В математике термин максимальная подгруппа используется для обозначения несколько разных вещей в разных областях алгебры .
В теории групп максимальная подгруппа H группы G — это собственная подгруппа , такая, что никакая собственная подгруппа K не содержит H строго. Другими словами, H — максимальный элемент частично упорядоченного множества подгрупп группы G , которые не равны G. Максимальные подгруппы представляют интерес из-за их прямой связи с примитивными перестановочными представлениями группы G. Они также широко изучаются в целях теории конечных групп : см., например, подгруппу Фраттини , пересечение максимальных подгрупп.
В теории полугрупп максимальная подгруппа полугруппы S — это подгруппа (то есть подполугруппа, которая образует группу при операции полугруппы) полугруппы S , которая не содержится собственно в другой подгруппе S. Обратите внимание, что здесь нет требования, чтобы максимальная подгруппа была собственной, поэтому, если S на самом деле является группой, то ее единственная максимальная подгруппа (как полугруппа) — это сама S. Рассмотрение подгрупп, и в частности максимальных подгрупп, полугрупп часто позволяет применять методы теории групп в теории полугрупп. [ необходима цитата ] Существует взаимно-однозначное соответствие между идемпотентными элементами полугруппы и максимальными подгруппами полугруппы: каждый идемпотентный элемент является единичным элементом уникальной максимальной подгруппы.
Любая собственная подгруппа конечной группы содержится в некоторой максимальной подгруппе, поскольку собственные подгруппы образуют конечное частично упорядоченное множество по включению. Однако существуют бесконечные абелевы группы , не содержащие максимальных подгрупп, например группа Прюфера .
Аналогично, нормальная подгруппа N группы G называется максимальной нормальной подгруппой (или максимальной собственной нормальной подгруппой) группы G, если N < G и не существует нормальной подгруппы K группы G , такой что N < K < G. Имеет место следующая теорема:
Эти диаграммы Хассе показывают решетки подгрупп симметрической группы S 4 , диэдральной группы D 4 и C 2 3 , третьей прямой степени циклической группы C 2 .
Максимальные подгруппы связаны с самой группой (вверху диаграммы Хассе) ребром диаграммы Хассе.