Карта (математика)

Function, homomorphism, or morphism

Карта — это функция, например, ассоциация любой из четырех цветных фигур в X с ее цветом в Y.

В математике карта или отображение — это функция в общем смысле. ^[1] Эти термины, возможно, возникли в процессе создания географической карты : нанесения поверхности Земли на лист бумаги. ^[2]

Термин карта может использоваться для различения некоторых специальных типов функций, таких как гомоморфизмы . Например, линейная карта — это гомоморфизм векторных пространств , тогда как термин « линейная функция» может иметь это значение или может означать линейный многочлен . ^{[3] [4]} В теории категорий карта может относиться к морфизму . ^[2] Термин «преобразование» можно использовать взаимозаменяемо, ^[2] но преобразование часто относится к функции из множества в себя. Есть также несколько менее распространенных применений в логике и теории графов .

Карты как функции

Во многих разделах математики термин « карта» используется для обозначения функции , ^{[5] [6] [7]} иногда с определенным свойством, имеющим особое значение для этой отрасли. Например, «карта» — это « непрерывная функция » в топологии , « линейное преобразование » в линейной алгебре и т. д.

Некоторые авторы, такие как Серж Ланг , ^[8] используют термин «функция» только для обозначения карт, в которых кодомен представляет собой набор чисел (т.е. подмножество R или C ), и резервируют термин « отображение» для более общих функций.

Карты определенных видов являются предметом многих важных теорий. К ним относятся гомоморфизмы в абстрактной алгебре , изометрии в геометрии , операторы в анализе и представления в теории групп . ^[2]

В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции, используемую для создания дискретных динамических систем .

Частичное отображение — это частичная функция . Сопутствующая терминология, такая как домен , кодомен , инъективный и непрерывный , может одинаково применяться к картам и функциям с тем же значением. Все эти варианты использования могут применяться к «картам» как к общим функциям или как к функциям со специальными свойствами.

Как морфизмы

В теории категорий «карта» часто используется как синоним « морфизма » или «стрелки», которая является функцией, учитывающей структуру, и поэтому может подразумевать большую структуру, чем «функция». ^[9] Например, морфизм в конкретной категории (т.е. морфизм, который можно рассматривать как функцию) несет в себе информацию о своей области определения (источник морфизма) и его кодомене (цель ). В широко используемом определении функции — это подмножество, состоящее из всех пар для . В этом смысле функция не фиксирует набор , используемый в качестве кодомена; только диапазон определяется функцией. ${\displaystyle f:\,X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$

Смотрите также

• Применить функцию  — функция, которая сопоставляет функцию и ее аргументы со значением функции.
• Обозначение стрелки – например, , также известное как карта ${\displaystyle x\mapsto x+1}$
• Биекция, инъекция и сюръекция  - Свойства математических функций
• Гомеоморфизм  - отображение, сохраняющее все топологические свойства данного пространства.
• Список хаотичных карт
• Стрелка клена (↦) - обычно произносится как «сопоставляет»
• Группа классов отображения  - группа изотопических классов топологической группы автоморфизмов.
• Группа перестановок  - группа, операция которой представляет собой композицию перестановок.
• Регулярное отображение (алгебраическая геометрия)  - Морфизм алгебраических многообразий.

Рекомендации

1. Слова карта , отображение , соответствие и оператор часто используются как синонимы. Халмош 1970, с. 30. Некоторые авторы используют термин « функция» в более узком значении, а именно, как карту, применимую только к числам.
2. «Картография | математика». Британская энциклопедия . Проверено 6 декабря 2019 г.
3. Апостол, ТМ (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 35. ISBN 0-201-00288-4.
4. Стачо, Юрай (31 октября 2007 г.). «Функция, один к одному, на» (PDF) . cs.toronto.edu . Проверено 6 декабря 2019 г.
5. «Функции или отображение | Сопоставление обучения | Функция как особый вид отношения» . Математика Только математика . Проверено 6 декабря 2019 г.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Карта». mathworld.wolfram.com . Проверено 6 декабря 2019 г.
7. "Картографирование, математическое | Энциклопедия.com" . www.энциклопедия.com . Проверено 6 декабря 2019 г.
8. Ланг, Серж (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 83. ИСБН 0-201-04211-8.
9. Симмонс, Х. (2011). Введение в теорию категорий. Издательство Кембриджского университета. п. 2. ISBN 978-1-139-50332-7.

Цитируемые работы

• Халмос, Пол Р. (1970). Наивная теория множеств. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90092-6.

Внешние ссылки