Исчисление , первоначально называвшееся исчислением бесконечно малых , является математической дисциплиной, сосредоточенной на пределах , непрерывности , производных , интегралах и бесконечных рядах . Многие элементы исчисления появились в Древней Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке, а еще позже снова в средневековой Европе и в Индии. Исчисление бесконечно малых было разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем независимо друг от друга. Спор о приоритете привел к спору об исчислении Лейбница-Ньютона , который продолжался до смерти Лейбница в 1716 году. Развитие исчисления и его использование в науках продолжаются и по сей день.
В математическом образовании исчисление обозначает курсы элементарного математического анализа , которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово исчисление на латыни означает «маленький камешек» ( уменьшительное от calx, что означает «камень»), значение, которое все еще сохраняется в медицине . Поскольку такие камешки использовались для подсчета расстояний, [1] подсчета голосов и выполнения арифметических действий на счетах , слово стало означать метод вычисления. В этом смысле оно использовалось в английском языке по крайней мере еще в 1672 году, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона. [2]
В дополнение к дифференциальному исчислению и интегральному исчислению, этот термин также широко используется для обозначения конкретных методов расчета. Примерами этого являются пропозициональное исчисление в логике, вариационное исчисление в математике, процессное исчисление в вычислениях и исчисление удачи в философии.
Древний период ввел некоторые идеи, которые привели к интегральному исчислению, но, похоже, не развил эти идеи строго и систематически. Расчеты объемов и площадей, одна из целей интегрального исчисления, можно найти в египетском папирусе Москвы ( ок. 1820 г. до н. э. ), но формулы даны только для конкретных чисел, некоторые из них верны лишь приблизительно, и они не выведены дедуктивным путем. [3] Вавилоняне , возможно, открыли правило трапеции , проводя астрономические наблюдения за Юпитером . [4] [5]
Из эпохи греческой математики Евдокс ( ок. 408–355 до н. э.) использовал метод исчерпывания , который предвещает концепцию предела, для вычисления площадей и объемов, в то время как Архимед (ок. 287–212 до н. э.) развил эту идею дальше , изобретя эвристики , которые напоминают методы интегрального исчисления. [6] Греческим математикам также приписывают значительное использование бесконечно малых . Демокрит является первым человеком, который, как известно, серьезно рассматривал деление объектов на бесконечное число поперечных сечений, но его неспособность рационализировать дискретные поперечные сечения с плавным наклоном конуса помешала ему принять эту идею. Примерно в то же время Зенон Элейский еще больше дискредитировал бесконечно малые, сформулировав парадоксы, которые они, по-видимому, создают.
Архимед развил этот метод дальше, а также изобрел эвристические методы, которые несколько напоминают современные концепции в его «Квадратура параболы» , «Метод» и «О сфере и цилиндре» . [7] Однако не следует думать, что в то время бесконечно малые величины были поставлены на строгую основу. Только когда они были дополнены надлежащим геометрическим доказательством, греческие математики принимали предложение как истинное. Только в 17 веке метод был формализован Кавальери как метод неделимых и в конечном итоге включен Ньютоном в общую структуру интегрального исчисления . Архимед был первым, кто нашел касательную к кривой, отличной от окружности, методом, родственным дифференциальному исчислению. Изучая спираль, он разделил движение точки на две компоненты, одну радиальную компоненту движения и одну круговую компоненту движения, а затем продолжил складывать два компонента движения вместе, тем самым находя касательную к кривой. [8]
Метод исчерпывания был независимо изобретен в Китае Лю Хуэем в IV веке нашей эры для нахождения площади круга. [9] В V веке Цзу Чунчжи создал метод, который позже будет назван принципом Кавальери, для нахождения объема сферы . [ 10]
На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хайсам , латинизированный как Альхазен ( ок. 965 – ок. 1040 н. э.) вывел формулу для суммы четвертых степеней . Он использовал результаты для выполнения того, что сейчас называется интеграцией , где формулы для сумм целых квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида . [ 11] Рошди Рашед утверждал, что математик 12-го века Шараф ад-Дин ат-Туси, должно быть, использовал производную кубических многочленов в своем «Трактате об уравнениях» . Вывод Рашеда был оспорен другими учеными, которые утверждают, что он мог получить свои результаты другими методами, которые не требуют знания производной функции. [12]
Данные свидетельствуют о том, что Бхаскара II был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. [13] Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент обращается в нуль при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции « бесконечно малых ». [14] В его работе есть свидетельства ранней формы теоремы Ролля . Современная формулировка теоремы Ролля гласит, что если , то для некоторых с . В своей астрономической работе Бхаскара дает результат, который выглядит как предшественник бесконечно малых методов: если , то . Это приводит к производной синусоидальной функции, хотя он не развивал понятие производной. [15]
Некоторые идеи исчисления позже появились в индийской математике, в школе астрономии и математики Кералы . [11] Мадхава из Сангамаграма в 14 веке, а позже математики школы Кералы, сформулировали компоненты исчисления, такие как ряд Тейлора и приближения бесконечных рядов . [16] Однако они не объединили многие различные идеи в двух объединяющих темах производной и интеграла , не показали связь между ними и не превратили исчисление в мощный инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня. [11]
Математическое изучение непрерывности было возрождено в 14 веке Оксфордскими вычислителями и французскими сотрудниками, такими как Николь Орем . Они доказали « теорему Мертона о средней скорости »: равномерно ускоренное тело проходит то же расстояние, что и тело с равномерной скоростью, скорость которого составляет половину конечной скорости ускоренного тела. [17]
Труд Иоганна Кеплера Stereometrica Doliorum, опубликованный в 1615 году, лег в основу интегрального исчисления. [18] Кеплер разработал метод вычисления площади эллипса путем сложения длин многих радиусов, проведенных из фокуса эллипса. [19]
Значимым трудом был трактат, вдохновленный методами Кеплера [19], опубликованный в 1635 году Бонавентурой Кавальери о его методе неделимых . Он утверждал, что объемы и площади должны вычисляться как суммы объемов и площадей бесконечно тонких поперечных сечений. Он открыл квадратурную формулу Кавальери , которая давала площадь под кривыми x n более высокой степени. Ранее это было вычислено аналогичным образом для параболы Архимедом в «Методе» , но этот трактат, как полагают, был утерян в 13 веке и был заново открыт только в начале 20 века, и поэтому был неизвестен Кавальери. Работа Кавальери не пользовалась большим уважением, поскольку его методы могли приводить к ошибочным результатам, а введенные им бесконечно малые величины поначалу были непопулярны.
Торричелли распространил работу Кавальери на другие кривые, такие как циклоида , а затем в 1656 году Валлис обобщил эту формулу на дробные и отрицательные степени. В трактате 1659 года Ферма приписывают гениальный трюк для непосредственной оценки интеграла любой степенной функции. [20] Ферма также получил метод нахождения центров тяжести различных плоских и объемных фигур, который повлиял на дальнейшую работу в области квадратуры.
В XVII веке европейские математики Исаак Барроу , Рене Декарт , Пьер де Ферма , Блез Паскаль , Джон Уоллис и другие обсуждали идею производной . В частности, в Methodus ad disquirendam maximam et minima и в De tangentibus linearum curvarum distribution в 1636 году Ферма ввел понятие равенства , которое представляло равенство с точностью до бесконечно малой погрешности. [21] Этот метод можно было использовать для определения максимумов, минимумов и касательных к различным кривым, и он был тесно связан с дифференцированием. [22]
Исаак Ньютон позже напишет, что его собственные ранние идеи об исчислении произошли непосредственно от «способа Ферма проводить касательные». [23]
Формальное изучение исчисления объединило бесконечно малые Кавальери с исчислением конечных разностей, разработанным в Европе примерно в то же время, и равенством Ферма. Объединение было достигнуто Джоном Уоллисом , Айзеком Барроу и Джеймсом Грегори , причем последние двое доказали предшественников второй фундаментальной теоремы исчисления около 1670 года. [24] [25]
Джеймс Грегори , на которого оказал влияние вклад Ферма как в касательную, так и в квадратуру, смог доказать ограниченную версию второй фундаментальной теоремы исчисления, согласно которой интегралы можно вычислять с использованием любой первообразной функции. [26] [27]
Первое полное доказательство фундаментальной теоремы исчисления было дано Исааком Барроу . [28] : стр.61 когда дуга ME ~ дуга NH в точке касания F рис.26 [29]
Одной из предпосылок для создания исчисления функций действительной переменной было нахождение первообразной для рациональной функции. Эту задачу можно сформулировать как квадратуру прямоугольной гиперболы xy = 1. В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан заметил, что требуемая функция F удовлетворяет , так что геометрическая последовательность становится, при F , арифметической последовательностью . А. А. де Сараса связал эту особенность с современными алгоритмами, называемыми логарифмами , которые экономили арифметику, превращая умножения в сложения. Поэтому F был впервые известен как гиперболический логарифм . После того, как Эйлер использовал e = 2,71828..., и F был идентифицирован как обратная функция показательной функции , он стал натуральным логарифмом , удовлетворяющим
Первое доказательство теоремы Ролля было дано Мишелем Роллем в 1691 году с использованием методов, разработанных голландским математиком Иоганном ван Вавереном Худде . [30] Теорема о среднем значении в ее современной форме была сформулирована Бернардом Больцано и Огюстеном-Луи Коши (1789–1857) также после основания современного исчисления. Важный вклад внесли также Барроу , Гюйгенс и многие другие.
До Ньютона и Лейбница слово «исчисление» относилось к любой области математики, но в последующие годы «исчисление» стало популярным термином для области математики, основанной на их идеях. [31] Ньютон и Лейбниц, основываясь на этой работе, независимо разработали окружающую теорию исчисления бесконечно малых в конце 17 века. Кроме того, Лейбниц проделал большую работу по разработке последовательных и полезных обозначений и концепций. Ньютон предоставил некоторые из наиболее важных приложений к физике, особенно интегрального исчисления .
К середине XVII века европейская математика сменила свое основное хранилище знаний. По сравнению с прошлым столетием, которое сохранило эллинистическую математику как отправную точку для исследований, Ньютон, Лейбниц и их современники все больше обращались к трудам более современных мыслителей. [32]
Ньютон пришел к исчислению как к части своих исследований в области физики и геометрии . Он рассматривал исчисление как научное описание генерации движения и величин . В сравнении с этим, Лейбниц сосредоточился на проблеме касательной и пришел к убеждению, что исчисление было метафизическим объяснением изменения. Важно, что ядром их понимания была формализация обратных свойств между интегралом и дифференциалом функции . Это понимание было предвосхищено их предшественниками, но они были первыми, кто задумал исчисление как систему, в которой были созданы новые риторические и описательные термины. [33]
Ньютон не завершил окончательной публикации, формализующей его флюксионное исчисление; скорее, многие из его математических открытий были переданы через переписку, небольшие статьи или как встроенные аспекты в его других окончательных компиляциях, таких как Principia и Opticks . Ньютон начал свое математическое обучение как избранный наследник Исаака Барроу в Кембридже . Его способности были признаны рано, и он быстро изучил текущие теории. К 1664 году Ньютон внес свой первый важный вклад, продвинув биномиальную теорему , которую он расширил, включив дробные и отрицательные показатели . Ньютону удалось расширить применимость биномиальной теоремы, применив алгебру конечных величин в анализе бесконечных рядов . Он проявил готовность рассматривать бесконечные ряды не только как приближенные устройства, но и как альтернативные формы выражения термина. [34]
Многие из критических прозрений Ньютона произошли в годы чумы 1665–1666, [35] которые он позже описал как «расцвет моего века для изобретений и размышлений о математике и [естественной] философии больше, чем когда-либо с тех пор». Именно во время его изоляции, вызванной чумой, была зафиксирована первая письменная концепция флюксионного исчисления в неопубликованном труде De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas . В этой работе Ньютон определил площадь под кривой , сначала вычислив мгновенную скорость изменения, а затем экстраполировав общую площадь. Он начал с рассуждений о бесконечно малом треугольнике, площадь которого является функцией x и y . Затем он рассудил, что бесконечно малое увеличение абсциссы создаст новую формулу, где x = x + o (важно, что o — это буква, а не цифра ). Затем он пересчитал площадь с помощью биномиальной теоремы, удалил все величины, содержащие букву o, и переформулировал алгебраическое выражение для площади. Примечательно, что Ньютон затем «вычеркнул» величины, содержащие o, поскольку члены, «умноженные на нее, будут ничем по сравнению с остальными».
В этот момент Ньютон начал осознавать центральное свойство инверсии. Он создал выражение для площади под кривой, рассматривая мгновенное увеличение в точке. По сути, фундаментальная теорема исчисления была встроена в его вычисления. Хотя его новая формулировка предлагала невероятный потенциал, Ньютон в то время хорошо осознавал ее логические ограничения. Он признает, что «в математике нельзя игнорировать ошибки, какими бы малыми они ни были», и что то, чего он добился, было «скоро объяснено, а не точно продемонстрировано».
В попытке дать исчислению более строгое объяснение и структуру, Ньютон составил в 1671 году Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum . В этой книге строгий эмпиризм Ньютона сформировал и определил его флюксиональное исчисление. Он неформально использовал мгновенное движение и бесконечно малые величины. Он использовал математику как методологический инструмент для объяснения физического мира. Основой пересмотренного исчисления Ньютона стала непрерывность; как таковой он переопределил свои вычисления в терминах непрерывного текущего движения. Для Ньютона переменные величины не являются совокупностями бесконечно малых элементов, а порождаются неоспоримым фактом движения. Как и во многих своих работах, Ньютон отложил публикацию. Methodus Fluxionum был опубликован только в 1736 году. [36]
Ньютон пытался избежать использования бесконечно малых, формируя вычисления, основанные на соотношениях изменений. В Methodus Fluxionum он определил скорость генерируемого изменения как флюксию , которую он представил буквой с точкой, а генерируемое количество он определил как флюксию . Например, если и являются флюксиями, то и являются их соответствующими флюксиями. Это пересмотренное исчисление соотношений продолжало развиваться и было зрело изложено в тексте 1676 года De Quadratura Curvarum , где Ньютон пришел к определению современной производной как конечного соотношения изменения, которое он определил как соотношение между исчезающими приращениями (соотношение флюксий) исключительно в рассматриваемый момент. По сути, конечное соотношение - это соотношение, когда приращения исчезают в ничто. Важно, что Ньютон объяснил существование конечного соотношения, апеллируя к движению: [37]
Ибо под предельной скоростью подразумевается та, с которой тело движется не прежде, чем оно достигнет своего конечного места, когда движение прекращается, и не после, а в тот самый момент, когда оно достигает... предельное отношение исчезающих величин следует понимать, отношение величин не прежде, чем они исчезнут, не после, но с которыми они исчезнут.
Ньютон разработал свое флюксионное исчисление, пытаясь избежать неформального использования бесконечно малых величин в своих расчетах.
Хотя Ньютон начал разрабатывать свое флюксионное исчисление в 1665–1666 годах, его открытия не получили широкого распространения до более позднего времени. В последующие годы Лейбниц также стремился создать свое исчисление. По сравнению с Ньютоном, который пришел к математике в раннем возрасте, Лейбниц начал свои строгие математические исследования со зрелым интеллектом. Он был полиматом , и его интеллектуальные интересы и достижения включали метафизику , право , экономику , политику , логику и математику . Чтобы понять рассуждения Лейбница в исчислении, следует иметь в виду его прошлое. В частности, его метафизику , которая описывала вселенную как монадологию , и его планы создания точной формальной логики, посредством которой «общий метод, в котором все истины разума были бы сведены к своего рода расчету». [38]
В 1672 году Лейбниц встретил математика Гюйгенса , который убедил Лейбница посвятить значительное время изучению математики. К 1673 году он дошел до чтения « Traité des Sinus du Quarte Cercle » Паскаля , и именно во время своих в значительной степени автодидактических исследований Лейбниц сказал, что «зажегся свет». Как и Ньютон, Лейбниц рассматривал тангенс как отношение, но объявлял его просто отношением между ординатами и абсциссами . Он продолжил эти рассуждения, утверждая, что интеграл на самом деле является суммой ординат для бесконечно малых интервалов по оси абсцисс; по сути, суммой бесконечного числа прямоугольников. Из этих определений обратная связь или дифференциал стали ясны, и Лейбниц быстро осознал потенциал для формирования совершенно новой системы математики. В то время как Ньютон на протяжении своей карьеры использовал несколько подходов в дополнение к подходу с использованием бесконечно малых величин , Лейбниц сделал это краеугольным камнем своей нотации и исчисления. [39] [40]
В рукописях с 25 октября по 11 ноября 1675 года Лейбниц записывал свои открытия и эксперименты с различными формами обозначений. Он остро осознавал используемые термины обозначений, и его ранние планы сформировать точную логическую символику стали очевидны. В конце концов, Лейбниц обозначил бесконечно малые приращения абсцисс и ординат dx и dy , а также суммирование бесконечно большого числа бесконечно тонких прямоугольников как длинный s (∫ ), который стал нынешним интегральным символом .
Хотя обозначения Лейбница используются современной математикой, его логическая основа отличалась от нашей нынешней. Лейбниц принимал бесконечно малые и много писал, чтобы «не делать из бесконечно малых тайну, как это делал Паскаль». [41] По словам Жиля Делеза , нули Лейбница «являются ничем, но они не абсолютные ничто, они являются ничем соответственно» (цитируя текст Лейбница «Обоснование исчисления бесконечно малых исчислением обычной алгебры»). [42] С другой стороны, он определяет их как «меньше любой заданной величины». Для Лейбница мир был совокупностью бесконечно малых точек, и отсутствие научных доказательств их существования его не беспокоило. Бесконечно малые для Лейбница были идеальными величинами иного типа, чем заметные числа. Истина непрерывности была доказана самим существованием. Для Лейбница принцип непрерывности и, следовательно, обоснованность его исчисления были гарантированы. Спустя триста лет после работы Лейбница, Абрахам Робинсон показал, что использование бесконечно малых величин в исчислении может получить прочную основу. [43]
Возникновение исчисления выделяется как уникальный момент в математике. Исчисление — это математика движения и изменения, и как таковое, его изобретение потребовало создания новой математической системы. Важно отметить, что Ньютон и Лейбниц создали не одно и то же исчисление и не придумали современное исчисление. Хотя они оба были вовлечены в процесс создания математической системы для работы с переменными величинами, их элементарная база была разной. Для Ньютона изменение было переменной величиной с течением времени, а для Лейбница это была разница, варьирующаяся в последовательности бесконечно близких значений. Примечательно, что описательные термины, созданные каждой системой для описания изменения, были разными.
Исторически было много споров о том, кто первым «изобрел» исчисление — Ньютон или Лейбниц. Этот аргумент, спор об исчислении Лейбница и Ньютона , в котором участвовали немец Лейбниц и англичанин Ньютон, привел к расколу в европейском математическом сообществе, длившемуся более столетия. Лейбниц был первым, кто опубликовал свои исследования; однако хорошо известно, что Ньютон начал свою работу за несколько лет до Лейбница и уже разработал теорию касательных к тому времени, когда Лейбниц заинтересовался этим вопросом. Неизвестно, насколько это могло повлиять на Лейбница. Первоначальные обвинения были выдвинуты учениками и сторонниками двух великих ученых на рубеже веков, но после 1711 года оба они стали лично вовлечены, обвиняя друг друга в плагиате .
Спор о приоритете на долгие годы отделил англоговорящих математиков от математиков континентальной Европы. Только в 1820-х годах, благодаря усилиям Аналитического общества , аналитическое исчисление Лейбница было принято в Англии. Сегодня и Ньютону, и Лейбницу приписывают заслугу независимой разработки основ исчисления. Однако именно Лейбницу приписывают то название, которое он дал новой дисциплине: «calculus». Ньютон называл ее «наукой о флюэнтах и флюксиях ».
Работа Ньютона и Лейбница отражена в обозначениях, используемых сегодня. Ньютон ввел обозначение для производной функции f . [44] Лейбниц ввел символ для интеграла и записал производную функции y переменной x как , оба из которых используются до сих пор.
Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в непрерывное развитие исчисления. Одна из первых и наиболее полных работ по исчислению бесконечно малых и интегральному исчислению была написана в 1748 году Марией Гаэтаной Аньези . [45] [46]
Можно сказать , что вариационное исчисление началось с задачи Иоганна Бернулли (1696). Она сразу же привлекла внимание Якоба Бернулли , но Леонард Эйлер первым разработал этот предмет. Его вклад начался в 1733 году, и его Elementa Calculi Variationum дали науке ее название. Жозеф Луи Лагранж внес большой вклад в теорию, а Адриен-Мари Лежандр (1786) изложил метод, не совсем удовлетворительный, для различения максимумов и минимумов. В этом различении участвовали Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Дени Пуассон (1831), Михаил Васильевич Остроградский (1834) и Карл Густав Якоб Якоби (1837). Важная общая работа — работа Сарруса (1842), которая была сжата и улучшена Огюстеном Луи Коши (1844). Другие ценные трактаты и мемуары были написаны Штраухом (1849), Джеллеттом (1850), Отто Гессе (1857), Альфредом Клебшем (1858) и Карлом (1885), но, возможно, самая важная работа века — это работа Карла Вейерштрасса . Его курс по теории можно считать первым, который поставил исчисление на прочную и строгую основу.
Антуан Арбогаст (1800) был первым, кто отделил символ операции от символа количества в дифференциальном уравнении. Франсуа-Жозеф Сервуа (1814), по-видимому, был первым, кто дал правильные правила по этому вопросу. Чарльз Джеймс Харгрив (1848) применил эти методы в своих мемуарах о дифференциальных уравнениях, а Джордж Буль свободно их использовал. Герман Грассман и Герман Ганкель широко использовали эту теорию, первый при изучении уравнений , последний в своей теории комплексных чисел .
Нильс Хенрик Абель, по-видимому, был первым, кто в общем виде рассмотрел вопрос о том, какие дифференциальные уравнения можно интегрировать в конечной форме с помощью обычных функций, исследование, расширенное Лиувиллем . Коши рано занялся общей теорией определения определенных интегралов , и эта тема была видна в течение 19-го века. Интегралы Фруллани , работа Дэвида Биренса де Хаана по теории и его сложные таблицы, лекции Лежена Дирихле , воплощенные в трактате Мейера, и многочисленные мемуары Лежандра , Пуассона , Планы , Раабе , Зонке , Шлемильха , Эллиотта , Лойдесдорфа и Кронекера являются среди заслуживающих внимания вкладов.
Эйлеровы интегралы впервые были изучены Эйлером , а затем исследованы Лежандром, который классифицировал их как эйлеровы интегралы первого и второго рода следующим образом:
хотя это не были точные формы исследования Эйлера.
Если n — положительное целое число :
но интеграл сходится для всех положительных действительных чисел и определяет аналитическое продолжение факториальной функции на всю комплексную плоскость, за исключением полюсов в нуле и отрицательных целых чисел. Лежандр присвоил ему символ , и теперь он называется гамма-функцией . Помимо того, что он аналитичен по положительным действительным числам , он также обладает уникальным определяющим свойством выпуклости , которое эстетически оправдывает это аналитическое продолжение факториальной функции по любому другому аналитическому продолжению. В эту тему Лежен Дирихле внес важный вклад в теорему (Лиувилль, 1839), которая была разработана Лиувиллем , Каталаном , Лесли Эллисом и другими. Раабе (1843–44), Бауэр (1859) и Гудерман (1845) писали об оценке и . Большая таблица Лежандра появилась в 1816 году.
Применение исчисления бесконечно малых к проблемам физики и астрономии совпало с возникновением этой науки. На протяжении всего XVIII века эти приложения множились, пока в конце века Лаплас и Лагранж не перенесли весь спектр изучения сил в область анализа. Лагранжу ( 1773) мы обязаны введением теории потенциала в динамику, хотя название « потенциальная функция » и фундаментальный мемуар по этому предмету принадлежат Грину (1827, напечатан в 1828). Название « потенциал » принадлежит Гауссу (1840), а различие между потенциалом и потенциальной функцией — Клаузиусу . С его развитием связаны имена Лежена Дирихле , Римана , фон Неймана , Гейне , Кронекера , Липшица , Кристоффеля , Кирхгофа , Бельтрами и многих ведущих физиков века.
В этой статье невозможно охватить все многообразие других приложений анализа к физическим проблемам. Среди них исследования Эйлера по вибрирующим хордам; Софи Жермен по упругим мембранам; Пуассона, Ламе , Сен-Венана и Клебша по упругости трехмерных тел; Фурье по диффузии тепла ; Френеля по свету ; Максвелла , Гельмгольца и Герца по электричеству ; Хансена, Хилла и Гильдена по астрономии ; Максвелла по сферическим гармоникам ; лорда Рэлея по акустике ; и вклад Лежена Дирихле, Вебера , Кирхгофа , Ф. Неймана , лорда Кельвина , Клаузиуса , Бьеркнеса , МакКуллага и Фурмана в физику в целом. Особо следует отметить труды Гельмгольца, поскольку он внес вклад в теории динамики, электричества и т. д. и применил свои огромные аналитические способности к фундаментальным аксиомам механики, а также чистой математики.
Кроме того, исчисление бесконечно малых было введено в социальные науки, начиная с неоклассической экономики . Сегодня это ценный инструмент в мейнстримной экономике.
Греческая математика иногда описывалась как по существу статичная, мало учитывающая понятие изменчивости; но Архимед в своем исследовании спирали, по-видимому, нашел касательную к кривой через кинематические соображения, родственные дифференциальному исчислению. Думая о точке на спирали 1= r = aθ как о подверженной двойному движению — равномерному радиальному движению от начала координат и круговому движению вокруг начала координат — он, по-видимому, нашел (через параллелограмм скоростей) направление движения (следовательно, касательной к кривой), отметив равнодействующую двух компонентных движений. Это, по-видимому, первый случай, когда была найдена касательная к кривой, отличной от окружности.
Изучение Архимедом спирали, кривой, которую он приписывал своему другу Конону Александрийскому , было частью греческого поиска решения трех знаменитых задач.
Наиболее интересными для нас являются Лекции X–XII, в которых Барроу приближается к предоставлению геометрической демонстрации фундаментальной теоремы исчисления... Однако он не осознавал всей значимости своих результатов, и его отказ от алгебры означает, что его работа должна оставаться частью геометрического анализа середины XVII века, представляющей в основном исторический интерес.
