Ядро (алгебра)

В алгебре ядро гомоморфизма ( функция , сохраняющая структуру ) обычно является прообразом 0 (за исключением групп , операция которых обозначается мультипликативно, где ядро является прообразом 1) . Важным частным случаем является ядро линейного отображения . Ядро матрицы , также называемое нулевым пространством , является ядром линейного отображения, определяемого матрицей.

Ядро гомоморфизма сводится к 0 (или 1) тогда и только тогда, когда гомоморфизм инъективен , то есть если прообраз каждого элемента состоит из одного элемента. Это означает, что ядро можно рассматривать как меру степени неинъективности гомоморфизма. ^[1]

Для некоторых типов структур, таких как абелевы группы и векторные пространства , возможными ядрами являются в точности подструктуры того же типа. Это не всегда так, и иногда возможные ядра получили специальное название, например, нормальная подгруппа для групп и двусторонние идеалы для колец .

Ядра позволяют определять факторобъекты (также называемые факторалгебрами в универсальной алгебре и коядрами в теории категорий ). Для многих типов алгебраических структур фундаментальная теорема о гомоморфизмах (или первая теорема об изоморфизме ) утверждает, что образ гомоморфизма изоморфен фактору по ядру.

Понятие ядра было расширено на структуры, в которых прообраза единственного элемента недостаточно для принятия решения о том, является ли гомоморфизм инъективным. В этих случаях ядром является отношение конгруэнтности .

Эта статья представляет собой обзор некоторых важных типов ядер в алгебраических структурах.

Обзор примеров

Линейные карты

Пусть V и W — векторные пространства над полем (или, в более общем смысле, модули над кольцом ) , и пусть T — линейное отображение из V в W. Если 0 _W — нулевой вектор W , то ядро T — прообраз нулевого подпространства { 0 _W }; то есть подмножество V , состоящее из всех тех элементов V , которые отображаются T в элемент 0 _W . Ядро обычно обозначается как ker T или его разновидность:

\ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v})=\mathbf {0} _{W}\}.

Поскольку линейное отображение сохраняет нулевые векторы, нулевой вектор 0 _V карты V должен принадлежать ядру. Преобразование T инъективно тогда и только тогда, когда его ядро сведено к нулевому подпространству.

Ядро ker T всегда является линейным подпространством V . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-пространстве V /(ker T ) . Первая теорема об изоморфизме векторных пространств утверждает , что это факторпространство естественно изоморфно образу T (который является подпространством W ). Как следствие, размерность V равна размерности ядра плюс размер изображения.

Если V и W конечномерны и базы выбраны, то T можно описать матрицей M , а ядро можно вычислить путем решения однородной системы линейных уравнений M v = 0 . В этом случае ядро T может быть отождествлено с ядром матрицы M , также называемым «нулевым пространством» M. Размерность нулевого пространства, называемая нульностью M , определяется количеством столбцов M минус ранг M , как следствие теоремы о ранге - пустоте .

Решение однородных дифференциальных уравнений часто сводится к вычислению ядра некоторых дифференциальных операторов . Например, чтобы найти все дважды дифференцируемые функции f от вещественной прямой до самой себя такие, что

xf''(x)+3f'(x)=f(x),

пусть V — пространство всех дважды дифференцируемых функций, пусть W — пространство всех функций и определим линейный оператор T из V в W формулой

(Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)

для f в V и x произвольное действительное число . Тогда все решения дифференциального уравнения находятся в ker T .

Аналогичным образом можно определить ядра гомоморфизмов между модулями над кольцом . Сюда входят ядра гомоморфизмов между абелевыми группами как частный случай. Этот пример отражает суть ядер в общих абелевых категориях ; см. Ядро (теория категорий) .

Групповые гомоморфизмы

Пусть G и H — группы , и пусть f — групповой гомоморфизм из G в H . Если e _H является единичным элементом H , то ядро f является прообразом одноэлементного множества { e _H } ; то есть подмножество G , состоящее из всех тех элементов G , которые отображаются с помощью f в элемент e _H .

Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант). В символах:

\ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.

Поскольку гомоморфизм группы сохраняет единичные элементы, единичный элемент e _G группы G должен принадлежать ядру.

Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество { _eG } . Если бы f не был инъективным, то неинъективные элементы могли бы образовывать отдельные элементы его ядра: существовали бы a , b ∈ G такие, что a ≠ b и f ( a ) = f ( b ) . Таким образом, ж ( а ) ж ( б ) ^{−1 знак} равно е _ЧАС . f — групповой гомоморфизм, поэтому обратные и групповые операции сохраняются, что дает f ( ab ⁻¹ ) = e _H ; другими словами, ab ⁻¹ ∈ ker f и ker f не будет одноэлементным. И наоборот, различные элементы ядра напрямую нарушают инъективность: если бы существовал элемент g ≠ e _G ∈ ker f , то f ( g ) = f ( e _G ) = e _H , таким образом, f не был бы инъективным.

ker f — подгруппа группы G и, кроме того, нормальная подгруппа . Таким образом, существует соответствующая факторгруппа G /(ker f ) . Это изоморфно f ( G ), образу G под f (который также является подгруппой H ), согласно первой теореме об изоморфизме для групп.

В частном случае абелевых групп никаких отклонений от предыдущего раздела нет.

Пример

Пусть G — циклическая группа на 6 элементах {0, 1, 2, 3, 4, 5} с модулярным сложением , H — циклическая группа на 2 элементах {0, 1} с модулярным сложением, а f — гомоморфизм, отображающий каждый элемент g в G к элементу g по модулю 2 в H . Тогда ker f = {0, 2, 4} , поскольку все эти элементы отображаются в 0 _H.Факторгруппа G /(ker f ) состоит из двух элементов: {0, 2, 4} и {1, 3, 5} . Он действительно изоморфен H .

Кольцевые гомоморфизмы

Пусть R и S — кольца (предполагаемые едиными ), и пусть f — гомоморфизм колец из R в S. Если 0 _S — нулевой элемент S , то ядро f — это его ядро как линейное отображение целых чисел или, что то же самое, как аддитивные группы . Это прообраз нулевого идеала {0 _S }, то есть подмножества R , состоящего из всех тех элементов R , которые отображаются с помощью f в элемент 0 _S . Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант). В символах:

\operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.

Поскольку гомоморфизм колец сохраняет нулевые элементы, нулевой элемент 0 _R кольца R должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество {0 _R }. Это всегда так, если R — поле , а S — не нулевое кольцо .

Поскольку ker f содержит мультипликативную единицу только тогда, когда S — нулевое кольцо, то оказывается, что ядро, вообще говоря, не является подкольцом кольца R. Ядро — это подкольцо R , а точнее, двусторонний идеал кольца R. Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-кольце R /(ker f ) . Первая теорема об изоморфизме колец утверждает, что это факторкольцо естественно изоморфно образу f (который является подкольцом S ). (Обратите внимание, что для определения ядра кольца не обязательно должны быть единичными).

В какой-то степени это можно рассматривать как частный случай ситуации для модулей, поскольку все они являются бимодулями над кольцом R :

сам Р ;
любой двусторонний идеал R (например, ker f );
любое фактор-кольцо R (например, R /(ker f ) ); и
кодобласть любого кольцевого гомоморфизма, областью определения которого является R (например, S , кодобласть f ).

Однако теорема об изоморфизме дает более сильный результат, поскольку изоморфизмы колец сохраняют умножение, а изоморфизмы модулей (даже между кольцами), как правило, этого не делают.

Этот пример отражает суть ядер в общих алгебрах Мальцева .

Моноидные гомоморфизмы

Пусть M и N — моноиды , и пусть f — гомоморфизм моноида из M в N . Тогда ядро f — это подмножество прямого произведения M × M , состоящее из всех тех упорядоченных пар элементов M , оба компонента которых отображаются с помощью f в один и тот же элемент из N. Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант). В символах:

\operatorname {ker} f=\left\{\left(m,m'\right)\in M\times M:f(m)=f\left(m'\right)\right\}.

Поскольку f — функция , элементы вида ( m , m ) должны принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только диагональное множество {( m , m ) : m в M } .

Оказывается, что ker f является отношением эквивалентности на M и фактически отношением конгруэнтности . Таким образом, имеет смысл говорить о фактормоноиде M /(ker f ) . Первая теорема об изоморфизме для моноидов утверждает , что этот фактормоноид естественно изоморфен образу f (который является субмоноидом N ; для отношения конгруэнции).

Это сильно отличается по вкусу от приведенных выше примеров. В частности, прообраза единичного элемента N недостаточно для определения ядра f .

Универсальная алгебра

Все перечисленные случаи могут быть объединены и обобщены в универсальной алгебре .

Общий случай

Пусть A и B — алгебраические структуры данного типа и пусть f — гомоморфизм этого типа из A в B. Тогда ядро f — это подмножество прямого произведения A × A , состоящее из всех тех упорядоченных пар элементов A , оба компонента которых отображаются с помощью f в один и тот же элемент в B . Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант). В символах:

\operatorname {ker} f=\left\{\left(a,a'\right)\in A\times A:f(a)=f\left(a'\right)\right\}{\mbox{.}}

Поскольку f — функция , элементы вида ( a , a ) должны принадлежать ядру.

Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядро представляет собой в точности диагональное множество {( a , a ) : a ∈ A } .

Легко видеть, что ker f является отношением эквивалентности на A и фактически отношением конгруэнтности . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-алгебре A /(ker f ) . Первая теорема об изоморфизме в общей универсальной алгебре утверждает , что эта факторалгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй B ).

Обратите внимание, что определение ядра здесь (как и в примере с моноидом) не зависит от алгебраической структуры; это чисто теоретико- множественная концепция. Дополнительную информацию об этой общей концепции за пределами абстрактной алгебры см. в разделе «Ядро функции» .

Алгебры Мальцева

В случае алгебр Мальцева эту конструкцию можно упростить. Каждая алгебра Мальцева имеет специальный нейтральный элемент ( нулевой вектор в случае векторных пространств , единичный элемент в случае коммутативных групп и нулевой элемент в случае колец или модулей). Характерной особенностью алгебры Мальцева является то, что мы можем восстановить все отношение эквивалентности ker f по классу эквивалентности нейтрального элемента.

Точнее, пусть A и B — алгебраические структуры Мальцева данного типа, и пусть f — гомоморфизм этого типа из A в B . Если e _B является нейтральным элементом B , то ядро f является прообразом одноэлементного множества { e _B }; то есть подмножество A , состоящее из всех тех элементов A , которые отображаются с помощью f в элемент e _B . Ядро обычно обозначается ker f (или его вариант). В символах:

\operatorname {ker} f=\{a\in A:f(a)=e_{B}\}.

Поскольку гомоморфизм алгебры Мальцева сохраняет нейтральные элементы, единичный элемент e _A группы A должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество { e _A }.

Понятие идеала обобщается на любую алгебру Мальцева (как линейное подпространство в случае векторных пространств, нормальную подгруппу в случае групп, двусторонние идеалы в случае колец и подмодуль в случае модулей ). Оказывается, ker f не является подалгеброй в A , но является идеалом. Тогда имеет смысл говорить о фактор-алгебре G /(ker f ) . Первая теорема об изоморфизме алгебр Мальцева утверждает, что эта факторалгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй B ).

Связь между этим соотношением и соотношением конгруэнтности для более общих типов алгебр следующая. Во-первых, ядро-как-идеал — это класс эквивалентности нейтрального элемента e _A относительно ядра-как-конгруэнции. Для обратного направления нам понадобится понятие фактора в алгебре Мальцева (которое представляет собой деление с обеих сторон для групп и вычитание для векторных пространств, модулей и колец). Используя это, элементы a и b из A эквивалентны относительно ядра-как-конгруэнции тогда и только тогда, когда их частное a / b является элементом ядра-как-идеала.

Алгебры с неалгебраической структурой

Иногда алгебры помимо своих алгебраических операций снабжены неалгебраической структурой. Например, можно рассмотреть топологические группы или топологические векторные пространства , которые снабжены топологией . В этом случае мы могли бы ожидать, что гомоморфизм f сохранит эту дополнительную структуру; в топологических примерах мы хотели бы, чтобы f было непрерывным отображением . Процесс может столкнуться с проблемой фактор-алгебр, которые могут вести себя не очень хорошо. В топологических примерах мы можем избежать проблем, потребовав, чтобы топологические алгебраические структуры были хаусдорфовыми (как это обычно делается); тогда ядро (как бы оно ни было построено) будет замкнутым множеством , и факторпространство будет работать нормально (а также будет Хаусдорфовым).

Ядра в теории категорий

Понятие ядра в теории категорий является обобщением ядер абелевых алгебр; см. Ядро (теория категорий) . Категориальным обобщением ядра как отношения конгруэнтности является пара ядер . (Существует также понятие разностного ядра или двоичного эквалайзера .)

Смотрите также

Примечания

^ См. Даммит и Фут (2004) и Ланг (2002).