Подкольцо

Подмножество кольца, которое само образует кольцо

В математике подкольцо кольца R — это подмножество кольца R , которое само является кольцом, когда бинарные операции сложения и умножения на R ограничены подмножеством, и которое имеет ту же мультипликативную идентичность , что и R. ^[a]

Определение

Подкольцо кольца ( R , +, *, 0, 1) — это подмножество S кольца R , сохраняющее структуру кольца, т. е. кольцо ( S , +, *, 0, 1) с S ⊆ R. Эквивалентно , это одновременно подгруппа ( R , + , 0) и подмоноид ( R , *, 1) .

Эквивалентно, S является подкольцом тогда и только тогда, когда оно содержит мультипликативную единицу R и замкнуто относительно умножения и вычитания. Иногда это называют тестом подкольца . ^[1]

Вариации

Некоторые математики определяют кольца, не требуя существования мультипликативного тождества (см. Кольцо (математика) § История ). В этом случае подкольцо R — это подмножество R , которое является кольцом для операций R (это подразумевает, что оно содержит аддитивное тождество R ). Это альтернативное определение дает строго более слабое условие, даже для колец, которые имеют мультипликативное тождество, в том смысле, что все идеалы становятся подкольцами, и они могут иметь мультипликативное тождество, отличное от тождества R . С определением, требующим мультипликативного тождества, которое используется в остальной части этой статьи, единственный идеал R , который является подкольцом R , — это само R.

Примеры

• Кольцо целых чисел является подкольцом как поля действительных чисел , так и кольца многочленов . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$и его факторы не имеют подколец (с мультипликативной идентичностью), кроме полного кольца. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

• Каждое кольцо имеет единственное наименьшее подкольцо, изоморфное некоторому кольцу с n — неотрицательным целым числом (см. Характеристика ). Целые числа соответствуют n = 0 в этом утверждении, поскольку изоморфно . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /0\mathbb {Z} }$

• Центр кольца R является подкольцом R , а R является ассоциативной алгеброй над своим центром.

• Кольцо расщепленных кватернионов имеет подкольца, изоморфные кольцам дуальных чисел и расщепленных комплексных чисел , а также полю комплексных чисел . ^{[ требуется ссылка ]} Поскольку эти кольца также являются действительными алгебрами, представленными квадратными матрицами , подкольца можно идентифицировать как подалгебры .

Подкольцо, созданное множеством

Особым видом подкольца кольца R является подкольцо, порождённое подмножеством X , которое определяется как пересечение всех подколец R , содержащих X. ^[3] Подкольцо, порождённое X , также является множеством всех линейных комбинаций с целыми коэффициентами элементов X , включая аддитивное тождество («пустое сочетание») и мультипликативное тождество («пустое произведение»). ^{[ необходима ссылка ]}

Любое пересечение подколец кольца R само является подкольцом кольца R ; следовательно, подкольцо, порожденное кольцом X (обозначаемое здесь как S ), действительно является подкольцом кольца R . Это подкольцо S является наименьшим подкольцом кольца R , содержащим X ; то есть, если T является любым другим подкольцом кольца R , содержащим X , то S ⊆ T .

Поскольку само кольцо R является подкольцом R , то если R порождается X , то говорят, что кольцо R порождается X.

Удлинитель кольца

Подкольца обобщают некоторые аспекты расширений полей . Если S является подкольцом кольца R , то эквивалентно R называется расширением кольца ^[b] кольца S.

Прилегающий

Если A — кольцо, а T — подкольцо A, порождённое R ∪ S , где R — подкольцо, то T — расширение кольца и называется S, присоединённым к R , обозначаемым R [ S ] . Отдельные элементы также могут быть присоединены к подкольцу, обозначаемому R [ a ₁ , a ₂ , ..., _an ] . [ ^{4] [3]}

Например, кольцо гауссовых целых чисел является подкольцом, порожденным , и, таким образом, является присоединением мнимой единицы i к . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Главное подкольцо

Пересечение всех подколец кольца R является подкольцом, которое можно назвать первичным подкольцом кольца R по аналогии с первичными полями .

Первичное подкольцо кольца R — это подкольцо центра кольца R , которое изоморфно либо кольцу целых чисел , либо кольцу целых чисел по модулю n , где n — наименьшее положительное целое число, такое что сумма n копий 1 равна 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смотрите также

• Интегральное расширение
• Расширение группы
• Алгебраическое расширение
• Расширение руды

Примечания

1. В общем случае не все подмножества кольца R являются кольцами.
2. Не путать с кольцевым аналогом расширения группы .

Ссылки

1. Даммит, Дэвид Стивен; Фут, Ричард Мартин (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. стр. 228. ISBN 0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк. С. 89–90. ISBN 978-0387953854.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)^{[ мертвая ссылка ‍ ]}
3. Lovett, Stephen (2015). «Кольца». Абстрактная алгебра: структуры и приложения . Boca Raton: CRC Press. стр. 216–217. ISBN 9781482248913.
4. Gouvêa, Fernando Q. (2012). «Кольца и модули». Руководство по группам, кольцам и полям . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 145. ISBN 9780883853559.

Общие ссылки

• Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . University Mathematical Texts. Оливер и Бойд. С. 14–16. ISBN 0-05-002192-3.
• Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Cambridge University Press . стр. 15–17. ISBN 0-521-33718-6.