Нормальное расширение

Расширение алгебраического поля

В абстрактной алгебре нормальное расширение — это алгебраическое расширение поля L / K , для которого каждый неприводимый многочлен над K , имеющий корень в L, разлагается на линейные множители в L. ^{[1] [2]} Это одно из условий того, чтобы алгебраическое расширение было расширением Галуа . Бурбаки называет такое расширение квази-расширением Галуа . Для конечных расширений нормальное расширение идентично полю расщепления .

Определение

Пусть будет алгебраическим расширением (т.е. L является алгебраическим расширением K ), таким, что (т.е. L содержится в алгебраическом замыкании K ) . Тогда следующие условия, любое из которых можно рассматривать как определение нормального расширения , эквивалентны: ^[3] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$

• Каждое вложение L в над K индуцирует автоморфизм L .​​ ${\displaystyle {\overline {K}}}$
• L — поле разложения семейства многочленов от . ${\displaystyle K[X]}$
• Каждый неприводимый многочлен , имеющий корень в L, разлагается на линейные множители в L . ${\displaystyle K[X]}$

Другие свойства

Пусть L — расширение поля K. Тогда:

• Если L является нормальным расширением K и если E является промежуточным расширением ( то есть L  ⊇  E  ⊇  K ), то L является нормальным расширением E. ^[4]
• Если E и F являются нормальными расширениями K, содержащимися в L , то композитум EF и E  ∩  F также являются нормальными расширениями K. ^[4]

Эквивалентные условия нормальности

Пусть будет алгебраическим. Поле L является нормальным расширением тогда и только тогда, когда выполняется любое из эквивалентных условий ниже. ${\displaystyle L/K}$

• Минимальный многочлен над K каждого элемента из L распадается в L ;
• Существует набор многочленов, каждый из которых расщепляется над L , так что если являются полями, то S имеет многочлен, который не расщепляется над F ; ${\displaystyle S\subseteq K[x]}$ ${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$
• Все гомоморфизмы , фиксирующие все элементы K, имеют один и тот же образ; ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$
• Группа автоморфизмов L, фиксирующих все элементы K , действует транзитивно на множестве гомоморфизмов , фиксирующих все элементы K. ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K),}$ ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$

Примеры и контрпримеры

Например, является нормальным расширением , поскольку является полем расщепления С другой стороны, не является нормальным расширением , поскольку неприводимый многочлен имеет в нем один корень (а именно, ), но не все из них (он не имеет недействительных кубических корней из 2). Напомним, что поле алгебраических чисел является алгебраическим замыканием и, таким образом, оно содержит Пусть будет примитивным кубическим корнем из единицы. Тогда, поскольку, отображение является вложением в , ограничение на которого является единицей. Однако, не является автоморфизмом ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Для любого простого числа расширение нормально степени Это поле расщепления Здесь обозначает любой первообразный корень из единицы . Поле является нормальным замыканием (см. ниже) ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$ ${\displaystyle p(p-1).}$ ${\displaystyle x^{p}-2.}$ ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Нормальное закрытие

Если K — поле, а L — алгебраическое расширение K , то существует некоторое алгебраическое расширение M поля L, такое что M — нормальное расширение K. Более того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое расширение, которое является минимальным, то есть единственным подполем поля M , содержащим L и являющимся нормальным расширением K, является само M. Это расширение называется нормальным замыканием расширения L поля K.

Если L является конечным расширением K , то его нормальное замыкание также является конечным расширением.

Смотрите также

• расширение Галуа
• Нормальная основа

Цитаты

1. Лэнг 2002, стр. 237, Теорема 3.3, NOR 3.
2. Якобсон 1989, стр. 489, раздел 8.7.
3. Лэнг 2002, стр. 237, Теорема 3.3.
4. Lang 2002, стр. 238, Теорема 3.4.

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556
• Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, МР  1009787