Трансцендентальное расширение

Расширение поля, которое не является алгебраическим

В математике трансцендентное расширение — это расширение поля , такое, что в поле существует элемент , который является трансцендентным над полем ; то есть элемент, который не является корнем любого одномерного многочлена с коэффициентами в . Другими словами, трансцендентное расширение — это расширение поля, которое не является алгебраическим . Например, и являются трансцендентными расширениями ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Базис трансцендентности расширения поля (или базис трансцендентности над ) — это максимальное алгебраически независимое подмножество над Базисы трансцендентности имеют много общих свойств с базисами векторных пространств . В частности, все базисы трансцендентности расширения поля имеют одинаковую мощность , называемую степенью трансцендентности расширения. Таким образом, расширение поля является трансцендентным расширением тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности ненулевая. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K.}$

Трансцендентные расширения широко используются в алгебраической геометрии . Например, размерность алгебраического многообразия — это степень трансцендентности его поля функций . Кроме того, глобальные поля функций являются трансцендентными расширениями степени один конечного поля и играют в теории чисел в положительной характеристике роль, которая очень похожа на роль полей алгебраических чисел в нулевой характеристике.

Основа трансцендентности

Лемма Цорна показывает, что существует максимальное линейно независимое подмножество векторного пространства (т. е. базис). Аналогичное рассуждение с леммой Цорна показывает, что для заданного расширения поля L / K существует максимальное алгебраически независимое подмножество L над K. ^[1] Тогда оно называется базисом трансцендентности . По максимальности алгебраически независимое подмножество S из L над K является базисом трансцендентности тогда и только тогда, когда L является алгебраическим расширением K ( S ), поля, полученного присоединением элементов из S к K.

Лемма обмена (версия для алгебраически независимых множеств ^[2] ) подразумевает, что если S и S' являются базисами трансцендентности, то S и S' имеют одинаковую мощность . Тогда общая мощность базисов трансцендентности называется степенью трансцендентности L над K и обозначается как или . Таким образом, существует аналогия: базис трансцендентности и степень трансцендентности, с одной стороны, и базис и размерность , с другой стороны. Эту аналогию можно сделать более формальной, заметив, что линейная независимость в векторных пространствах и алгебраическая независимость в расширениях полей образуют примеры финитарных матроидов ( предгеометрий ). Любой финитарный матроид имеет базис, и все базисы имеют одинаковую мощность. ^[3] ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L}$ ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} (L/K)}$

Если G является порождающим множеством L (т.е. L = K ( G )), то базис трансцендентности для L может быть взят как подмножество G . Таким образом, минимальная мощность порождающих множеств L над K . В частности, конечно порожденное расширение поля допускает конечный базис трансцендентности. ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq }$

Если поле K не указано, степенью трансцендентности поля L называется его степень относительно некоторого фиксированного базового поля ; например, простого поля той же характеристики , или K , если L — поле алгебраических функций над K.

Расширение поля L / K является чисто трансцендентным , если существует подмножество S поля L , которое алгебраически независимо над K и такое, что L = K ( S ).

Разделяющий базис трансцендентности L / K — это базис трансцендентности S такой, что L — разделяемое алгебраическое расширение над K ( S ). Расширение поля L / K называется разделяемо порожденным , если оно допускает разделяющий базис трансцендентности. ^[4] Если расширение поля конечно порождено и оно также разделяемо порождено, то каждое порождающее множество расширения поля содержит разделяющий базис трансцендентности. ^[5] Над совершенным полем каждое конечно порожденное расширение поля является разделяемо порожденным; т. е. оно допускает конечный разделяющий базис трансцендентности. ^[6]

Примеры

• Расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности равна 0; пустое множество служит здесь базисом трансцендентности.
• Поле рациональных функций от n переменных K ( x ₁ ,..., x _n ) (т. е. поле дробей кольца многочленов K [ x 1 _, ..., x _n ]) является чисто трансцендентным расширением со степенью трансцендентности n над K ; например, мы можем взять { x ₁ ,..., x _n } в качестве базы трансцендентности.
• В более общем случае степень трансцендентности поля функций L n -мерного алгебраического многообразия над основным полем K равна n .
• Q ( √2 , e ) имеет степень трансцендентности 1 над Q , поскольку √2 является алгебраическим числом , а e — трансцендентным числом .
• Степень трансцендентности C или R над Q — это мощность континуума . (Поскольку Q счетно, поле Q ( S ) будет иметь ту же мощность, что и S для любого бесконечного множества S , и любое алгебраическое расширение Q ( S ) снова будет иметь ту же мощность.)
• Степень трансцендентности Q ( e , π ) над Q равна либо 1, либо 2; точный ответ неизвестен, поскольку неизвестно, являются ли e и π алгебраически независимыми (см. гипотезу Шануэля ).
• Если S — компактная риманова поверхность , то поле C ( S ) мероморфных функций на S имеет степень трансцендентности 1 над C.

Факты

Если M / L и L / K являются расширениями поля, то

трдег( М / К ) = трдег( М / Л ) + трдег( Л / К )

Это доказывается путем демонстрации того, что базис трансцендентности M / K может быть получен путем объединения базиса трансцендентности M / L и базиса трансцендентности L / K .

Если множество S алгебраически независимо над K, то поле K ( S ) изоморфно полю рациональных функций над K от множества переменных той же мощности, что и S. Каждая такая рациональная функция является дробью двух многочленов от конечного числа этих переменных с коэффициентами в K.

Два алгебраически замкнутых поля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую характеристику и одинаковую степень трансцендентности над своим простым полем. ^[7]

Степень трансцендентности целостной области

Пусть — области целостности . Если и обозначают поля долей A и B , то степень трансцендентности B над A определяется как степень трансцендентности расширения поля ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle Q(A)}$ ${\displaystyle Q(B)}$ ${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

Из леммы Нётер о нормализации следует, что если R — область целостности, которая является конечно порожденной алгеброй над полем k , то размерность Крулля R — это степень трансцендентности R над k .

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию: если X — аффинное алгебраическое многообразие над полем k , то размерность Крулля его координатного кольца равна степени трансцендентности его функционального поля , и это определяет размерность X. Отсюда следует, что если X не является аффинным многообразием, его размерность (определяемая как степень трансцендентности его функционального поля) также может быть локально определена как размерность Крулля координатного кольца ограничения многообразия на открытое аффинное подмножество.

Отношения к дифференциалам

Пусть — конечно порожденное расширение поля. Тогда ^[8] ${\displaystyle K/k}$

${\displaystyle \dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).}$

где обозначает модуль дифференциалов Кэлера . Кроме того, в приведенном выше равенство выполняется тогда и только тогда, когда K разделимо порождается над k (то есть допускает разделяющий базис трансцендентности). ${\displaystyle \Omega _{K/k}}$

Приложения

Базисы трансцендентности полезны для доказательства различных утверждений о существовании гомоморфизмов полей . Вот пример: для заданных алгебраически замкнутого поля L , подполя K и автоморфизма поля f поля K существует автоморфизм поля L , который расширяет f (т.е. ограничение которого на K равно f ). Для доказательства начинаем с базиса трансцендентности S поля L / K . Элементы K ( S ) являются просто частными многочленов по элементам S с коэффициентами в K ; поэтому автоморфизм f можно расширить до одного из K(S), отправив каждый элемент S в себя. Поле L является алгебраическим замыканием K ( S ) , а алгебраические замыкания единственны с точностью до изоморфизма ; это означает, что автоморфизм можно расширить с K ( S ) на L.

В качестве другого приложения мы показываем, что существует (много) собственных подполей поля комплексных чисел C , которые (как поля) изоморфны C. Для доказательства возьмем базис трансцендентности S множества C / Q. S — бесконечное (даже несчетное) множество, поэтому существует (много) отображений f : S → S , которые инъективны , но не сюръективны . Любое такое отображение можно расширить до гомоморфизма полей Q ( S ) → Q ( S ), который не является сюръективным. Такой гомоморфизм полей, в свою очередь, можно расширить до алгебраического замыкания C , и полученные гомоморфизмы полей C → C не являются сюръективными.

Степень трансцендентности может дать интуитивное понимание размера поля. Например, теорема Зигеля утверждает , что если X — компактное, связное, комплексное многообразие размерности n , а K ( X ) обозначает поле (глобально определенных) мероморфных функций на нем, то trdeg _C ( K ( X )) ≤  n .

Смотрите также

• Теорема Люрота , теорема о чисто трансцендентных расширениях первой степени
• Регулярное продление

Ссылки

1. Милн, Теорема 9.13.
2. Милн, Лемма 9.6.
3. Джоши, КД (1997), Прикладные дискретные структуры, New Age International, стр. 909, ISBN 9788122408263.
4. Hartshorne 1977, Ch I, § 4, непосредственно перед теоремой 4.7.A
5. Хартсхорн 1977, Гл. I, Теорема 4.7.A
6. Милн, Теорема 9.27.
7. Милн, Предложение 9.16.
8. Хартсхорн 1977, Гл. II, Теорема 8.6. A

• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Милн, Джеймс, Теория поля (PDF)
• § 6.3. Шимуры, Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации Математического общества Японии, т. 11, Токио: Iwanami Shoten, Zbl  0221.10029