Анализ — это раздел математики , занимающийся непрерывными функциями , пределами и связанными с ними теориями, такими как дифференцирование , интегрирование , мера , бесконечные последовательности , ряды и аналитические функции . [1] [2]
Эти теории обычно изучаются в контексте действительных и комплексных чисел и функций . Анализ развился из исчисления , которое включает в себя элементарные понятия и методы анализа. Анализ можно отличить от геометрии ; однако его можно применить к любому пространству математических объектов , имеющему определение близости ( топологическое пространство ) или определенных расстояний между объектами ( метрическое пространство ).
Математический анализ формально был разработан в 17 веке во время научной революции [3] , но многие из его идей восходят к более ранним математикам. Ранние результаты анализа неявно присутствовали на заре древнегреческой математики . Например, бесконечная геометрическая сумма подразумевается в парадоксе дихотомии Зенона . [4] (Строго говоря, суть парадокса заключается в отрицании существования бесконечной суммы.) Позже греческие математики , такие как Евдокс и Архимед, стали более явно, но неформально использовать концепции пределов и сходимости, когда они использовали метод исчерпания для вычисления площади и объема областей и твердых тел. [5] Явное использование бесконечно малых появляется в «Методе механических теорем» Архимеда , работе, заново открытой в 20 веке. [6] В Азии китайский математик Лю Хуэй в III веке нашей эры использовал метод истощения, чтобы найти площадь круга. [7] Судя по джайнской литературе, индуисты владели формулами суммы арифметических и геометрических рядов еще в 4 веке до нашей эры. [8] Ачарья Бхадрабаху использует сумму геометрической прогрессии в своей Кальпасутре в 433 году до н.э. [9]
Цзу Чунчжи в V веке разработал метод определения объема сферы , который позже будет назван принципом Кавальери . [10] В 12 веке индийский математик Бхаскара II использовал бесконечно малые числа и применил то, что сейчас известно как теорема Ролля . [11]
В 14 веке Мадхава из Сангамаграмы разработал бесконечные разложения в ряды, теперь называемые рядами Тейлора , таких функций, как синус , косинус , тангенс и арктангенс . [12] Наряду с разработкой рядов Тейлора для тригонометрических функций он также оценил величину погрешностей, возникающих в результате усечения этих рядов, и дал рациональную аппроксимацию некоторых бесконечных рядов. Его последователи из Школы астрономии и математики Кералы еще больше расширили его работы до 16 века.
Современные основы математического анализа были заложены в Европе 17 века. [3] Это началось, когда Ферма и Декарт разработали аналитическую геометрию , которая является предшественником современного исчисления. Метод адекватности Ферма позволил ему определить максимумы и минимумы функций, а также касательные кривых. [13] Публикация Декарта «Геометрии» в 1637 году, в которой была введена декартова система координат , считается установлением математического анализа. Несколько десятилетий спустя Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых , которое, благодаря стимулированию прикладных работ, продолжавшихся на протяжении XVIII века, переросло в такие темы анализа, как вариационное исчисление , обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных , анализ Фурье . и производящие функции . В этот период методы исчисления применялись для аппроксимации дискретных задач непрерывными.
В 18 веке Эйлер ввёл понятие математической функции . [14] Реальный анализ начал превращаться в самостоятельный предмет, когда Бернар Больцано представил современное определение непрерывности в 1816 году, [15] но работы Больцано не стали широко известны до 1870-х годов. В 1821 году Коши начал ставить исчисление на прочную логическую основу, отвергнув принцип общности алгебры, широко использовавшийся в более ранних работах, особенно Эйлера. Вместо этого Коши сформулировал исчисление в терминах геометрических идей и бесконечно малых . Таким образом, его определение непрерывности требовало, чтобы бесконечно малое изменение x соответствовало бесконечно малому изменению y . Он также ввел понятие последовательности Коши и положил начало формальной теории комплексного анализа . Пуассон , Лиувилл , Фурье и другие изучали уравнения в частных производных и гармонический анализ . Вклад этих и других математиков, таких как Вейерштрасс , развил подход (ε, δ)-определения предела , тем самым основав современную область математического анализа. Примерно в то же время Риман представил свою теорию интеграции и добился значительных успехов в комплексном анализе.
К концу XIX века математики начали беспокоиться о том, что они допускают существование континуума действительных чисел без доказательства. Затем Дедекинд построил действительные числа с помощью дедекиндовых разрезов , в которых формально определены иррациональные числа, которые служат для заполнения «пробелов» между рациональными числами, создавая тем самым полный набор : континуум действительных чисел, который уже был разработан Саймоном Стевином. с точки зрения десятичных разложений . Примерно в это же время попытки уточнить теоремы интегрирования Римана привели к изучению «размера» множества разрывов действительных функций.
Также начали исследовать различные патологические объекты (такие как нигде не непрерывные функции , непрерывные, но нигде не дифференцируемые функции и кривые, заполняющие пространство ), широко известные как «монстры». В этом контексте Джордан разработал свою теорию меры , Кантор разработал то, что сейчас называется наивной теорией множеств , а Бэр доказал теорему Бэра о категориях . В начале 20 века исчисление было формализовано с использованием аксиоматической теории множеств . Лебег значительно усовершенствовал теорию меры и представил свою собственную теорию интегрирования, теперь известную как интеграция Лебега , которая оказалась большим улучшением по сравнению с теорией Римана. Гильберт ввел гильбертовы пространства для решения интегральных уравнений . Идея нормированного векторного пространства витала в воздухе, и в 1920-х годах Банах создал функциональный анализ .
В математике метрическое пространство — это набор , в котором определено понятие расстояния (называемого метрикой ) между элементами набора.
Большая часть анализа происходит в некотором метрическом пространстве; наиболее часто используемыми являются действительная линия , комплексная плоскость , евклидово пространство , другие векторные пространства и целые числа . Примеры анализа без метрики включают теорию меры (которая описывает размер, а не расстояние) и функциональный анализ (который изучает топологические векторные пространства , которые не обязательно должны иметь какое-либо чувство расстояния).
Формально метрическое пространство — это упорядоченная пара , где — множество и — метрика на , т. е. функция
такое, что для любого выполняется следующее:
Взяв третье свойство и положив , можно показать, что ( неотрицательное ).
Последовательность представляет собой упорядоченный список. Подобно набору , он содержит члены (также называемые элементами или терминами ). В отличие от набора, порядок имеет значение, и одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных позициях последовательности. Точнее, последовательность можно определить как функцию , областью определения которой является счетное полностью упорядоченное множество, например натуральные числа .
Одним из наиболее важных свойств последовательности является сходимость . Неформально последовательность сходится, если она имеет предел . Продолжая неформально, (единственно бесконечная) последовательность имеет предел, если она приближается к некоторой точке x , называемой пределом, когда n становится очень большим. То есть для абстрактной последовательности ( a n ) (где n принимается от 1 до бесконечности) расстояние между n и x приближается к 0 при n → ∞ , что обозначается
Реальный анализ (традиционно «теория функций действительной переменной») — раздел математического анализа, изучающий действительные числа и вещественнозначные функции действительной переменной. [16] [17] В частности, он касается аналитических свойств действительных функций и последовательностей , включая сходимость и пределы последовательностей действительных чисел, исчисление действительных чисел, а также непрерывность , гладкость и связанные с ними свойства вещественных функций. .
Комплексный анализ (традиционно известный как «теория функций комплексной переменной») — раздел математического анализа, изучающий функции комплексных чисел . [18] Он полезен во многих разделах математики, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , прикладную математику ; а также в физике , включая гидродинамику , термодинамику , машиностроение , электротехнику и особенно, квантовую теорию поля .
Комплексный анализ особенно касается аналитических функций комплексных переменных (или, в более общем плане, мероморфных функций ). Поскольку отдельные действительные и мнимые части любой аналитической функции должны удовлетворять уравнению Лапласа , комплексный анализ широко применим к двумерным задачам физики .
Функциональный анализ — это раздел математического анализа, ядро которого составляет изучение векторных пространств , наделенных некоторой предельной структурой (например, скалярным произведением , нормой , топологией и т. д.) и линейными операторами , действующими на эти пространства. и уважать эти структуры в должном смысле. [19] [20] Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировке свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих непрерывные , унитарные и т. д. операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений .
Гармонический анализ — это раздел математического анализа, занимающийся представлением функций и сигналов в виде суперпозиции основных волн . Сюда входит изучение понятий рядов Фурье и преобразований Фурье ( анализ Фурье ), а также их обобщений. Гармонический анализ находит применение в таких разнообразных областях, как теория музыки , теория чисел , теория представлений , обработка сигналов , квантовая механика , приливной анализ и нейробиология .
Дифференциальное уравнение — математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных , связывающее значения самой функции и ее производных различных порядков . [21] [22] [23] Дифференциальные уравнения играют заметную роль в технике , физике , экономике , биологии и других дисциплинах.
Дифференциальные уравнения возникают во многих областях науки и техники, особенно всякий раз, когда известно или постулируется детерминированное соотношение, включающее некоторые непрерывно меняющиеся величины (моделируемые функциями) и скорости их изменения в пространстве или времени (выраженные как производные). Это иллюстрируется классической механикой , где движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют (с учетом положения, скорости, ускорения и различных сил, действующих на тело) динамически выражать эти переменные в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени. В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения ) можно решить явно.
Мера набора — это систематический способ присвоения числа каждому подходящему подмножеству этого набора, что интуитивно интерпретируется как его размер. [24] В этом смысле мера является обобщением понятий длины, площади и объема. Особенно важным примером является мера Лебега в евклидовом пространстве , которая присваивает обычные длину , площадь и объем евклидовой геометрии подходящим подмножествам трехмерного евклидова пространства . Например, лебеговская мера интервала в действительных числах — это его длина в обычном смысле этого слова, а именно 1.
Технически мера — это функция, которая присваивает неотрицательное действительное число или +∞ (определённым) подмножествам множества . Он должен присваивать 0 пустому множеству и быть ( счетно ) аддитивным: мера «большого» подмножества, которое можно разложить на конечное (или счетное) число «меньших» непересекающихся подмножеств, представляет собой сумму мер «меньшие» подмножества. В общем, если кто-то хочет связать согласованный размер с каждым подмножеством данного набора, удовлетворяя при этом другие аксиомы меры, можно найти только тривиальные примеры, такие как считающая мера . Эта проблема была решена путем определения меры только для подмножества всех подмножеств; так называемые измеримые подмножества, необходимые для образования -алгебры . Это означает, что пустое множество, счетные объединения , счетные пересечения и дополнения измеримых подмножеств измеримы. Неизмеримые множества в евклидовом пространстве, на которых мера Лебега не может быть непротиворечиво определена, обязательно сложны в том смысле, что они сильно перемешаны со своим дополнением. Действительно, их существование является нетривиальным следствием аксиомы выбора .
Численный анализ — это исследование алгоритмов , использующих численную аппроксимацию (в отличие от общих символьных манипуляций ) для задач математического анализа (в отличие от дискретной математики ). [25]
Современный численный анализ не ищет точных ответов, потому что точные ответы часто невозможно получить на практике. Вместо этого большая часть численного анализа связана с получением приближенных решений при сохранении разумных границ ошибок.
Численный анализ, естественно, находит применение во всех областях техники и физических наук, но в 21 веке науки о жизни и даже искусство переняли элементы научных вычислений. Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают в небесной механике (планеты, звезды и галактики); численная линейная алгебра важна для анализа данных; стохастические дифференциальные уравнения и цепи Маркова необходимы при моделировании живых клеток в медицине и биологии.
Векторный анализ — это раздел математического анализа, изучающий значения, которые имеют как величину, так и направление. Некоторые примеры векторов включают скорость, силу и смещение. Векторы обычно ассоциируются со скалярами, значениями, которые описывают величину. [26]
Скалярный анализ — это раздел математического анализа, изучающий значения, связанные с масштабом, а не с направлением. Такие значения, как температура, являются скалярными, поскольку они описывают величину значения без учета направления, силы или смещения, которое это значение может иметь или не иметь.
Методы анализа также встречаются в других областях, таких как:
Подавляющее большинство классической механики , теории относительности и квантовой механики основано на прикладном анализе, и в частности на дифференциальных уравнениях . Примеры важных дифференциальных уравнений включают второй закон Ньютона , уравнение Шредингера и уравнения поля Эйнштейна .
Функциональный анализ также является важным фактором в квантовой механике .
При обработке сигналов, таких как звук , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать отдельные компоненты составного сигнала, концентрируя их для более легкого обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, простого манипулирования преобразованными Фурье данными и обратного преобразования. [27]
Методы анализа используются во многих областях математики, в том числе:
Бесконечные ряды присутствовали в греческой математике, [...] Нет сомнений в том, что парадокс дихотомии Зенона (раздел 4.1), например, касается разложения числа 1 на бесконечный ряд 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 2 2 + 1 ⁄ 2 3 + 1 ⁄ 2 4 + ... и что Архимед нашел площадь параболического сегмента (раздел 4.4) по существу путем суммирования бесконечного ряда 1 + 1 ⁄ 4 + 1 ⁄ 4 2 + 1 ⁄ 4 3 + ... = 4 ⁄ 3 . Оба эти примера являются частными случаями результата, который мы выражаем как суммирование геометрической прогрессии.
Настоящий анализ начал свой рост как самостоятельный предмет с введением современного определения непрерывности в 1816 году чешским математиком Бернардом Больцано (1781–1848).