Группа Прюфер

Группа Прюфера 2 с представлением ⟨ g _n : g _{n +1} ² = g _n , g ₁ ² = e ⟩ , изображенная как подгруппа единичной окружности в комплексной плоскости

В математике, в частности в теории групп , p -группа Прюфера или p -квазициклическая группа или p∞ ^- группа, Z ( p∞ ), для простого числа p является единственной p -группой ^, в которой каждый элемент имеет p различных корней p- й степени.

P -группы Прюфера — это счетные абелевы группы , которые играют важную роль в классификации бесконечных абелевых групп: они (вместе с группой рациональных чисел ) образуют наименьшие строительные блоки всех делимых групп .

Группы названы в честь Хайнца Прюфера , немецкого математика начала 20 века.

КонструкцииЗ(п∞)

Группа Прюфера p может быть отождествлена ​​с подгруппой группы окружности U(1), состоящей из всех корней p ^{n -й} степени из единицы , где n пробегает все неотрицательные целые числа:

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid 0\leq m<p^{n},\,n\in \mathbf {Z} ^{+}\}=\{z\in \mathbf {C} \mid z^{(p^{n})}=1{\text{ for some }}n\in \mathbf {Z} ^{+}\}.\;}$

Групповая операция здесь — умножение комплексных чисел .

Есть презентация

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .}$

Здесь групповая операция в Z ( p ^∞ ) записывается как умножение.

Альтернативно и эквивалентно, p -группа Прюфера может быть определена как p -подгруппа Силова фактор-группы Q / Z , состоящая из тех элементов, порядок которых является степенью p :

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} }$

(где Z [1/ p ] обозначает группу всех рациональных чисел, знаменатель которых является степенью p , использующую сложение рациональных чисел в качестве групповой операции).

Для каждого натурального числа n рассмотрим факторгруппу Z / p ⁿ Z и вложение Z / p ⁿ Z → Z / p ^{n +1} Z, индуцированное умножением на p . Прямой предел этой системы — Z ( p ^∞ ):

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\varinjlim \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} .}$

Если мы выполним прямой предел в категории топологических групп, то нам нужно наложить топологию на каждый из , и взять окончательную топологию на . Если мы хотим, чтобы был Хаусдорфовым , мы должны наложить дискретную топологию на каждый из , в результате чего получим дискретную топологию. ${\displaystyle \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })}$

Мы также можем написать

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\mathbf {Q} _{p}/\mathbf {Z} _{p}}$

где Q _p обозначает аддитивную группу p -адических чисел , а Z _p — подгруппу p -адических целых чисел.

Характеристики

Полный список подгрупп p -группы Прюфера Z ( p ^∞ ) = Z [1/ p ]/ Z выглядит следующим образом:

${\displaystyle 0\subsetneq \left({1 \over p}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{2}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{3}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq \mathbf {Z} (p^{\infty })}$

Здесь каждая из них является циклической подгруппой Z ( p ^∞ ) с p ⁿ элементами; она содержит ровно те элементы Z ( p ^∞ ), порядок которых делит p ⁿ и соответствует множеству корней степени p ⁿ из единицы. ${\displaystyle \left({1 \over p^{n}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} }$

Группы Прюфера p - являются единственными бесконечными группами, подгруппы которых полностью упорядочены по включению. Эта последовательность включений выражает группу Прюфера p - как прямой предел ее конечных подгрупп. Поскольку не существует максимальной подгруппы группы Прюфера p - , она является ее собственной подгруппой Фраттини .

Учитывая этот список подгрупп, ясно, что p -группы Прюфера неразложимы (не могут быть записаны как прямая сумма собственных подгрупп). Верно и большее: p -группы Прюфера подпрямо неразложимы . Абелева группа подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда она изоморфна конечной циклической p -группе или группе Прюфера.

Группа Прюфера p - это единственная бесконечная p - группа , которая локально циклична (каждый конечный набор элементов порождает циклическую группу). Как было показано выше, все собственные подгруппы Z ( p ^∞ ) конечны. Группы Прюфера p - это единственные бесконечные абелевы группы с этим свойством. ^[1]

Группы Прюфера p являются делимыми . Они играют важную роль в классификации делимых групп; наряду с рациональными числами они являются простейшими делимыми группами. Точнее: абелева группа делима тогда и только тогда, когда она является прямой суммой (возможно бесконечного) числа копий Q и (возможно бесконечного) числа копий Z ( p ^∞ ) для каждого простого числа p . ( Кардинальные ) числа копий Q и Z ( p ^∞ ), которые используются в этой прямой сумме, определяют делимую группу с точностью до изоморфизма. ^[2]

Как абелева группа (то есть как Z -модуль ), Z ( p ^∞ ) является артиновым , но не нётеровым . ^[3] Таким образом, его можно использовать в качестве контрпримера против идеи, что каждый артинов модуль является нётеровым (тогда как каждое артиново кольцо является нётеровым).

Кольцо эндоморфизмов Z ( p ∞ ⁾ _{изоморфно} кольцу целых p -адических чисел Z p . ^[4]

В теории локально компактных топологических групп p- группа Прюфера (снабженная дискретной топологией ) является двойственной по Понтрягину компактной группы p -адических целых чисел , а группа p -адических целых чисел является двойственной по Понтрягину p -группы Прюфера. ^[5]

Смотрите также

• p -адические целые числа , которые можно определить как обратный предел конечных подгрупп p -группы Прюфера.
• Двоично-рациональные числа , рациональные числа вида a /2 ^b . Группу Прюфера 2 можно рассматривать как двоично-рациональные числа по модулю 1.
• Циклическая группа ( конечный аналог)
• Группа круга ( бесконечный несчетный аналог)

Примечания

1. См. Вильямс (2001)
2. См. Капланский (1965)
3. См. также Jacobson (2009), стр. 102, пример 2.
4. См. Вильямс (2001)
5. DL Armacost и WL Armacost, "О п-тетических группах", Pacific J. Math. , 41 , № 2 (1972), 295–301

Ссылки

• Якобсон, Натан (2009). Основы алгебры . Том 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.
• Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра . Спрингер. ISBN 978-0-387-71567-4.
• Капланский, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Издательство Мичиганского университета.
• Н.Н. Вильямс (2001) [1994], "Квазициклическая группа", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС