stringtranslate.com

Нормальная подгруппа

В абстрактной алгебре нормальная подгруппа ( также известная как инвариантная подгруппа или самосопряженная подгруппа ) [1] — это подгруппа , которая инвариантна относительно сопряжения членами группы , частью которой она является. Другими словами, подгруппа группы является нормальной в тогда и только тогда, когда для всех и . Обычное обозначение для этого отношения — .

Нормальные подгруппы важны, поскольку они (и только они) могут быть использованы для построения факторгрупп данной группы. Более того, нормальные подгруппы группы являются в точности ядрами групповых гомоморфизмов с областью определения , что означает, что их можно использовать для внутренней классификации этих гомоморфизмов.

Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп. [2]

Определения

Подгруппа группы называется нормальной подгруппой группы , если она инвариантна относительно сопряжения ; то есть сопряжение элемента группы с элементом группы всегда выполняется в . [3] Обычное обозначение для этого отношения — .

Эквивалентные условия

Для любой подгруппы группы следующие условия эквивалентны тому, чтобы быть нормальной подгруппой группы . Поэтому любое из них можно принять за определение.

Примеры

Для любой группы , тривиальная подгруппа, состоящая только из единичного элемента из , всегда является нормальной подгруппой . Аналогично, сама по себе всегда является нормальной подгруппой . (если это единственные нормальные подгруппы, то говорят, что она проста ). [6] Другие именованные нормальные подгруппы произвольной группы включают центр группы (множество элементов, которые коммутируют со всеми другими элементами) и коммутантную подгруппу . [7] [8] В более общем смысле, поскольку сопряжение является изоморфизмом, любая характеристическая подгруппа является нормальной подгруппой. [9]

Если — абелева группа , то каждая подгруппа из нормальна, поскольку . В более общем смысле, для любой группы каждая подгруппа центра из нормальна в (в частном случае, когда группа абелева, центром являются все группы , отсюда следует, что все подгруппы абелевой группы нормальны). Группа, которая не является абелевой, но для которой каждая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой группой . [10]

Конкретным примером нормальной подгруппы является подгруппа симметрической группы , состоящая из единицы и обоих трициклов. В частности, можно проверить, что каждый смежный класс либо равен самому себе, либо равен . С другой стороны, подгруппа не является нормальной в , поскольку . [11] Это иллюстрирует общий факт, что любая подгруппа индекса два является нормальной.

В качестве примера нормальной подгруппы в матричной группе рассмотрим общую линейную группу всех обратимых матриц с действительными элементами относительно операции умножения матриц и ее подгруппу всех матриц определителя 1 ( специальную линейную группу ). Чтобы понять, почему подгруппа является нормальной в , рассмотрим любую матрицу в и любую обратимую матрицу . Затем, используя два важных тождества и , получаем, что , и поэтому также. Это означает замкнуто относительно сопряжения в , поэтому это нормальная подгруппа. [a]

В группе кубика Рубика подгруппы, состоящие из операций, которые влияют только на ориентацию угловых или рёберных элементов, являются нормальными. [12]

Группа трансляций является нормальной подгруппой евклидовой группы в любой размерности. [13] Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует трансляция, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перенос. Напротив, подгруппа всех вращений вокруг начала координат не является нормальной подгруппой евклидовой группы, пока размерность не менее 2: сначала перенос, затем вращение вокруг начала координат, а затем обратный перенос, как правило, не фиксируют начало координат и, следовательно, не будут иметь того же эффекта, что и одиночный поворот вокруг начала координат.

Характеристики

Решетка нормальных подгрупп

Если даны две нормальные подгруппы и , то их пересечение и их произведение также являются нормальными подгруппами .

Нормальные подгруппы группы образуют решетку относительно включения подмножеств с наименьшим элементом , и наибольшим элементом , . Пересечение двух нормальных подгрупп и в этой решетке является их пересечением, а соединение — их произведением.

Решетка является полной и модульной . [20]

Нормальные подгруппы, факторгруппы и гомоморфизмы

Если — нормальная подгруппа, то можно определить умножение на смежных классах следующим образом: Это отношение определяет отображение . Чтобы показать, что это отображение корректно определено, нужно доказать, что выбор репрезентативных элементов не влияет на результат. Для этого рассмотрим некоторые другие репрезентативные элементы . Тогда существуют такие, что . Отсюда следует, что где мы также использовали тот факт, что — нормальная подгруппа, и, следовательно, существует такое, что . Это доказывает, что это произведение является корректно определенным отображением между смежными классами.

При этой операции множество смежных классов само является группой, называемой факторгруппой и обозначаемой Существует естественный гомоморфизм , , заданный формулой . Этот гомоморфизм отображается в единичный элемент , который является смежным классом , [23] то есть .

В общем случае гомоморфизм групп переводит подгруппы из в подгруппы из . Кроме того, прообраз любой подгруппы из является подгруппой из . Мы называем прообраз тривиальной группы в ядре гомоморфизма и обозначаем его через . Как оказывается, ядро ​​всегда нормально, а образ , всегда изоморфен ( первая теорема об изоморфизме ). [24] Фактически, это соответствие является биекцией между множеством всех фактор-групп , , и множеством всех гомоморфных образов ( с точностью до изоморфизма). [25] Также легко видеть, что ядро ​​фактор-отображения , является им самим, поэтому нормальные подгруппы являются в точности ядрами гомоморфизмов с областью определения . [26]

Смотрите также

Операции по переводу подгрупп в подгруппы

Свойства подгруппы, дополнительные (или противоположные) нормальности

Свойства подгруппы сильнее нормальности

Свойства подгруппы слабее нормы

Связанные понятия в алгебре

Примечания

  1. ^ Другими словами: является гомоморфизмом из в мультипликативную подгруппу , а является ядром. Оба аргумента также работают над комплексными числами , или даже над произвольным полем .

Ссылки

  1. ^ Брэдли 2010, стр. 12.
  2. ^ abc Cantrell 2000, стр. 160.
  3. ^ Даммит и Фут 2004.
  4. ^ abcd Хангерфорд 2003, стр. 41.
  5. ^ Фрейли 2003, стр. 141.
  6. ^ Робинсон 1996, стр. 16.
  7. ^ Хангерфорд 2003, стр. 45.
  8. ^ Холл 1999, стр. 138.
  9. Холл 1999, стр. 32.
  10. ^ Холл 1999, стр. 190.
  11. ^ Джадсон 2020, Раздел 10.1.
  12. ^ Бергвалл и др. 2010, с. 96.
  13. ^ Терстон 1997, стр. 218.
  14. ^ Хангерфорд 2003, стр. 42.
  15. ^ Робинсон 1996, стр. 17.
  16. ^ Робинсон 1996, стр. 28.
  17. ^ Робинсон 1996, стр. 402.
  18. ^ Хангерфорд 2013, стр. 290.
  19. ^ ab Hall 1999, стр. 29.
  20. ^ ab Hungerford 2003, стр. 46.
  21. ^ Робинсон 1996, стр. 36.
  22. ^ Дымõси и Неханив 2004, с. 7.
  23. ^ Хангерфорд 2003, стр. 42–43.
  24. ^ Хангерфорд 2003, стр. 44.
  25. ^ Робинсон 1996, стр. 20.
  26. Холл 1999, стр. 27.

Библиография

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки