Теоремы Силова

В математике, в частности в области теории конечных групп , теоремы Силова представляют собой набор теорем, названных в честь норвежского математика Петера Людвига Силова ^[1] , которые дают подробную информацию о числе подгрупп фиксированного порядка , содержащихся в данной конечной группе . Теоремы Силова составляют фундаментальную часть теории конечных групп и имеют очень важные приложения в классификации конечных простых групп .

Для простого числа силовская p -подгруппа (иногда p -силовская подгруппа ) группы — это максимальная -подгруппа группы , т. е. подгруппа группы , которая является p -группой (это означает, что ее мощность является степенью или , что эквивалентно, порядок каждого элемента группы является степенью ), которая не является собственной подгруппой никакой другой -подгруппы группы . Множество всех силовских -подгрупп для заданного простого числа иногда записывается . $p$ $G$ $p$ $G$ $G$ $p,$ $p$ $p$ $G$ $p$ $p$ ${\text{Syl}}_{p}(G)$

Теоремы Силова утверждают частичное обращение теоремы Лагранжа . Теорема Лагранжа утверждает, что для любой конечной группы порядок (число элементов) каждой подгруппы группы делит порядок . Теоремы Силова утверждают, что для каждого простого множителя порядка конечной группы существует силовская -подгруппа группы порядка , наибольшая степень которой делит порядок . Более того, каждая подгруппа порядка является силовской -подгруппой группы , а силовские -подгруппы группы (для заданного простого числа ) сопряжены друг с другом. Более того, число силовских -подгрупп группы для заданного простого числа сравнимо с 1 (mod ). $G$ $G$ $G$ $p$ $G$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p$ $p$ $p$ $p$ $p$

Теоремы

Мотивация

Теоремы Силова являются мощным утверждением о структуре групп в целом, но также сильны в приложениях теории конечных групп. Это потому, что они дают метод использования разложения мощности конечной группы на простые числа для получения утверждений о структуре ее подгрупп: по сути, это дает технику переноса базовой теоретико-числовой информации о группе в ее групповую структуру. Из этого наблюдения классификация конечных групп становится игрой нахождения того, какие комбинации/конструкции групп меньшего порядка могут быть применены для построения группы. Например, типичным применением этих теорем является классификация конечных групп некоторой фиксированной мощности, например . ^[2] $G$ $|G|=60$

Заявление

Коллекции подгрупп, каждая из которых максимальна в том или ином смысле, обычны в теории групп. Удивительный результат здесь заключается в том, что в случае все члены фактически изоморфны друг другу и имеют максимально возможный порядок: если при , где $p$ не делит $m$ , то каждая силовская $p$ -подгруппа $P$ имеет порядок . То есть, $P$ является $p$ -группой и . Эти свойства можно использовать для дальнейшего анализа структуры $G$ . $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ $|G|=p^{n}m$ $n>0$ $|P|=p^{n}$ ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$

Следующие теоремы были впервые предложены и доказаны Людвигом Силовым в 1872 году и опубликованы в Mathematische Annalen .

Теорема (1) — Для каждого простого множителя $p$ с кратностью $n$ порядка конечной группы $G$ существует силовская $p$ -подгруппа группы $G$ порядка . $p^{n}$

Следующая более слабая версия теоремы 1 была впервые доказана Огюстеном -Луи Коши и известна как теорема Коши .

Следствие — Если задана конечная группа $G$ и простое число $p,$ делящее порядок $G$ , то существует элемент (и, следовательно, циклическая подгруппа, порожденная этим элементом) порядка p $в$ G. $[$ ^3]

Теорема (2) — Для данной конечной группы $G$ и простого числа $p$ все силовские $p$ -подгруппы группы $G$ сопряжены друг другу. То есть, если $H$ и $K$ являются силовскими $p$ -подгруппами группы $G$ , то существует элемент с . $g\in G$ $g^{-1}Hg=K$

Теорема (3) — Пусть $p$ — простой множитель с кратностью $n$ порядка конечной группы $G$ , так что порядок $G$ можно записать как , где и $p$ не делит $m$ . Пусть — число силовских $p$ -подгрупп группы $G.$ Тогда выполняются следующие условия: $p^{n}m$ $n>0$ $n_{p}$

$n_{p}$ делит $m$ , который является индексом силовской $p$ -подгруппы в $G.$
$n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ , где $P$ — любая силовская $p$ -подгруппа группы $G$ , а обозначает нормализатор . $N_{G}$

Последствия

Теоремы Силова подразумевают, что для простого числа каждая силовская -подгруппа имеет тот же порядок, . Обратно, если подгруппа имеет порядок , то она является силовской -подгруппой, и поэтому сопряжена с любой другой силовской -подгруппой. В силу условия максимальности, если является любой -подгруппой из , то является подгруппой -подгруппы порядка . $p$ $p$ $p^{n}$ $p^{n}$ $p$ $p$ $H$ $p$ $G$ $H$ $p$ $p^{n}$

Важным следствием теоремы 2 является то, что условие эквивалентно условию, что силовская -подгруппа группы является нормальной подгруппой (теорема 3 часто может показать ). Однако существуют группы, которые имеют собственные нетривиальные нормальные подгруппы, но не имеют нормальных силовских подгрупп, например . Группы, имеющие порядок степени простого числа, не имеют собственных силовских -подгрупп. $n_{p}=1$ $p$ $G$ $n_{p}=1$ $S_{4}$ $p$

Третий пункт третьей теоремы имеет в качестве непосредственного следствия то, что делит . $n_{p}$ $|G|$

Теоремы Силова для бесконечных групп

Существует аналог теорем Силова для бесконечных групп. Силовская $p$ -подгруппа в бесконечной группе определяется как p -подгруппа (то есть каждый ее элемент имеет $p$ -степень порядка), которая является максимальной для включения среди всех $p$ -подгрупп в группе. Пусть обозначает множество сопряженных подгрупп . $\operatorname {Cl} (K)$ $K\subset G$

Теорема — Если $K$ — силовская $p$ -подгруппа группы $G$ и конечна, то каждая силовская $p$ -подгруппа сопряжена с $K$ и . $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ $n_{p}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)$

Примеры

Простая иллюстрация силовских подгрупп и теорем Силова — диэдральная группа n -угольника, D ₂_n . Для нечетного n 2 = 2 ^{1 — наивысшая степень 2, делящая порядок, и, таким образом, подгруппы порядка 2 являются силовскими подгруппами. Это группы}, порожденные отражением, которых имеется n , и все они сопряжены относительно вращений; геометрически оси симметрии проходят через вершину и сторону.

Напротив, если n четно, то 4 делит порядок группы, и подгруппы порядка 2 больше не являются силовскими подгруппами, и фактически они делятся на два класса сопряженности, геометрически в соответствии с тем, проходят ли они через две вершины или две грани. Они связаны внешним автоморфизмом , который может быть представлен поворотом на π/ n , половину минимального поворота в диэдральной группе.

Другим примером являются силовские p-подгруппы GL ₂ ( F _q ), где p и q — простые числа ≥ 3 и $p \equiv 1 (mod q)$ , которые все абелевы . Порядок GL ₂ ( F _q ) равен $(q 2 - 1)(q 2 - q) = (q)(q + 1)(q - 1) 2$ . Поскольку $q = p n m + 1$ , порядок $GL 2 (F q) = p 2 n m'$ . Таким образом, по теореме 1 порядок силовских p -подгрупп равен p ^{2 n} .

Одной из таких подгрупп P является множество диагональных матриц , x — любой примитивный корень F q . _{Поскольку} порядок F _q равен $q$ $- 1$ , его примитивные корни имеют порядок q − 1, что подразумевает, что $x$ $($ $q$ $- 1)/$ $p$ $n$ или x ^m и все его степени имеют порядок, являющийся степенью p . Таким образом, P — подгруппа, в которой все ее элементы имеют порядки, являющиеся степенями p . Существует p ⁿ вариантов выбора как для a , так и для b , что делает $|$ $P$ $| =$ $p$ $2$ $n$ . Это означает, что P — силовская p -подгруппа, которая является абелевой, поскольку все диагональные матрицы коммутируют, и поскольку теорема 2 утверждает, что все силовские p -подгруппы сопряжены друг с другом, все силовские p -подгруппы GL ₂ ( F _q ) являются абелевыми. ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$

Примеры приложений

Поскольку теорема Силова гарантирует существование p-подгрупп конечной группы, имеет смысл более подробно изучить группы порядка простой степени. Большинство примеров используют теорему Силова для доказательства того, что группа определенного порядка не является простой . Для групп малого порядка условие конгруэнтности теоремы Силова часто достаточно, чтобы принудительно доказать существование нормальной подгруппы .

Пример-1: Группы простых чисел порядка pq , p и q , где p < q .
Пример-2: Группа порядка 30, группы порядка 20, группы порядка p ²q , p и q различных простых чисел — вот некоторые из приложений.
Пример-3: (Группы порядка 60): Если порядок | G | = 60 и G имеет более одной силовской 5-подгруппы, то G является простой.

Циклические групповые заказы

Некоторые не простые числа n таковы, что каждая группа порядка n является циклической. Можно показать, что n = 15 является таким числом, используя теоремы Силова: Пусть G — группа порядка 15 = 3 · 5, а n ₃ — число силовских 3-подгрупп. Тогда n ₃ 5 и n ₃ ≡ 1 (mod 3). Единственное значение, удовлетворяющее этим ограничениям, — 1; следовательно, существует только одна подгруппа порядка 3, и она должна быть нормальной (так как у нее нет различных сопряженных). Аналогично, n ₅ должно делить 3, а n ₅ должно равняться 1 (mod 5); таким образом, она также должна иметь одну нормальную подгруппу порядка 5. Поскольку 3 и 5 взаимно просты , пересечение этих двух подгрупп тривиально, и поэтому G должна быть внутренним прямым произведением групп порядка 3 и 5, то есть циклической группой порядка 15. Таким образом, существует только одна группа порядка 15 ( с точностью до изоморфизма). $\mid$

Малые группы – это не просто

Более сложный пример включает порядок наименьшей простой группы , которая не является циклической . Теорема Бернсайда p ^a q ^b утверждает, что если порядок группы является произведением одной или двух простых степеней , то она разрешима , и поэтому группа не является простой, или имеет простой порядок и является циклической. Это исключает все группы вплоть до порядка 30 (= 2 · 3 · 5) .

Если G простая, и | G | = 30, то n ₃ должно делить 10 ( = 2 · 5), а n ₃ должно быть равно 1 (mod 3). Следовательно, n ₃ = 10, поскольку ни 4, ни 7 не делят 10, и если n ₃ = 1, то, как и выше, G имела бы нормальную подгруппу порядка 3 и не могла бы быть простой. Тогда G имеет 10 различных циклических подгрупп порядка 3, каждая из которых имеет 2 элемента порядка 3 (плюс единица). Это означает, что G имеет по крайней мере 20 различных элементов порядка 3.

Также n ₅ = 6, поскольку n ₅ должно делить 6 ( = 2 · 3), а n ₅ должно быть равно 1 (mod 5). Таким образом, G также имеет 24 различных элемента порядка 5. Но порядок G равен только 30, поэтому простая группа порядка 30 существовать не может.

Далее предположим, что | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Здесь n ₇ должно делить 6 ( = 2 · 3) и n ₇ должно быть равно 1 (mod 7), поэтому n ₇ = 1. Итак, как и прежде, G не может быть простым.

С другой стороны, для | G | = 60 = 2 ² · 3 · 5, то n ₃ = 10 и n ₅ = 6 вполне возможны. И фактически, наименьшая простая нециклическая группа — это A ₅ , знакопеременная группа над 5 элементами. Она имеет порядок 60 и имеет 24 циклических перестановки порядка 5 и 20 порядка 3.

Теорема Вильсона

Часть теоремы Уилсона утверждает, что

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

для любого простого числа p . Эту теорему можно легко доказать с помощью третьей теоремы Силова. Действительно, заметим, что число n _p силовских p -подгрупп в симметрической группе S _p равно ⁠1/п − 1⁠ умножить на число p-циклов в S _p , т. е. $(p - 2)!$ . С другой стороны, $n p \equiv 1 (mod p)$ . Следовательно, $(p - 2)! \equiv 1 (mod p)$ . Итак, $(p - 1)! \equiv -1 (mod p)$ .

Результаты слияния

Аргумент Фраттини показывает, что силовская подгруппа нормальной подгруппы обеспечивает факторизацию конечной группы. Небольшое обобщение, известное как теорема Бернсайда о слиянии, утверждает, что если G — конечная группа с силовской p -подгруппой P и двумя подмножествами A и B , нормализованными P , то A и B являются G -сопряженными тогда и только тогда, когда они являются N _G ( P )-сопряженными. Доказательство представляет собой простое применение теоремы Силова: если B = A ^g , то нормализатор B содержит не только P , но и P ^g (так как P ^g содержится в нормализаторе A ^g ). По теореме Силова P и P ^g сопряжены не только в G , но и в нормализаторе B . Следовательно, gh ⁻¹ нормализует P для некоторого h , который нормализует B , и тогда A ^{gh ⁻¹} = B ^{h ⁻¹} = B , так что A и B являются N _G ( P )-сопряженными. Теорему Бернсайда о слиянии можно использовать для получения более мощной факторизации, называемой полупрямым произведением : если G — конечная группа, силовская p -подгруппа P которой содержится в центре ее нормализатора, то G имеет нормальную подгруппу K порядка, взаимно простого с P , G = PK и P ∩ K = {1}, то есть G является p -нильпотентной .

Менее тривиальные приложения теорем Силова включают теорему о фокальной подгруппе , которая изучает контроль силовской p -подгруппы производной подгруппы над структурой всей группы. Этот контроль используется на нескольких этапах классификации конечных простых групп и, например, определяет деления случаев, используемые в теореме Альперина–Брауэра–Горенштейна, классифицирующей конечные простые группы , чья силовская 2-подгруппа является квазидиэдральной группой . Они опираются на усиление сопряженной части теоремы Силова, предложенное Дж. Л. Альпериным , для контроля того, какие элементы используются в сопряжении.

Доказательство теорем Силова

Теоремы Силова были доказаны несколькими способами, а история самих доказательств является предметом многих работ, включая работы Уотерхауса ^[4] , Шарлау ^[5], Касадио и Заппы ^[6] , Гоу ^[7] и, в некоторой степени, Мео ^{[8] .}

Одно доказательство теорем Силова использует понятие группового действия различными творческими способами. Группа $G$ действует на себя или на множество своих p -подгрупп различными способами, и каждое такое действие может быть использовано для доказательства одной из теорем Силова. Следующие доказательства основаны на комбинаторных аргументах Виландта. ^[9] В дальнейшем мы используем как обозначение для «a делит b» и для отрицания этого утверждения. $a\mid b$ $a\nmid b$

Теорема (1) — Конечная группа G , порядок которой делится на степень простого числа p ^{k ,} имеет подгруппу порядка p ^k . $|G|$

Доказательство

Пусть $| G | = p k m = p k + r u$ такое, что , и пусть Ω обозначает множество подмножеств $G$ размера p ^k . $G$ действует на Ω левым умножением: для $g$ $\in$ $G$ и $ω$ $\in Ω$ , $g$ $\cdot$ $ω$ $= {$ $g$ $x$ $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ . Для заданного множества $ω$ $\in Ω$ запишем G _ω для его стабилизирующей подгруппы ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}$ и G ω для его орбиты ${$ $g$ $\cdot$ $ω$ $|$ $g$ $\in$ $G$ $}$ в Ω. $p\nmid u$

Доказательство покажет существование некоторого $ω \in Ω$ , для которого $G$ _$ω$ имеет p ^k элементов, обеспечивая требуемую подгруппу. Это максимально возможный размер стабилизирующей подгруппы $G$ _$ω$ , поскольку для любого фиксированного элемента $α \in ω \subseteq G$ правый смежный класс $G$ _$ω$ $α$ содержится в $ω$ ; следовательно, $| G ω | = | G ω α | \leq | ω | = p k$ .

По теореме о стабилизаторе орбиты мы имеем $| G ω | | G ω | = | G |$ для каждого $ω \in Ω$ , и поэтому, используя аддитивную p-адическую оценку ν _p , которая подсчитывает число множителей p , имеем $ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| G |) = k + r$ . Это означает, что для тех $ω$ с $| G ω | = p k$ , тех, которые мы ищем, имеем $ν p (| G ω |) = r$ , в то время как для любого другого $ω$ имеем $ν p (| G ω |) > r$ (поскольку $0 < | G ω | < p k$ влечет $ν p (| G ω |) < k)$ . Поскольку $| Ω |$ является суммой $| G ω |$ по всем различным орбитам $G$ $ω$ можно показать существование ω первого типа, показав, что $ν p (| Ω |) = r$ (если бы не существовало ни одной, эта оценка превысила бы r ). Это пример теоремы Куммера (поскольку в системе счисления с основанием p число $| G |$ заканчивается ровно k + r цифрами ноль, вычитание p ^k из него подразумевает перенос в r позициях), и его также можно показать простым вычислением:

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}m-j/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

и ни в одном из множителей внутри произведения справа не остается степени p . Следовательно, $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ , что завершает доказательство.

Можно отметить, что, наоборот, каждая подгруппа H порядка p ^k порождает множества $ω \in Ω$ , для которых G _ω = H , а именно любой из m различных смежных классов Hg .

Лемма — Пусть $H$ — конечная $p$ -группа, пусть Ω — конечное множество, на которое действует $H$ , и пусть Ω ₀ обозначает множество точек Ω, которые неподвижны под действием $H.$ Тогда $| Ω | \equiv | Ω 0 | (mod p)$ .

Доказательство

Любой элемент $x \in Ω,$ не фиксированный $H,$ будет лежать в орбите порядка $| H |/| H x |$ (где H _x обозначает стабилизатор ), которая по предположению кратна $p$ . Результат следует немедленно, если записать $| Ω |$ как сумму $| H x |$ по всем различным орбитам $H$ $x$ и сократить mod $p$ .

Теорема (2) — Если H является p -подгруппой группы $G$ , а P является силовской p -подгруппой группы $G$ , то существует элемент g в $группе G,$ такой что g ⁻¹Hg ≤ P. В частности, все силовские p -подгруппы группы $G$ сопряжены друг другу (и, следовательно, изоморфны ) , то есть если H и K являются силовскими p -подгруппами группы $G$ , то существует элемент g в $группе G,$ такой что g ⁻¹Hg = K.

Доказательство

Пусть Ω — множество левых смежных классов P в G , и пусть H действует на Ω левым умножением. Применяя лемму к H на $Ω$ , мы видим, что $|$ $Ω$ $0$ $| \equiv |$ $Ω$ $| = [$ $G$ $:$ $P$ $] (mod$ $p$ $)$ . Теперь по определению так , следовательно, в частности, $|$ $Ω$ $0$ $| \neq 0$ , так что существует некоторый $gP$ $\in Ω$ $0$ . С этим gP мы имеем hgP = gP для всех $h$ $\in$ $H$ , так что g ⁻¹HgP = P и, следовательно, g ⁻¹Hg ≤ P . Кроме того, если H — силовская p -подгруппа, то $|$ $g$ $-1$ $Hg$ $| = |$ $H$ $| = |$ $P$ $| ,$ так что g ⁻¹Hg = P . $p\nmid [G:P]$ $p\nmid |\Omega _{0}|$

Теорема (3) — Пусть q обозначает порядок любой силовской p -подгруппы P конечной группы G. Пусть n _p обозначает число силовских p -подгрупп группы G. Тогда (a) _{n p = [ G : NG ( P )] (где NG} $(P) — нормализатор P), ($ b $)$ n p делит | G | / $q$ $,$ и $($ $c$ $)$ $n$ p $\equiv$ $1$ $(mod$ $p$ $)$ .

Доказательство

Пусть Ω — множество всех силовских p -подгрупп группы $G$ , и пусть $G$ действует на Ω сопряжением. Пусть $P \in Ω$ — силовская p -подгруппа. По теореме 2 орбита группы P имеет размер n _p , поэтому по теореме о стабилизаторе орбиты $n p = [G : G P]$ . Для этого группового действия стабилизатор $G$ _P задается формулой ${g \in G | gPg -1 = P} = N G (P)$ , нормализатором P в G . Таким образом, $n p = [G : N G (P)]$ , и отсюда следует, что это число является делителем $[G : P] = | G |/ q$ .

Теперь пусть P действует на Ω сопряжением, и снова пусть Ω ₀ обозначает множество неподвижных точек этого действия. Пусть $Q \in Ω 0$ и заметим, что тогда $Q = xQx -1$ для всех $x \in P$ , так что P ≤ NG ( Q ). По теореме 2 P и Q сопряжены в _NG ( Q ) в частности, и Q нормальна в _NG ( Q ), так что P = Q . Отсюда следует, что Ω ₀ = { P }, так что по лемме $|$ $Ω$ $| \equiv |$ _Ω $0$ $|$ $= 1 ($ mod $p$ $)$ .

Алгоритмы

Задача нахождения силовской подгруппы заданной группы является важной задачей вычислительной теории групп .

Одно доказательство существования силовских p -подгрупп является конструктивным: если H является p -подгруппой G и индекс [ G : H ] делится на p , то нормализатор N = N _G ( H ) группы H в G также таков, что [ N : H ] делится на p . Другими словами, полициклическую порождающую систему силовской p -подгруппы можно найти, начиная с любой p -подгруппы H (включая единицу) и взяв элементы порядка p -степени, содержащиеся в нормализаторе H, но не в самой H. Алгоритмическая версия этого (и многие улучшения) описаны в форме учебника в Butler ^[10] , включая алгоритм, описанный в Cannon. ^[11] Эти версии до сих пор используются в системе компьютерной алгебры GAP .

В группах перестановок было доказано в работах Кантора ^[12]^[13]^[14] и Кантора и Тейлора ^[15] , что силовская p -подгруппа и ее нормализатор могут быть найдены за полиномиальное время ввода (степень группы, умноженная на число генераторов). Эти алгоритмы описаны в форме учебника в работе Сересса ^[16] и теперь становятся практическими, поскольку конструктивное распознавание конечных простых групп становится реальностью. В частности, версии этого алгоритма используются в системе компьютерной алгебры Magma .

Смотрите также

Примечания

^ Силов, Л. (1872). «Теоремы о группах замен». Математика. Энн. (на французском языке). 5 (4): 584–594. дои : 10.1007/BF01442913. ЖФМ 04.0056.02. S2CID 121928336.
^ Грасия–Саз, Альфонсо. «Классификация групп порядка 60» (PDF) . math.toronto.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2020 г. . Получено 8 мая 2021 г. .
^ Фрели, Джон Б. (2004). Первый курс абстрактной алгебры . при участии Виктора Дж. Каца. Пирсон Образование. п. 322. ИСБН 9788178089973.
↑ Уотерхаус 1980.
^ Шарлау 1988.
↑ Касадио и Заппа 1990.
^ Гоу 1994.
^ Мео 2004.
^ Виландт 1959.
↑ Батлер 1991, Глава 16.
↑ Кэннон 1971.
^ Кантор 1985а.
^ Кантор 1985б.
^ Кантор 1990.
^ Кантор и Тейлор 1988.
^ Сересс 2003.

Ссылки

Доказательства

Касадио, Джузеппина; Заппа, Гвидо (1990). «История теоремы Силова и ее доказательства». Болл. История науки. Мат. (на итальянском языке). 10 (1): 29–75. ISSN 0392-4432. МР 1096350. Збл 0721.01008.
Gow, Rod (1994). «Доказательство Силова теоремы Силова». Irish Math. Soc. Bull. . 0033 (33): 55–63. doi : 10.33232/BIMS.0033.55.63 . ISSN 0791-5578. MR 1313412. Zbl 0829.01011.
Каммюллер, Флориан; Полсон, Лоуренс К. (1999). «Формальное доказательство теоремы Силова. Эксперимент по абстрактной алгебре с Изабель ХОЛ» (PDF) . J. Automat. Reason. . 23 (3): 235–264. doi :10.1023/A:1006269330992. ISSN 0168-7433. MR 1721912. S2CID 1449341. Zbl 0943.68149. Архивировано из оригинала (PDF) 2006-01-03.
Meo, M. (2004). «Математическая жизнь групповой теоремы Коши». Historia Math. 31 (2): 196–221. doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X . ISSN 0315-0860. MR 2055642. Zbl 1065.01009.
Шарлау, Винфрид (1988). «Die Entdeckung der Sylow-Sätze». История математики. (на немецком языке). 15 (1): 40–52. дои : 10.1016/0315-0860(88)90048-1 . ISSN 0315-0860. МР 0931678. Збл 0637.01006.
Waterhouse, William C. (1980). «Ранние доказательства теоремы Силова». Arch. Hist. Exact Sci. . 21 (3): 279–290. doi :10.1007/BF00327877. ISSN 0003-9519. MR 0575718. S2CID 123685226. Zbl 0436.01006.
Виландт, Гельмут [на немецком языке] (1959). «Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen». Арх. Математика. (на немецком языке). 10 (1): 401–402. дои : 10.1007/BF01240818. ISSN 0003-9268. MR 0147529. S2CID 119816392. Збл 0092.02403.

Алгоритмы

Батлер, Г. (1991). Фундаментальные алгоритмы для групп перестановок . Конспект лекций по информатике . Том 559. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/3-540-54955-2. ISBN 9783540549550. МР 1225579. S2CID 395110. Збл 0785.20001.
Кэннон, Джон Дж. (1971). «Вычисление локальной структуры больших конечных групп». Компьютеры в алгебре и теории чисел ( Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math. , Нью-Йорк, 1970) . SIAM-AMS Proc.. Vol. 4. Providence RI: AMS . pp. 161–176. ISSN 0160-7634. MR 0367027. Zbl 0253.20027.
Кантор, Уильям М. (1985a). «Алгоритмы полиномиального времени для поиска элементов простого порядка и подгрупп Силова» (PDF) . J. Algorithms . 6 (4): 478–514. CiteSeerX 10.1.1.74.3690 . doi :10.1016/0196-6774(85)90029-X. ISSN 0196-6774. MR 0813589. Zbl 0604.20001.
Кантор, Уильям М. (1985b). «Теорема Силова за полиномиальное время». J. Comput. Syst. Sci. . 30 (3): 359–394. doi : 10.1016/0022-0000(85)90052-2 . ISSN 1090-2724. MR 0805654. Zbl 0573.20022.
Кантор, Уильям М.; Тейлор, Дональд Э. (1988). «Версии теоремы Силова за полиномиальное время». J. Algorithms . 9 (1): 1–17. doi :10.1016/0196-6774(88)90002-8. ISSN 0196-6774. MR 0925595. Zbl 0642.20019.
Кантор, Уильям М. (1990). «Нахождение нормализаторов Силова за полиномиальное время». J. Algorithms . 11 (4): 523–563. doi :10.1016/0196-6774(90)90009-4. ISSN 0196-6774. MR 1079450. Zbl 0731.20005.
Сересс, Акош (2003). Алгоритмы групп перестановок . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 152. Cambridge University Press . ISBN 9780521661034. MR 1970241. Zbl 1028.20002.

Внешние ссылки

«Теоремы Силова», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Абстрактная алгебра/Теория групп/Теоремы Силова в Wikibooks
Вайсштейн, Эрик В. "P-подгруппа Силова". MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Теоремы Силова». MathWorld .