Соотношения ортогональности Шура

В математике соотношения ортогональности Шура , доказанные Иссаем Шуром с помощью леммы Шура , выражают центральный факт о представлениях конечных групп . Они допускают обобщение на случай компактных групп в целом и, в частности, компактных групп Ли , таких как группа вращений SO(3) .

Конечные группы

Внутреннее утверждение

Пространство комплекснозначных функций класса конечной группы G имеет естественное скалярное произведение :

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

где обозначает комплексное сопряжение значения на g . Относительно этого внутреннего произведения неприводимые характеры образуют ортонормированный базис для пространства функций класса, и это дает отношение ортогональности для строк таблицы характеров: ${\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Для , применение того же внутреннего произведения к столбцам таблицы символов дает: ${\displaystyle g,h\in G}$

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

где сумма берется по всем неприводимым характерам , а обозначает порядок централизатора . Обратите внимание, что поскольку g и h сопряжены тогда и только тогда, когда они находятся в одном столбце таблицы характеров, это означает , что столбцы таблицы характеров ортогональны . ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$ ${\displaystyle g}$

Соотношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

• разложение неизвестного символа в виде линейной комбинации неприводимых символов;
• построение полной таблицы символов, когда известны только некоторые из неприводимых символов;
• нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы; и
• нахождение порядка группы.

Координаты заявления

Пусть — матричный элемент неприводимого матричного представления конечной группы порядка | G |. Поскольку можно доказать, что любое матричное представление любой конечной группы эквивалентно унитарному представлению , мы предполагаем, что является унитарным: ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ ${\displaystyle G=\{R\}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,}$

где — (конечная) размерность неприводимого представления . ^[1] ${\displaystyle l_{\lambda }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$

Соотношения ортогональности , справедливые только для матричных элементов неприводимых представлений, следующие:

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.}$

Здесь — комплексно сопряженное число и сумма берется по всем элементам G . Дельта Кронекера равна 1, если матрицы находятся в одном и том же неприводимом представлении . Если и не эквивалентны, то она равна нулю. Две другие дельты Кронекера утверждают, что индексы строк и столбцов должны быть равны ( и ), чтобы получить неисчезающий результат. Эта теорема также известна как Великая (или Гранд) теорема об ортогональности. ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,}$ ${\displaystyle \delta _{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}}$ ${\displaystyle n=n'}$ ${\displaystyle m=m'}$

Каждая группа имеет представление тождества (все элементы группы отображаются в 1). Это неприводимое представление. Великие отношения ортогональности немедленно подразумевают, что

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0}$

для и любого неприводимого представления, не равного тождественному представлению. ${\displaystyle n,m=1,\ldots ,l_{\mu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}\,}$

Пример группы перестановок на 3 объектах

3! перестановок трех объектов образуют группу порядка 6, обычно обозначаемую S ₃ ( симметричная группа степени три). Эта группа изоморфна точечной группе , состоящей из оси вращения третьего порядка и трех вертикальных зеркальных плоскостей. Группы имеют двумерное неприводимое представление ( l = 2). В случае S ₃ это представление обычно обозначают таблицей Юнга , а в случае обычно пишут . В обоих случаях представление состоит из следующих шести действительных матриц, каждая из которых представляет один элемент группы: ^[2] ${\displaystyle C_{3v}}$ ${\displaystyle \lambda =[2,1]}$ ${\displaystyle C_{3v}}$ ${\displaystyle \lambda =E}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

Нормализация элемента (1,1):

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.}$

Таким же образом можно показать нормализацию других элементов матрицы: (2,2), (1,2) и (2,1). Ортогональность элементов (1,1) и (2,2):

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.}$

Аналогичные соотношения справедливы для ортогональности элементов (1,1) и (1,2) и т. д. На примере легко проверяется, что все суммы соответствующих матричных элементов равны нулю ввиду ортогональности данного неприводимого представления тождественному представлению.

Прямые последствия

След матрицы — это сумма диагональных элементов матрицы,

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}.}$

Совокупность следов — это характер представления. Часто пишут для следа матрицы в неприводимом представлении с характером ${\displaystyle \chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}}$ ${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}}$

${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right).}$

В этой нотации можно записать несколько символьных формул:

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,}$

что позволяет нам проверить, является ли представление неприводимым. (Формула означает, что строки в любой таблице символов должны быть ортогональными векторами.) И

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,}$

что помогает нам определить, как часто неприводимое представление содержится внутри приводимого представления с характером . ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$ ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle \chi (R)}$

Например, если

${\displaystyle n^{(\lambda )}\,|G|=96}$

и порядок группы

${\displaystyle |G|=24\,}$

то число раз, которое содержится в данном приводимом представлении, равно ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}\,}$ ${\displaystyle \Gamma \,}$

${\displaystyle n^{(\lambda )}=4\,.}$

Более подробную информацию о групповых персонажах см. в разделе «Теория персонажей» .

Компактные группы

Обобщение соотношений ортогональности с конечных групп на компактные группы (включая компактные группы Ли, такие как SO(3)) в принципе просто: замените суммирование по группе интегрированием по группе.

Каждая компактная группа имеет единственную биинвариантную меру Хаара , так что объем группы равен 1. Обозначим эту меру через . Пусть будет полным набором неприводимых представлений , и пусть будет матричным коэффициентом представления . Тогда соотношения ортогональности можно сформулировать в двух частях: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle (\pi ^{\alpha })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{v,w}^{\alpha }(g)=\langle v,\pi ^{\alpha }(g)w\rangle }$ ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

1) Если тогда ${\displaystyle \pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }}$

${\displaystyle \int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0}$

2) Если — ортонормированный базис пространства представления , то ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

${\displaystyle \int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g){\overline {\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)}}dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}{\frac {1}{d^{\alpha }}}}$

где — размерность . Эти соотношения ортогональности и тот факт, что все представления имеют конечные размерности, являются следствиями теоремы Петера–Вейля . ${\displaystyle d^{\alpha }}$ ${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

Пример: SO(3)

Примером группы параметров r = 3 является матричная группа SO(3), состоящая из всех 3 × 3 ортогональных матриц с единичным определителем . Возможная параметризация этой группы осуществляется в терминах углов Эйлера: (см., например, эту статью для получения явного вида элемента SO(3) в терминах углов Эйлера). Границы таковы и . ${\displaystyle \mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \beta \leq \pi }$

От выбранных параметров зависит не только рецепт вычисления элемента объема , но и конечный результат, т. е. аналитическая форма весовой функции (меры) . ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}}$ ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )}$

Например, параметризация угла Эйлера SO(3) дает вес, тогда как параметризация n, ψ дает вес с ${\displaystyle \omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,}$ ${\displaystyle \omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,}$ ${\displaystyle 0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi .}$

Можно показать, что неприводимые матричные представления компактных групп Ли являются конечномерными и могут быть выбраны унитарными:

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.}$

С помощью сокращенной записи

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}}$

отношения ортогональности принимают вид

${\displaystyle \int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},}$

с объемом группы:

${\displaystyle |G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.}$

В качестве примера отметим, что неприводимые представления SO(3) являются D-матрицами Вигнера , имеющими размерность . Поскольку ${\displaystyle D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )}$ ${\displaystyle 2\ell +1}$

${\displaystyle |\mathrm {SO} (3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},}$

они удовлетворяют

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.}$

Примечания

1. Конечность следует из того факта, что любое неприводимое представление конечной группы G содержится в регулярном представлении . ${\displaystyle l_{\lambda }}$
2. Этот выбор не является единственным; любое ортогональное преобразование подобия, примененное к матрицам, дает допустимое неприводимое представление.

Ссылки

Любая физически или химически ориентированная книга по теории групп упоминает соотношения ортогональности. Следующие более продвинутые книги дают доказательства:

• М. Хамермеш, Теория групп и ее применение к физическим проблемам , Эддисон-Уэсли, Рединг (1962). (Переиздано Довером).
• У. Миллер-младший, Группы симметрии и их приложения , Academic Press, Нью-Йорк (1972).
• Дж. Ф. Корнуэлл, Теория групп в физике , (Три тома), Том 1, Academic Press, Нью-Йорк (1997).

В следующих книгах дается более математически ориентированное изложение:

• Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 13-20. ISBN 0387901906. ISSN  0072-5285. OCLC  2202385.
• Сенгупта, Амбар Н. (2012). Представление конечных групп, полупростое введение. Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC  875741967.