо B = A , либо B = R.
Фактормодуль R / A является простым правым R -модулем.

Максимальные правые/левые/двусторонние идеалы — это понятие, двойственное понятию минимальных идеалов .

Примеры

Если F — поле, то единственный максимальный идеал — это {0}.
В кольце целых чисел Z максимальные идеалы — это главные идеалы , порожденные простым числом.
В более общем смысле, все ненулевые простые идеалы максимальны в области главных идеалов .
Идеал является максимальным идеалом в кольце . Как правило, максимальные идеалы имеют вид где – простое число и – многочлен, в котором неприводимо по модулю . $(2,x)$ $\mathbb {Z} [x]$ $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle (p, f (x))}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f (x)}$ $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle p}$
Каждый простой идеал является максимальным идеалом в булевом кольце, т. е. кольце, состоящем только из идемпотентных элементов. Фактически, каждый простой идеал является максимальным в коммутативном кольце, если существует целое число такое, что для любого . $R$ $n>1$ $x^{n}=x$ $x\in R$
Максимальные идеалы кольца многочленов — это главные идеалы, порожденные для некоторого . $\mathbb {C} [x]$ $хс$ $c\in \mathbb {C}$
В более общем смысле, максимальные идеалы кольца полиномов K [ x ₁ , ..., x _n ] над алгебраически замкнутым полем K - это идеалы вида ( x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n ) . Этот результат известен как слабый Nullstellensatz .

Характеристики

Важный идеал кольца, называемый радикалом Джекобсона, можно определить с помощью максимальных правых (или максимальных левых) идеалов.
Если R — коммутативное кольцо с единицей с идеалом m , то k = R / m — поле тогда и только тогда, когда m — максимальный идеал. В этом случае R / m называется полем вычетов . Этот факт может не соответствовать действительности в неединичных кольцах. Например, является максимальным идеалом в , но не является полем. $4\mathbb {Z}$ $2\mathbb {Z}$ $2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$
Если L — максимальный левый идеал, то R / L — простой левый R -модуль. Обратно, в кольцах с единицей таким образом возникает любой простой левый R -модуль. Между прочим, это показывает, что совокупность представителей простых левых R -модулей на самом деле является множеством, поскольку ей можно поставить в соответствие часть множества максимальных левых идеалов R .
Теорема Крулла (1929 г.): каждое ненулевое кольцо с единицей имеет максимальный идеал. Результат также верен, если «идеал» заменить на «правый идеал» или «левый идеал». В более общем смысле верно, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет максимальный подмодуль. Предположим, что I — идеал, не являющийся R (соответственно, A — правый идеал, не являющийся R ). Тогда R / I — кольцо с единицей (соответственно R / A — конечно порожденный модуль), и поэтому приведенные выше теоремы можно применить к фактору и заключить, что существует максимальный идеал (соответственно максимальный правый идеал) кольца R содержащий I (соответственно A ).
Теорема Крулла может не работать для колец без единицы. Радикальное кольцо , т. е. кольцо, в котором радикалом Джекобсона является все кольцо, не имеет простых модулей и, следовательно, не имеет максимальных правых или левых идеалов. См. обычные идеалы , чтобы узнать возможные способы обойти эту проблему.
В коммутативном кольце с единицей каждый максимальный идеал является простым идеалом . Обратное не всегда верно: например, в любой неполевой области целостности нулевой идеал является простым идеалом, который не является максимальным. Коммутативные кольца, в которых простые идеалы максимальны, известны как нульмерные кольца , где используемая размерность — это размерность Крулля .
Максимальный идеал некоммутативного кольца может не быть простым в коммутативном смысле. Например, пусть – кольцо всех матриц над . Это кольцо имеет максимальный идеал для любого простого числа , но это не простой идеал, так как (в случае ) и не находятся в , но . Однако максимальные идеалы некоммутативных колец просты в обобщенном смысле, приведенном ниже. $M_{n\times n}(\mathbb {Z})$ $n\times n$ $\mathbb {Z}$ $M_{n\times n}(p\mathbb {Z})$ ${\ displaystyle p}$ $n=2$ $A={\text{diag}}(1,p)$ $B={\text{diag}}(p,1)$ $M_{n\times n}(p\mathbb {Z})$ $AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z})$

Обобщение

Для R -модуля A максимальным подмодулем M модуля A является подмодуль M ≠ A, удовлетворяющий тому свойству, что для любого другого подмодуля N из M ⊆ N ⊆ A следует N = M или N = A. Эквивалентно, M является максимальным подмодулем тогда и только тогда, когда фактор-модуль A / M является простым модулем . Максимальные правые идеалы кольца R являются в точности максимальными подмодулями модуля R _R .

В отличие от колец с единицей, ненулевой модуль не обязательно имеет максимальные подмодули. Однако, как отмечалось выше, конечно порожденные ненулевые модули имеют максимальные подмодули, а также проективные модули имеют максимальные подмодули.

Как и в случае с кольцами, радикал модуля можно определить с помощью максимальных подмодулей. Более того, максимальные идеалы можно обобщить , определив максимальный подбимодуль M бимодуля B как собственный подбимодуль M , который не содержится ни в одном другом собственном подбимодуле M . Тогда максимальные идеалы R являются в точности максимальными подбимодулями бимодуля _R R _R .

Смотрите также