Обычное расширение

Расширение алгебраического поля

В абстрактной алгебре нормальное расширение — это расширение алгебраического поля L / K , для которого каждый неприводимый многочлен над K , имеющий корень в L , распадается на линейные множители в L. ^{[1] [2]} Это одно из условий того, что алгебраическое расширение является расширением Галуа . Бурбаки называет такое расширение квази-расширением Галуа . Для конечных расширений нормальное расширение идентично полю разложения .

Определение

Пусть — алгебраическое расширение (т. е. L — алгебраическое расширение K ), такое что (т. е. L содержится в алгебраическом замыкании K ) . Тогда следующие условия, любое из которых можно рассматривать как определение нормального расширения , эквивалентны: ^[3] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$

• Каждое вложение L в над K индуцирует автоморфизм L .​​ ${\displaystyle {\overline {K}}}$
• L — поле расщепления семейства полиномов в . ${\displaystyle K[X]}$
• Каждый неприводимый многочлен, имеющий корень в L , распадается на линейные множители в L. ${\displaystyle K[X]}$

Другие объекты недвижимости

Пусть L — расширение поля K. Затем:

• Если L — нормальное расширение K и если E — промежуточное расширение (т. е. L ⊇  E  ⊇  K  ) , то L — нормальное расширение E. ^[4]
• Если E и F — нормальные расширения K , содержащиеся в L , то композит EF и E  ∩  F также являются нормальными расширениями K. ^[4]

Эквивалентные условия нормальности

Пусть будет алгебраическим. Поле L является нормальным расширением тогда и только тогда, когда выполняется любое из приведенных ниже эквивалентных условий. ${\displaystyle L/K}$

• Минимальный многочлен над K каждого элемента в L распадается в L ;
• Существует набор полиномов, каждый из которых расщепляется по L , такой, что если это поля, то S имеет полином, который не расщепляется в F ; ${\displaystyle S\subseteq K[x]}$ ${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$
• Все гомоморфизмы , фиксирующие все элементы из K , имеют один и тот же образ; ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$
• Группа автоморфизмов L, фиксирующих все элементы K , действует транзитивно на множестве гомоморфизмов , фиксирующих все элементы K. ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K),}$ ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$

Примеры и контрпримеры

Например, является нормальным расширением так как является полем разложения С С другой стороны, не является нормальным расширением так как неприводимый многочлен имеет в нем один корень (а именно ), но не все из них (он не имеет недействительные кубические корни из 2). Напомним, что поле алгебраических чисел является алгебраическим замыканием и, следовательно, содержит пусть примитивный кубический корень из единицы. Тогда, поскольку карта является вложением, ограничением которого является тождество. Однако это не автоморфизм ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Для любого простого числа расширение нормально степени. Это поле разложения. Здесь обозначается любой примитивный корень из единицы . Поле представляет собой нормальное замыкание (см. ниже) ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$ ${\displaystyle p(p-1).}$ ${\displaystyle x^{p}-2.}$ ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Нормальное закрытие

Если K — поле и L — алгебраическое расширение K , то существует некоторое алгебраическое расширение M поля L такое, что M — нормальное расширение K. Более того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое расширение, которое является минимальным, то есть единственным подполем M , которое содержит L и которое является нормальным расширением K , является само M. Это расширение называется нормальным замыканием расширения L поля K.

Если L — конечное расширение K , то его нормальное замыкание также является конечным расширением.

Смотрите также

• Расширение Галуа
• Нормальная основа

Цитаты

1. Ланг 2002, с. 237, Теорема 3.3, НО 3.
2. Джейкобсон 1989, с. 489, раздел 8.7.
3. Ланг 2002, с. 237, Теорема 3.3.
4. Ланг 2002, с. 238, Теорема 3.4.

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556
• Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, МР  1009787