Основная идеальная область

Алгебраическая структура

В математике область главных идеалов , или PID , представляет собой целую область , в которой каждый идеал является главным , то есть может быть порожден одним элементом. В более общем смысле, кольцо главных идеалов — это ненулевое коммутативное кольцо , идеалы которого являются главными, хотя некоторые авторы (например, Бурбаки ) называют PID главными кольцами. Отличие состоит в том, что кольцо главных идеалов может иметь делители нуля, а область главных идеалов — нет.

Таким образом, основные идеальные области представляют собой математические объекты, которые ведут себя примерно как целые числа в отношении делимости : любой элемент PID имеет уникальное разложение на простые элементы (поэтому сохраняется аналог фундаментальной теоремы арифметики ); любые два элемента ПИДа имеют наибольший общий делитель (хотя найти его с помощью алгоритма Евклида может оказаться невозможно ). Если x и y являются элементами PID без общих делителей, то каждый элемент PID можно записать в виде ax + by .

Области главных идеалов нётеровы , целозамкнуты , являются областями уникальной факторизации и дедекиндовыми областями . Все евклидовы области и все поля являются областями главных идеалов.

Главные идеальные области появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Примеры

Примеры включают в себя:

• ${\displaystyle K}$: любое поле ,
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: кольцо целых чисел , ^[1]
• ${\displaystyle K[x]}$: кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле. (Обратное также верно, т. е. если это PID, то это поле.) Кроме того, кольцо формальных степенных рядов от одной переменной над полем является PID , поскольку каждый идеал имеет вид ${\displaystyle A[x]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x^{k})}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$: кольцо гауссовских целых чисел , ^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$(где примитивный кубический корень из 1): целые числа Эйзенштейна , ${\displaystyle \omega }$
• Любое кольцо дискретного нормирования , например кольцо p -адических целых чисел . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Непримеры

Примеры целостных доменов, не являющихся PID:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}$является примером кольца, которое не является уникальной областью факторизации , поскольку , следовательно, оно не является областью главного идеала, поскольку области главных идеалов являются уникальными областями факторизации. Кроме того, это идеал, который не может быть порожден одним элементом. ${\displaystyle 4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).}$ ${\displaystyle \langle 2,1+{\sqrt {-3}}\rangle }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$: кольцо всех многочленов с целыми коэффициентами. Оно не является принципиальным, поскольку является идеалом, который не может быть порожден одним полиномом. ${\displaystyle \langle 2,x\rangle }$
• ${\displaystyle K[x,y,\ldots ],}$ кольцо многочленов не менее чем от двух переменных над кольцом K не является главным, поскольку идеал не является главным. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$
• Большинство колец целых алгебраических чисел не являются областями главных идеалов. Это одна из основных причин, лежащих в основе определения Дедекиндова области Дедекинда , которое позволяет заменить уникальную факторизацию элементов уникальной факторизацией идеалов. В частности, многие из примитивных корней p-й степени из единицы не являются областями главного идеала. ^[3] Номер класса кольца целых алгебраических чисел дает меру того, «насколько далеко» кольцо находится от области главного идеала. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}],}$ ${\displaystyle \zeta _{p},}$

Модули

Ключевым результатом является структурная теорема: если R — область главных идеалов, а M — конечно порожденный R -модуль, то он является прямой суммой циклических модулей, т. е. модулей с одним образующим. Циклические модули изоморфны для некоторого ^[4] (обратите внимание, что оно может быть равно , в этом случае равно ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle R}$

Если M — свободный модуль над областью главных идеалов R , то каждый подмодуль M снова свободен. ^[5] Это не справедливо для модулей над произвольными кольцами, как показывает пример модулей над . ${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Характеристики

В области главного идеала любые два элемента a , b имеют наибольший общий делитель , который можно получить как генератор идеала ( a , b ) .

Все евклидовы области являются областями главных идеалов, но обратное неверно. Примером области главного идеала, которая не является евклидовой областью, является кольцо , ^{[6] [7]} это было доказано Теодором Моцкиным и было первым известным случаем. ^[8] В этой области не существует q и r , причем 0 ≤ | р | < 4 , так что , несмотря на наличие наибольшего общего делителя 2 . ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$ ${\displaystyle 4}$

Каждая область главного идеала является уникальной областью факторизации (UFD). ^{[9] [10] [11] [12]} Обратное неверно, поскольку для любого UFD K кольцо K [ X , Y ] полиномов от 2 переменных является UFD, но не PID. (Чтобы доказать это, рассмотрим идеал, порожденный кольцом Оно не является всем кольцом, поскольку оно не содержит многочленов степени 0, но оно не может быть порождено каким-либо одним элементом.) ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle .}$

1. Каждая область главных идеалов нётерова .
2. Во всех кольцах с единицей максимальные идеалы просты . В областях главных идеалов справедливо обратное: каждый ненулевой простой идеал максимален.
3. Все области главных идеалов целозамкнуты .

Предыдущие три утверждения дают определение дедекиндовой области , и, следовательно, каждая область главного идеала является дедекиндовой областью.

Пусть A — область целостности. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. A — это PID.
2. Каждый простой идеал кольца A является главным. ^[13]
3. A — дедекиндовский домен, являющийся UFD.
4. Каждый конечно порожденный идеал A является главным (т. е. A является областью Безу ), и A удовлетворяет условию возрастающей цепи на главных идеалах .
5. A допускает норму Дедекинда–Хассе . ^[14]

Любая евклидова норма является нормой Дедекинда-Хассе; таким образом, (5) показывает, что евклидов домен является PID. (4) по сравнению с:

• Область целостности является UFD тогда и только тогда, когда она является областью НОД (т. е. областью, в которой каждые два элемента имеют наибольший общий делитель), удовлетворяющей условию возрастающей цепи на главных идеалах.

Область целостности является областью Безу тогда и только тогда, когда любые два элемента в ней имеют НОД , который является линейной комбинацией этих двух. Таким образом, домен Безу является доменом НОД, и (4) дает еще одно доказательство того, что PID является UFD.

Смотрите также

• Личность Безу

Примечания

1. См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 73, следствие теоремы 1.7, и примечания на с. 369, после следствия теоремы 7.2
2. См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 385, теорема 7.8 и с. 377, Теорема 7.4.
3. Милн, Джеймс . «Алгебраическая теория чисел» (PDF) . п. 5.
4. См. также Рибенбойм (2001), с. 113, доказательство леммы 2.
5. Лекция 1. Подмодули бесплатных модулей по PID math.sc.edu Проверено 31 марта 2023 г.
6. Уилсон, Джек К. «Основное кольцо, которое не является евклидовым кольцом». Математика. Маг 46 (январь 1973 г.) 34–38 [1]
7. Джордж Бергман, Основная идеальная область, которая не является евклидовой - разработана как серия упражнений. Файл PostScript.
8. Моцкин, Т. (декабрь 1949 г.). «Алгоритм Евклида». Бюллетень Американского математического общества . 55 (12): 1142–1146. ISSN  0002-9904.
9. Доказательство: каждый простой идеал порождается одним элементом, который обязательно является простым. Теперь обратимся к тому, что область целостности является УФО тогда и только тогда, когда ее простые идеалы содержат простые элементы.
10. Джейкобсон (2009), с. 148, теорема 2.23.
11. Фрели и Кац (1967), с. 368, Теорема 7.2.
12. Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.166, Теорема 7.2.1.
13. «ТИ Лам и Мануэль Л. Рейес, основной идеальный принцип в коммутативной алгебре» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2010 года . Проверено 31 марта 2023 г.
14. Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.170, предложение 7.3.3.

Рекомендации

• Михил Хазевинкель , Надежда Губарени, В.В. Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Kluwer Academic Publishers , 2004. ISBN 1-4020-2690-0. 
• Джон Б. Фрели, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры . Издательство Аддисон-Уэсли. 5-е изд., 1967. ISBN 0-201-53467-3. 
• Натан Джейкобсон . Основная алгебра И. Дувр, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1 . 
• Пауло Рибенбойм. Классическая теория алгебраических чисел . Спрингер, 2001. ISBN 0-387-95070-2. 

Внешние ссылки

• Главное кольцо MathWorld