Математическая группа
В математике , в области абстрактной алгебры , известной как теория Галуа , группа Галуа определенного типа расширения поля — это определенная группа , связанная с расширением поля. Изучение расширений полей и их связи с полиномами , которые их порождают, через группы Галуа, называется теорией Галуа , названной так в честь Эвариста Галуа , который первым их открыл.
Более элементарное обсуждение групп Галуа в терминах групп подстановок см. в статье о теории Галуа .
Определение
Предположим, что это расширение поля ( записанное и прочитанное как « E над F »). Автоморфизм определяется как автоморфизм, который фиксируется поточечно . Другими словами, автоморфизм — это такой изоморфизм , что для каждого . Множество всех автоморфизмов образует группу с операцией композиции функций . Эту группу иногда обозначают
![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha:E\to E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \альфа (х) = х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если расширение Галуа , то называется группой Галуа и обычно обозначается . [1]![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Гал} (E/F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если не является расширением Галуа, то группа Галуа иногда определяется как , где – замыкание Галуа .![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Группа Галуа многочлена
Другое определение группы Галуа исходит из группы Галуа многочлена . Если существует поле такое, что факторизуется как произведение линейных многочленов![{\displaystyle е\in F[x]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
над полем , то группа Галуа многочлена определяется как группа Галуа где минимальна среди всех таких полей.
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Структура групп Галуа
Основная теорема теории Галуа
Одна из важных структурных теорем теории Галуа вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа . Это утверждает, что при конечном расширении Галуа существует биекция между набором подполей и подгрупп . Тогда задается набором инвариантов относительно действия , поэтому![{\displaystyle K/k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\subset E\subset K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H\subset G.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{где }}g\in H\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Более того, если – нормальная подгруппа , то . И наоборот, если это нормальное расширение поля, то соответствующая подгруппа в является нормальной группой.![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Гал} (К/к)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Решетчатая структура
Предположим , являются расширениями Галуа с группами Галуа. Поле с группой Галуа имеет инъекцию , которая является изоморфизмом всякий раз, когда . [2]![{\displaystyle K_{1},K_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G_{1},G_{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K_{1}K_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G=\operatorname {Гал} (K_{1}K_{2}/k)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Индукция
Как следствие, это можно ввести конечное число раз. Даны расширения Галуа , где существует изоморфизм соответствующих групп Галуа:![{\displaystyle K_{1},\ldots,K_{n}/k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_ {n}/k).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
В следующих примерах — поле, а — поля комплексных , действительных и рациональных чисел соответственно. Обозначение F ( a ) указывает на расширение поля, полученное присоединением элемента a к полю F.![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C},\mathbb {R},\mathbb {Q}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вычислительные инструменты
Мощность группы Галуа и степень расширения поля
Одним из основных предложений, необходимых для полного определения групп Галуа [3] конечного расширения поля, является следующее: Пусть полином - его расширение поля расщепления. Тогда порядок группы Галуа равен степени расширения поля; то есть,![{\ displaystyle f (x) \ in F [x]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Критерий Эйзенштейна
Полезным инструментом для определения группы Галуа многочлена является критерий Эйзенштейна . Если полином разлагается на неприводимые многочлены, группа Галуа может быть определена с использованием групп Галуа каждого, поскольку группа Галуа содержит каждую из групп Галуа![{\displaystyle е\in F[x]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{i}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тривиальная группа
— тривиальная группа, имеющая единственный элемент, а именно тождественный автоморфизм.
Другой пример тривиальной группы Галуа: Действительно , можно показать, что любой автоморфизм группы должен сохранять порядок действительных чисел и, следовательно, должен быть тождественным.![{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Рассмотрим поле. Группа содержит только тождественный автоморфизм. Это потому, что это не нормальное расширение , поскольку два других кубических корня![{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и![{\displaystyle \exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
отсутствуют в расширении — другими словами, K не является полем разложения .
Конечные абелевы группы
Группа Галуа состоит из двух элементов: тождественного автоморфизма и автоморфизма комплексного сопряжения . [4]![{\displaystyle \operatorname {Гал} (\mathbb {C} /\mathbb {R})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Квадратичные расширения
Расширение поля степени два имеет группу Галуа с двумя элементами: тождественным автоморфизмом и автоморфизмом , который меняет местами и . Этот пример обобщается для простого числа![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Гал} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\sqrt {2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -{\sqrt {2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\in \mathbb {N}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Продукт квадратичных расширений
Используя решетчатую структуру групп Галуа, для неравных простых чисел группа Галуа равна![{\displaystyle p_{1},\ldots,p_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots, {\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots, {\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right )\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left (\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Циклотомные расширения
Другой полезный класс примеров связан с полями расщепления круговых полиномов . Это полиномы , определяемые как![{\displaystyle \Phi _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(xe ^{\frac {2ik\pi {n}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
степень которого равна , функция Эйлера totient при . Тогда поле расщепления над is и имеет автоморфизмы , отправляющие относительно простое число в . Поскольку степень поля равна степени многочлена, эти автоморфизмы порождают группу Галуа. [5] Если тогда![{\ displaystyle \ фи (п)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma _{a}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\leq a<n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q})\cong \prod _{a_{i}} \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если — простое число , то следствием этого является ![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Гал} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q})\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Фактически, любая конечная абелева группа может быть найдена как группа Галуа некоторого подполя расширения кругового поля по теореме Кронекера-Вебера .
Конечные поля
Другой полезный класс примеров групп Галуа с конечными абелевыми группами происходит из конечных полей. Если q — степень простого числа и если и обозначают поля Галуа порядка и соответственно, то является циклическим порядка n и порождается гомоморфизмом Фробениуса .![{\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Гал} (E/F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры степени 4
Расширение поля является примером расширения поля степени. [6] Это имеет два автоморфизма, где и Поскольку эти два генератора определяют группу порядка , четырехгруппу Клейна , они определяют всю группу Галуа. [3]![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}, {\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ сигма, \ тау}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ({\sqrt {2}}) = - {\sqrt {2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau ({\sqrt {3}}) = - {\sqrt {3}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другой пример дан из поля расщепления многочлена![{\displaystyle E/\mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что корни есть. Существуют автоморфизмы. ![{\displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
создание группы порядка . Поскольку порождает эту группу, группа Галуа изоморфна .![{\displaystyle 4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Конечные неабелевы группы
Рассмотрим теперь , где находится примитивный кубический корень из единицы . Группа изоморфна S 3 , группе диэдра порядка 6 , а L фактически является полем расщепления над![{\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ омега }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Гал} (L/\mathbb {Q})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{3}-2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Группа кватернионов
Группу кватернионов можно найти как группу Галуа расширения поля . Например, расширение поля![{\displaystyle \mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ mathbb {Q} \ left ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {(2+ {\ sqrt {2}}) (3 + {\ sqrt {3) }})}}\верно)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
имеет предписанную группу Галуа. [7]
Симметричная группа простого порядка
Если – неприводимый многочлен простой степени с рациональными коэффициентами и ровно двумя невещественными корнями, то группа Галуа является полной симметрической группой [2]![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{p}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Например, неприводимо из критерия Эйзенштейна. Построение графика с помощью графического программного обеспечения или бумаги показывает, что он имеет три действительных корня, следовательно, два комплексных корня, показывая, что его группа Галуа равна .![{\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{5}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сравнение групп Галуа расширений глобальных полей
Учитывая глобальное расширение поля (такое как ) и классы эквивалентности оценок на (таких как -адическое нормирование ) и на таких, что их пополнения дают расширение поля Галуа![{\displaystyle K/k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ш}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K_{w}/k_{v}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
локальных полей существует индуцированное действие группы Галуа на множестве классов эквивалентности нормирований таких, что пополнения полей согласованы. Это означает, что если тогда существует индуцированный изоморфизм локальных полей![{\displaystyle G=\operatorname {Гал} (K/k)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s\in G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{w}:K_{w}\to K_{sw}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку мы взяли гипотезу, лежащую сверху (т. е. существует расширение поля Галуа ), морфизм полей фактически является изоморфизмом -алгебр . Если за класс нормирования взять подгруппу изотропии![{\displaystyle ш}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K_{w}/k_{v}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{w}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k_ {v}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ш}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G_{w}=\{s\in G:sw=w\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
тогда существует сюръекция глобальной группы Галуа в локальную группу Галуа такая, что существует изоморфизм между локальной группой Галуа и подгруппой изотропии. Схематически это означает
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\ twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где вертикальные стрелки — изоморфизмы. [8] Это дает метод построения групп Галуа локальных полей с использованием глобальных групп Галуа.
Бесконечные группы
Базовым примером расширения поля с бесконечной группой автоморфизмов является , поскольку оно содержит каждое расширение алгебраического поля . Например, каждое расширение поля для элемента без квадратов имеет уникальный автоморфизм степени, индуцирующий автоморфизм в![{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/\mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a\in \mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Одним из наиболее изученных классов бесконечной группы Галуа является абсолютная группа Галуа , которая представляет собой бесконечную проконечную группу, определяемую как обратный предел всех конечных расширений Галуа для фиксированного поля. Обратный предел обозначается![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
где – сепарабельное замыкание поля . Обратите внимание, что эта группа является топологической группой . [9] Некоторые основные примеры включают и![{\displaystyle {\overline {F}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Гал} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. [10] [11]
Другой легко вычислимый пример — расширение поля , содержащее квадратный корень из каждого положительного простого числа. Есть группа Галуа.![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}, {\sqrt {3}}, {\sqrt {5}},\ldots)/\mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
которое можно вывести из бесконечного предела
![{\displaystyle \cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}, {\sqrt {3}}, {\sqrt {5}})/\mathbb {Q}) \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и используя вычисление групп Галуа.
Характеристики
Значение расширения, являющегося Галуа, состоит в том, что оно подчиняется фундаментальной теореме теории Галуа : замкнутые (относительно топологии Крулля ) подгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям расширения поля.
Если — расширение Галуа, то ему может быть задана топология , называемая топологией Крулля, которая превращает его в проконечную группу .![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Гал} (E/F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ Некоторые авторы называют произвольные расширения группой Галуа и используют соответствующие обозначения, например Jacobson 2009.
![{\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E/F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Аб Ланг, Серж. Алгебра (пересмотренное третье изд.). стр. 263, 273.
- ^ ab «Абстрактная алгебра» (PDF) . стр. 372–377. Архивировано (PDF) из оригинала 18 декабря 2011 г.
- ^ Кук, Роджер Л. (2008), Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование, John Wiley & Sons, стр. 138, ISBN 9780470277973.
- ^
- ^ Поскольку как векторное пространство.
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}, {\sqrt {3}}) = \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}} \oplus \ mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Милн. Теория поля. п. 46.
- ^ «Сравнение глобальных и локальных групп Галуа расширения числовых полей». Математический обмен стеками . Проверено 11 ноября 2020 г.
- ^ «9.22 Бесконечная теория Галуа». Проект Стеки .
- ^ Милн. «Теория поля» (PDF) . п. 98. Архивировано (PDF) из оригинала 27 августа 2008 г.
- ^ «Бесконечная теория Галуа» (PDF) . п. 14. Архивировано (PDF) из оригинала 6 апреля 2020 г.
Рекомендации
Внешние ссылки