Функция класса

В математике , особенно в областях теории групп и теории представлений групп , функция класса — это функция на группе G , которая постоянна на классах сопряженности G. Другими словами, она инвариантна относительно отображения сопряжения на  G. Такие функции играют основную роль в теории представлений .

Персонажи

Характер линейного представления G над полем K всегда является функцией класса со значениями в K. Функции класса образуют центр группового кольца K [ G ] . Здесь функция класса f отождествляется с элементом . ${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g}$

Внутренние продукты

Множество функций класса группы G со значениями в поле K образует K - векторное пространство . Если G конечна и характеристика поля не делит порядок G , то на этом пространстве определено скалярное произведение, определяемое соотношением где | G | обозначает порядок G , а черта — сопряжение в поле K. Множество неприводимых характеров G образует ортогональный базис , а если K — поле расщепления для G , например, если K алгебраически замкнуто , то неприводимые характеры образуют ортонормированный базис . ${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\phi (g){\overline {\psi (g)}}}$

В случае компактной группы и поля комплексных чисел K  =  C понятие меры Хаара позволяет заменить указанную выше конечную сумму интегралом: ${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int _{G}\phi (t){\overline {\psi (t)}}\,dt.}$

Когда K — действительные числа или комплексные числа, скалярное произведение представляет собой невырожденную эрмитову билинейную форму .

Смотрите также

• Теорема Брауэра о индуцированных характерах

Ссылки

• Жан-Пьер Серр , Линейные представления конечных групп , Graduate Texts in Mathematics 42 , Springer-Verlag, Берлин, 1977.