Георг Фридрих Бернхард Риман ( немецкий: [ˈɡeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman] ⓘ ;[1][2]17 сентября 1826 — 20 июля 1866) — немецкийматематик, внесший глубокий вклад ванализ,теорию чиселидифференциальную геометрию. В областиреального анализаон наиболее известен первой строгой формулировкой интеграла,интеграла Римана, и своими работами надрядами Фурье. Его вклад вкомплексный анализвключает в себя, прежде всего, введениеримановых поверхностей, открывающих новые горизонты в естественной геометрической трактовке комплексного анализа. Егостатья 1859 годаофункции подсчета простых чисел, содержащая оригинальное утверждение гипотезыРимана, считается основополагающей статьейаналитической теории чисел. Своим новаторскимвкладом в дифференциальную геометриюРиман заложил основы математикиобщей теории относительности.[3]Многие считают его одним из величайших математиков всех времен.[4][5]
Риман родился 17 сентября 1826 года в Бреселенце , деревне недалеко от Данненберга в Ганноверском королевстве . Его отец, Фридрих Бернхард Риман, был бедным лютеранским пастором в Бреселенце, сражавшимся в наполеоновских войнах . Его мать, Шарлотта Эбелл, умерла, прежде чем ее дети достигли совершеннолетия. Риман был вторым из шести детей, застенчивым и страдавшим многочисленными нервными срывами. Риман с раннего возраста проявлял исключительный математический талант, например, вычислительные способности, но страдал робостью и страхом выступать перед публикой.
В 1840 году Риман уехал в Ганновер , чтобы жить с бабушкой и посещать лицей (в средней школе). После смерти бабушки в 1842 году он посещал среднюю школу в Йоханнеуме Люнебурге. В старших классах Риман интенсивно изучал Библию , но его часто отвлекала математика. Его учителя поражались его способности выполнять сложные математические операции, в которых он часто превосходил в знаниях своего преподавателя. В 1846 году, в возрасте 19 лет, он начал изучать филологию и христианское богословие , чтобы стать пастором и помогать семье с финансами.
Весной 1846 года его отец, собрав достаточно денег, отправил Римана в Гёттингенский университет , где тот планировал получить степень по теологии . Однако, оказавшись там, он начал изучать математику под руководством Карла Фридриха Гаусса (в частности, его лекции по методу наименьших квадратов ). Гаусс рекомендовал Риману оставить богословскую работу и заняться математикой; получив одобрение отца, Риман перешел в Берлинский университет в 1847 году . [6] Во время его учебы преподавали Карл Густав Якоб Якоби , Питер Густав Лежен Дирихле , Якоб Штайнер и Готхольд Эйзенштейн . Он пробыл в Берлине два года и вернулся в Геттинген в 1849 году.
Риман прочитал свои первые лекции в 1854 году, которые основали область римановой геометрии и тем самым подготовили почву для общей теории относительности Альберта Эйнштейна . [7] В 1857 году была предпринята попытка повысить Римана до статуса экстраординарного профессора Геттингенского университета . Хотя эта попытка провалилась, в результате Риман наконец получил регулярную зарплату. В 1859 году, после смерти Дирихле (занимавшего кафедру Гаусса в Геттингенском университете), он был назначен руководителем математического факультета Геттингенского университета. Он также был первым, кто предложил использовать измерения выше трех или четырех для описания физической реальности. [8] [7]
В 1862 году он женился на Элизе Кох; их дочь Ида Шиллинг родилась 22 декабря 1862 года .
Риман бежал из Геттингена, когда там столкнулись армии Ганновера и Пруссии в 1866 году . [10] Он умер от туберкулеза во время своего третьего путешествия в Италию в Селаске (ныне деревня Вербания на озере Маджоре ), где он был похоронен на кладбище в Биганзоло. (Вербания).
Риман был преданным христианином, сыном протестантского священника, и рассматривал свою жизнь математика как еще один способ служения Богу. Всю свою жизнь он твердо придерживался своей христианской веры и считал ее самым важным аспектом своей жизни. В момент своей смерти он читал молитву Господню вместе со своей женой и умер прежде, чем они закончили читать молитву. [11] Тем временем в Геттингене его домработница выбросила некоторые бумаги из его офиса, в том числе большую часть неопубликованных работ. Риман отказался опубликовать неполную работу, и некоторые глубокие идеи могли быть утеряны. [10]
Надгробие Римана в Биганзоло (Италия) относится к Римлянам 8:28: [12]
Георг Фридрих Бернхард Риман,
профессор из Геттингена
, родился в Бреселенце 17 сентября 1826 г.
, умер в Селаске 20 июля 1866 г.
Опубликованные работы Римана открыли области исследований, сочетающие анализ с геометрией. Впоследствии они станут основными частями теорий римановой геометрии , алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий . Теория римановых поверхностей была разработана Феликсом Клейном и особенно Адольфом Гурвицем . Эта область математики является частью основы топологии и до сих пор по-новому применяется к математической физике .
В 1853 году Гаусс попросил своего ученика Римана подготовить трактат по основам геометрии. В течение многих месяцев Риман разработал свою теорию высших измерений и прочитал в Геттингене в 1854 году лекцию под названием « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Ligen ». [13] [14] Он был опубликован Дедекиндом только двенадцать лет спустя, в 1868 году, через два года после его смерти. Его раннее признание, похоже, было медленным, но теперь оно признано одной из самых важных работ по геометрии.
Предметом, основанным в этой работе, является риманова геометрия . Риман нашел правильный способ распространить на n измерений дифференциальную геометрию поверхностей, что доказал сам Гаусс в своей теореме egregium . Фундаментальные объекты называются римановой метрикой и тензором кривизны Римана . Для поверхностного (двумерного) случая кривизна в каждой точке может быть сведена к числу (скаляру), при этом поверхности постоянной положительной или отрицательной кривизны являются моделями неевклидовых геометрий .
Метрика Римана — это набор чисел в каждой точке пространства (т. е. тензор ), который позволяет измерять скорость на любой траектории, интеграл которой дает расстояние между конечными точками траектории. Например, Риман обнаружил, что в четырех пространственных измерениях нужно десять чисел в каждой точке, чтобы описать расстояния и кривизны многообразия , независимо от того, насколько оно искажено.
В своей диссертации он заложил геометрическую основу для комплексного анализа с помощью римановых поверхностей , благодаря которым многозначные функции, такие как логарифм (с бесконечным количеством листов) или квадратный корень (с двумя листами), могли стать взаимно однозначными функциями . Комплексные функции являются гармоническими функциями [ нужна ссылка ] (то есть они удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, уравнениям Коши – Римана ) на этих поверхностях и описываются расположением их особенностей и топологией поверхностей. Топологический «род» римановых поверхностей определяется выражением , где поверхность имеет листья, сходящиеся вместе в точках ветвления. Ведь риманова поверхность имеет параметры (« модули »).
Его вклад в эту область многочисленнен. Знаменитая теорема об отображении Римана гласит, что односвязная область на комплексной плоскости «биголоморфно эквивалентна» (т.е. между ними существует биекция, голоморфная с голоморфной обратной) либо внутренней части единичного круга, либо внутренней его области. Обобщением теоремы на римановы поверхности является знаменитая теорема униформизации , доказанная в 19 веке Анри Пуанкаре и Феликсом Клейном . И здесь строгие доказательства были впервые даны после развития более богатого математического инструментария (в данном случае топологии). Для доказательства существования функций на римановых поверхностях он использовал условие минимальности, которое назвал принципом Дирихле . Карл Вейерштрасс нашел пробел в доказательстве: Риман не заметил, что его рабочее предположение (о существовании минимума) может не работать; функциональное пространство могло быть неполным, и поэтому существование минимума не гарантировалось. Благодаря работе Давида Гильберта по вариационному исчислению принцип Дирихле был окончательно установлен. В остальном Вейерштрасс был очень впечатлен Риманом, особенно его теорией абелевых функций . Когда появилась работа Римана, Вейерштрасс отозвал свою статью из журнала Crelle и не опубликовал ее. У них было хорошее взаимопонимание, когда Риман посетил его в Берлине в 1859 году. Вейерштрасс призвал своего ученика Германа Амандуса Шварца найти альтернативы принципу Дирихле в комплексном анализе, в чем он преуспел. Анекдот Арнольда Зоммерфельда [15] показывает, какие трудности возникли у современных математиков с новыми идеями Римана. В 1870 году Вейерштрасс взял с собой диссертацию Римана в отпуск в Риги и жаловался, что ее трудно понять. Физик Герман фон Гельмгольц ночью помогал ему в работе и вернулся с замечанием, что это «естественно» и «очень понятно».
Среди других выдающихся достижений — его работа над абелевыми функциями и тэта-функциями на римановых поверхностях. Риман соревновался с Вейерштрассом с 1857 года в решении обратных задач Якобиана для абелевых интегралов, обобщения эллиптических интегралов . Риман использовал тэта-функции нескольких переменных и свел задачу к определению нулей этих тэта-функций. Риман также исследовал матрицы периодов и охарактеризовал их с помощью «римановых отношений периода» (симметричных, действительная часть отрицательна). По мнению Фердинанда Георга Фробениуса и Соломона Лефшеца, справедливость этого отношения эквивалентна вложению (где – решетка матрицы периодов) в проективное пространство с помощью тэта-функций. Для некоторых значений это якобиан многообразия римановой поверхности, пример абелева многообразия.
Многие математики, такие как Альфред Клебш, продолжили работу Римана над алгебраическими кривыми. Эти теории зависели от свойств функции, определенной на римановых поверхностях. Например, теорема Римана–Роха (Рох был учеником Римана) что-то говорит о количестве линейно независимых дифференциалов (с известными условиями на нулях и полюсах) римановой поверхности.
По мнению Детлефа Лаугвица , [16] автоморфные функции впервые появились в очерке об уравнении Лапласа на электрически заряженных цилиндрах. Однако Риман использовал такие функции для конформных отображений (например, отображения топологических треугольников на окружность) в своей лекции 1859 года о гипергеометрических функциях или в своем трактате о минимальных поверхностях .
В области реального анализа он открыл интеграл Римана в своей хабилитации . Среди прочего он показал, что всякая кусочно-непрерывная функция интегрируема. Точно так же интеграл Стилтьеса восходит к математику Геттингеру, поэтому они вместе называются интегралом Римана-Стилтьеса .
В своей абитуриентской работе по рядам Фурье , где он следил за работой своего учителя Дирихле, он показал, что интегрируемые по Риману функции «представимы» рядами Фурье. Дирихле показал это для непрерывных, кусочно-дифференцируемых функций (то есть со счетным числом недифференцируемых точек). Риман привел пример ряда Фурье, представляющего непрерывную, почти нигде не дифференцируемую функцию, - случай, не рассмотренный Дирихле. Он также доказал лемму Римана-Лебега : если функция представима рядом Фурье, то коэффициенты Фурье обращаются к нулю при больших n .
Эссе Римана также послужило отправной точкой для работы Георга Кантора с рядами Фурье, которая послужила толчком для теории множеств .
Он также работал с гипергеометрическими дифференциальными уравнениями в 1857 году, используя сложные аналитические методы, и представлял решения через поведение замкнутых путей вокруг особенностей (описываемых матрицей монодромии ). Доказательство существования таких дифференциальных уравнений с помощью ранее известных матриц монодромии является одной из задач Гильберта.
Риман внес ряд известных вкладов в современную аналитическую теорию чисел . В единственной короткой статье , единственной, которую он опубликовал по теме теории чисел, он исследовал дзета-функцию , которая теперь носит его имя, установив ее важность для понимания распределения простых чисел . Гипотеза Римана была одной из серии предположений, которые он сделал о свойствах функции.
В творчестве Римана есть еще много интересных разработок. Он доказал функциональное уравнение для дзета-функции (известное уже Леонарду Эйлеру ), за которым стоит тэта-функция. Путем суммирования этой аппроксимационной функции по нетривиальным нулям на линии с вещественной частью 1/2 он дал точную «явную формулу» для .
Риман знал о работе Пафнутия Чебышева над теоремой о простых числах . Он посетил Дирихле в 1852 году.
Работы Римана включают:
