Бинарная операция — это правило объединения аргументов и получения
В математике бинарная операция или диадическая операция — это правило объединения двух элементов (называемых операндами ) для создания другого элемента. Более формально, бинарная операция — это операция арности два .
Операцию арности два, включающую несколько наборов, иногда называют бинарной операцией . Например, скалярное умножение векторных пространств требует скаляра и вектора для создания вектора, а скалярное произведение требует двух векторов для создания скаляра. Такие бинарные операции также можно назвать бинарными функциями .
На множестве действительных чисел это бинарная операция , поскольку сумма двух действительных чисел является действительным числом.
На множестве натуральных чисел это бинарная операция , поскольку сумма двух натуральных чисел является натуральным числом. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
На множестве матриц с вещественными элементами это бинарная операция, поскольку сумма двух таких матриц является матрицей .
На множестве матриц с вещественными элементами это бинарная операция, поскольку произведение двух таких матриц является матрицей .
Для данного набора пусть будет набор всех функций . Определим для всех состав двух функций и в . Тогда это бинарная операция, поскольку композиция двух функций снова является функцией на множестве (то есть членом ).
Многие бинарные операции, представляющие интерес как в алгебре, так и в формальной логике, являются коммутативными , удовлетворяющими всем элементам и в , или ассоциативными , удовлетворяющими всем , и в . Многие из них также имеют элементы идентичности и обратные элементы .
Первые три примера выше являются коммутативными, и все приведенные выше примеры ассоциативны.
На множестве действительных чисел вычитание , то есть , является бинарной операцией, которая не является коммутативной, поскольку, вообще говоря, . Оно также не ассоциативно, поскольку, вообще говоря, ; например, но .
На множестве натуральных чисел возведение в степень двоичной операции , , не является коммутативным, поскольку (см. уравнение x y = y x ), а также не является ассоциативным, поскольку . Например, с , , и , , но . Изменяя набор на набор целых чисел , эта бинарная операция становится частично бинарной операцией, поскольку теперь не определено, когда и является любым отрицательным целым числом. Для любого набора эта операция имеет правую идентичность (которая равна ), поскольку для всех в наборе это не является идентичностью (двусторонняя идентичность), поскольку в общем случае.
Деление ( ), частичная двоичная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация ( ), как бинарная операция над натуральными числами, не является коммутативной или ассоциативной и не имеет единичного элемента.
Обозначения
Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксной записи , такой как , или (путем сопоставления без символа) , а не с помощью функциональной записи формы . Степени обычно также пишутся без оператора, но со вторым аргументом в виде надстрочного индекса .
Бинарные операции иногда записываются с использованием префиксной или (чаще) постфиксной записи, причем в обоих случаях скобки отсутствуют. Их еще называют соответственно польской нотацией и обратной польской нотацией .
Бинарные операции как троичные отношения
Бинарную операцию над множеством можно рассматривать как тернарное отношение на , то есть набор троек in for all и in .
Также скалярное произведение двух векторов отображается в , где – поле, а – векторное пространство над . Будет ли это рассматриваться как бинарная операция, зависит от авторов.
Магма (алгебра) - алгебраическая структура с бинарной операцией.
Оператор (программирование) - конструкция, связанная с математической операцией в компьютерных программах.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Тернарная операция - математическая операция, объединяющая три элемента для создания другого элемента.