принцип Хассе

Решение целочисленных уравнений из всех модульных решений

В математике локально-глобальный принцип Хельмута Хассе , также известный как принцип Хассе , представляет собой идею о том, что можно найти целочисленное решение уравнения , используя китайскую теорему об остатках, чтобы объединить решения по модулю степеней каждого простого числа . Это делается путем изучения уравнения в завершениях рациональных чисел : действительных чисел и p -адических чисел . Более формальная версия принципа Хассе гласит, что некоторые типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в действительных числах и в p -адических числах для каждого простого числа p .

Интуиция

Дано полиномиальное уравнение с рациональными коэффициентами, если оно имеет рациональное решение, то это также дает действительное решение и p -адическое решение, поскольку рациональные числа встраиваются в действительные числа и p -адические числа: глобальное решение дает локальные решения для каждого простого числа. Принцип Хассе спрашивает, когда можно сделать обратное, или, скорее, спрашивает, в чем состоит препятствие: когда можно склеить решения над действительными числами и p -адическими числами, чтобы получить решение над рациональными числами: когда локальные решения можно объединить, чтобы сформировать глобальное решение?

Можно спросить об этом для других колец или полей : целых чисел, например, или числовых полей . Для числовых полей, вместо вещественных чисел и p -адических чисел, используются комплексные вложения и -адические числа для простых идеалов . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Формы, представляющие 0

Квадратичные формы

Теорема Хассе –Минковского утверждает, что локально-глобальный принцип справедлив для задачи представления 0 квадратичными формами над рациональными числами (что является результатом Минковского ); и, в более общем смысле, над любым числовым полем (как доказал Хассе), когда используются все соответствующие необходимые условия локального поля . Теорема Хассе о циклических расширениях утверждает, что локально-глобальный принцип применим к условию быть относительной нормой для циклического расширения числовых полей.

Кубические формы

Контрпример Эрнста С. Сельмера показывает, что теорема Хассе–Минковского не может быть распространена на формы степени 3: кубическое уравнение 3 x ³  + 4 y ³  + 5 z ³  = 0 имеет решение в действительных числах и во всех p-адических полях, но у него нет нетривиального решения, в котором x , y , и z были бы все рациональными числами. ^[1]

Роджер Хит-Браун показал ^[2] , что каждая кубическая форма над целыми числами по крайней мере с 14 переменными представляет собой 0, что улучшило более ранние результаты Дэвенпорта . ^[3] Поскольку каждая кубическая форма над p-адическими числами по крайней мере с десятью переменными представляет собой 0, ^[2] локально-глобальный принцип тривиально выполняется для кубических форм над рациональными числами по крайней мере с 14 переменными.

Ограничиваясь невырожденными формами, можно сделать лучше, чем это: Хит-Браун доказал, что каждая невырожденная кубическая форма над рациональными числами по крайней мере от 10 переменных представляет 0, ^[4] таким образом тривиально устанавливая принцип Хассе для этого класса форм. Известно, что результат Хит-Брауна является наилучшим возможным в том смысле, что существуют невырожденные кубические формы над рациональными числами от 9 переменных, которые не представляют ноль. ^[5] Однако Хули показал, что принцип Хассе справедлив для представления 0 невырожденными кубическими формами над рациональными числами по крайней мере от девяти переменных. ^[6] Дэвенпорт, Хит-Браун и Хули использовали метод круга Харди–Литтлвуда в своих доказательствах. Согласно идее Манина , препятствия к выполнению принципа Хассе для кубических форм могут быть связаны с теорией группы Брауэра ; это препятствие Брауэра-Манина , которое полностью объясняет провал принципа Хассе для некоторых классов многообразия. Однако Скоробогатов показал, что препятствие Брауэра-Манина не может объяснить все провалы принципа Хассе. ^[7]

Формы высшей степени

Контрпримеры Фудзивары и Судо показывают, что теорема Хассе–Минковского не распространяется на формы степени 10 n + 5, где n — неотрицательное целое число. ^[8]

С другой стороны, теорема Бирча показывает, что если d — любое нечетное натуральное число, то существует число N ( d ) такое, что любая форма степени d от более чем N ( d ) переменных представляет собой 0: принцип Хассе выполняется тривиально.

Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер

Теорема Альберта –Брауэра–Хассе–Нётер устанавливает локально-глобальный принцип расщепления центральной простой алгебры A над полем алгебраических чисел K. Он утверждает, что если A расщепляется над каждым пополнением K _v , то она изоморфна матричной алгебре над K .

Принцип Хассе для алгебраических групп

Принцип Хассе для алгебраических групп гласит, что если G — односвязная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем k, то отображение

${\displaystyle H^{1}(k,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)}$

является инъективным, где произведение распространяется на все точки s из k .

Принцип Хассе для ортогональных групп тесно связан с принципом Хассе для соответствующих квадратичных форм.

Кнезер (1966) и несколько других проверили принцип Хассе путем доказательств по каждому случаю для каждой группы. Последний случай был группой E 8 , который был завершен только Черноусовым (1989) много лет спустя после других случаев.

Принцип Хассе для алгебраических групп использовался в доказательствах гипотезы Вейля для чисел Тамагавы и теоремы о сильной аппроксимации .

Смотрите также

• Локальный анализ
• Теорема Грюнвальда–Вана
• Гипотеза Гротендика–Каца о p-кривизне

Примечания

1. Эрнст С. Зельмер (1951). «Диофантово уравнение ax3 + by3 + cz3 = 0». Акта Математика . 85 : 203–362. дои : 10.1007/BF02395746 .
2. DR Heath-Brown (2007). "Кубические формы с 14 переменными". Invent. Math . 170 (1): 199–230. Bibcode :2007InMat.170..199H. doi :10.1007/s00222-007-0062-1. S2CID  16600794.
3. H. Davenport (1963). «Кубические формы шестнадцати переменных». Труды Королевского общества A. 272 ​​( 1350): 285–303. Bibcode :1963RSPSA.272..285D. doi :10.1098/rspa.1963.0054. S2CID  122443854.
4. DR Heath-Brown (1983). «Кубические формы десяти переменных». Труды Лондонского математического общества . 47 (2): 225–257. doi :10.1112/plms/s3-47.2.225.
5. LJ Mordell (1937). «Замечание о неопределенных уравнениях с несколькими переменными». Журнал Лондонского математического общества . 12 (2): 127–129. doi :10.1112/jlms/s1-12.1.127.
6. К. Хули (1988). «О ненарных кубических формах». Журнал для королевы и математики . 386 : 32–98.
7. Алексей Н. Скоробогатов (1999). «За препятствием Манина». Invent. Math . 135 (2): 399–424. arXiv : alg-geom/9711006 . Bibcode :1999InMat.135..399S. doi :10.1007/s002220050291. S2CID  14285244.
8. М. Фудзивара ; М. Судо (1976). «Некоторые формы нечетной степени, для которых принцип Хассе не выполняется». Pacific Journal of Mathematics . 67 (1): 161–169. doi : 10.2140/pjm.1976.67.161 .

Ссылки

• Черноусов, В.И. (1989), «Принцип Хассе для групп типа E8», Докл. АН СССР , 39 : 592–596, MR  1014762
• Кнезер, Мартин (1966), «Принцип Хассе для H¹ односвязных групп», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 159–163, MR  0220736
• Серж Ланг (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . стр. 250–258. ISBN 3-540-61223-8.
• Алексей Скоробогатов (2001). Торсоры и рациональные точки. Cambridge Tracts in Mathematics. Т. 144. Кембридж: Cambridge Univ. Press. С. 1–7, 112. ISBN 0-521-80237-7.

Внешние ссылки

• «Принцип Хассе», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Статья PlanetMath, архив 2004-03-13 на Wayback Machine
• Суиннертон-Дайер, Диофантовы уравнения: прогресс и проблемы , онлайн-заметки
• Дж. Франклин, Глобальное и локальное, Mathematical Intelligencer 36 (4) (декабрь 2014 г.), 4–9.