Теорема Бернсайда

Математика, теория групп

Уильям Бернсайд.

В математике теорема Бернсайда в теории групп утверждает , что если G — конечная группа порядка , где p и q — простые числа , а a и b — неотрицательные целые числа , то G разрешима . Следовательно, каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся по крайней мере на три различных простых числа. ${\displaystyle p^{a}q^{b}}$

История

Теорема была доказана Уильямом Бернсайдом  (1904) с использованием теории представлений конечных групп . Несколько частных случаев теоремы ранее были доказаны Бернсайдом в 1897 году, Джорданом в 1898 году и Фробениусом в 1902 году. Джон Г. Томпсон указал, что доказательство, избегающее использования теории представлений, можно извлечь из его работы в 1960-х и 1970-х годах по теореме о N-группах , и это было явно сделано Гольдшмидтом (1970) для групп нечетного порядка и Бендером (1972) для групп четного порядка. Мацуяма (1973) упростил доказательства.

Доказательство

Следующее доказательство — с использованием большего количества информации, чем у Бернсайда — от противного . Пусть p ^a q ^b — наименьшее произведение двух простых степеней, такое, что существует неразрешимая группа G, порядок которой равен этому числу.

• G — простая группа с тривиальным центром , а a не равно нулю.

Если бы G имела нетривиальную собственную нормальную подгруппу H , то (ввиду минимальности G ) H и G / H были бы разрешимы, а значит, и G , что противоречило бы нашему предположению. Поэтому G проста.

Если бы a было равно нулю, G была бы конечной q-группой , следовательно, нильпотентной и, следовательно, разрешимой.

Аналогично, G не может быть абелевым, иначе он был бы разрешимым. Поскольку G прост, его центр должен быть тривиальным.

• Существует элемент g группы G , имеющий q ^d сопряженных элементов для некоторого d > 0.

По первому утверждению теоремы Силова , G имеет подгруппу S порядка p ^a . Поскольку S является нетривиальной p -группой, ее центр Z ( S ) нетривиален. Зафиксируем нетривиальный элемент . Число сопряженных элементов g равно индексу ее стабилизирующей подгруппы G _g , который делит индекс q ^b группы S (потому что S является подгруппой G _g ). Следовательно, это число имеет вид q ^d . Более того, целое число d строго положительно, поскольку g нетривиальна и, следовательно, не является центральной в G . ${\displaystyle g\in Z(S)}$

• Существует нетривиальное неприводимое представление ρ с характером χ, такое, что его размерность n не делится на q , а комплексное число χ ( g ) не равно нулю.

Пусть ( χ _i ) _{1 ≤  i  ≤  h} — семейство неприводимых характеров группы G над (здесь χ ₁ обозначает тривиальный характер). Поскольку g не находится в том же классе сопряженности, что и 1, отношение ортогональности для столбцов таблицы характеров группы дает: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\sum _{i=2}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g).}$

Теперь χ _i ( g ) являются алгебраическими целыми числами , поскольку они являются суммами корней из единицы . Если все нетривиальные неприводимые характеры, которые не обращаются в нуль в g, принимают значение, делящееся на q в 1, мы выводим, что

${\displaystyle -{\frac {1}{q}}=\sum _{i\geq 2,~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)}$

является алгебраическим целым числом (поскольку является суммой целых кратных алгебраических целых чисел), что абсурдно. Это доказывает утверждение.

• Комплексное число q ^d χ ( g )/ n является целым алгебраическим числом.

Множество целочисленных функций класса на G , Z ( [ G ]), является коммутативным кольцом , конечно порожденным над . Таким образом, все его элементы целы над , в частности отображение u , которое принимает значение 1 на классе сопряженности g и 0 в других местах. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Отображение , которое отправляет функцию класса f в ${\displaystyle A\colon Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s)\rho (s)}$

является кольцевым гомоморфизмом. Поскольку для всех s , лемма Шура подразумевает, что является гомотетией . Его след nλ равен ${\displaystyle \rho (s)^{-1}A(u)\rho (s)=A(u)}$ ${\displaystyle A(u)}$ ${\displaystyle \lambda I_{n}}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s)\chi (s)=q^{d}\chi (g).}$

Поскольку гомотетия λI _n является гомоморфным образом целого элемента, это доказывает, что комплексное число λ =  q ^d χ ( g )/ n является алгебраическим целым числом.

• Комплексное число χ ( g )/ n является целым алгебраическим числом.

Поскольку q взаимно просто с n , по тождеству Безу существуют два целых числа x и y, такие что:

${\displaystyle xq^{d}+yn=1\quad {\text{therefore}}\quad {\frac {\chi (g)}{n}}=x{\frac {q^{d}\chi (g)}{n}}+y\chi (g).}$

Поскольку линейная комбинация с целыми коэффициентами алгебраических целых чисел снова является алгебраическим целым числом, это доказывает утверждение.

• Образ g при представлении ρ является гомотетией.

Пусть ζ будет комплексным числом χ ( g )/ n . Это алгебраическое целое число, поэтому его норма N ( ζ ) (т. е. произведение его сопряженных элементов , то есть корней его минимального многочлена над ) является ненулевым целым числом. Теперь ζ является средним значением корней единицы (собственных значений ρ ( g )), следовательно, то же самое относится и к его сопряженным элементам, поэтому все они имеют абсолютное значение, меньшее или равное 1. Поскольку абсолютное значение их произведения N ( ζ ) больше или равно 1, их абсолютное значение должно быть равно 1, в частности ζ , что означает, что все собственные значения ρ ( g ) равны, поэтому ρ ( g ) является гомотетией. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Заключение

Пусть N — ядро ​​ρ . Гомотетия ρ ( g ) является центральной в Im( ρ ) (которая канонически изоморфна G / N ), тогда как g не является центральной в G . Следовательно, нормальная подгруппа N простой группы G нетривиальна, а значит, равна G , что противоречит тому факту, что ρ — нетривиальное представление.

Это противоречие доказывает теорему.

Ссылки

• ^{Бендер, Хельмут (1972), «Теоретико-групповое доказательство p a} q ^b -теоремы Бернсайда », Mathematische Zeitschrift , 126 (4): 327–338, doi :10.1007/bf01110337, MR  0322048, S2CID  119821947
• Бернсайд, У. (1904), «О группах порядка pαqβ», Труды Лондонского математического общества (s2-1 (1)): 388–392, doi :10.1112/plms/s2-1.1.388
• Гольдшмидт, Дэвид М. (1970), «Теоретико-групповое доказательство теоремы p ^a q ^b для нечетных простых чисел», Mathematische Zeitschrift , 113 (5): 373–375, doi :10.1007/bf01110506, MR  0276338, S2CID  123625253
• Джеймс, Гордон; и Либек, Мартин (2001). Представления и характеристики групп (2-е изд.) Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-X . См. главу 31. 
• Мацуяма, Хироси (1973), «Разрешимость групп порядка 2 ^a q ^b .», Osaka Journal of Mathematics , 10 : 375–378, MR  0323890