Математическая физика относится к разработке математических методов для применения к проблемам в физике . Журнал математической физики определяет эту область как «применение математики к проблемам в физике и разработку математических методов, подходящих для таких приложений и для формулирования физических теорий». [1] Альтернативное определение также включало бы те области математики, которые вдохновлены физикой, известные как физическая математика . [2]
Существует несколько отдельных разделов математической физики, и они примерно соответствуют определенным историческим частям нашего мира.
Применение методов математической физики к классической механике обычно включает в себя строгую, абстрактную и продвинутую переформулировку ньютоновской механики в терминах лагранжевой механики и гамильтоновой механики (включая оба подхода при наличии ограничений). Обе формулировки воплощены в аналитической механике и приводят к пониманию глубокого взаимодействия между понятиями симметрии и сохраняющимися величинами в ходе динамической эволюции механических систем, как это воплощено в самой элементарной формулировке теоремы Нётер . Эти подходы и идеи были распространены на другие области физики, такие как статистическая механика , механика сплошной среды , классическая теория поля и квантовая теория поля . Более того, они предоставили множество примеров и идей в дифференциальной геометрии (например, несколько понятий в симплектической геометрии и векторных расслоениях ).
В рамках собственно математики теория дифференциальных уравнений с частными производными , вариационное исчисление , анализ Фурье , теория потенциала и векторный анализ , пожалуй, наиболее тесно связаны с математической физикой. Эти области интенсивно развивались со второй половины XVIII века (например, Д'Аламбером , Эйлером и Лагранжем ) до 1930-х годов. Физические приложения этих разработок включают гидродинамику , небесную механику , механику сплошных сред , теорию упругости , акустику , термодинамику , электричество , магнетизм и аэродинамику .
Теория атомных спектров (а позднее и квантовая механика ) развивалась почти одновременно с некоторыми разделами математической области линейной алгебры , спектральной теории операторов , операторных алгебр и, в более широком смысле, функционального анализа . Нерелятивистская квантовая механика включает операторы Шредингера и имеет связи с атомной и молекулярной физикой . Квантовая теория информации — еще одна узкая специальность.
Специальные и общие теории относительности требуют совершенно иного типа математики. Это была теория групп , которая играла важную роль как в квантовой теории поля, так и в дифференциальной геометрии . Однако она постепенно дополнялась топологией и функциональным анализом в математическом описании космологических , а также квантово-полевых явлений. В математическом описании этих физических областей также важны некоторые концепции гомологической алгебры и теории категорий [3] .
Статистическая механика образует отдельную область, которая включает теорию фазовых переходов . Она опирается на гамильтонову механику (или ее квантовую версию) и тесно связана с более математической эргодической теорией и некоторыми частями теории вероятностей . Растет взаимодействие между комбинаторикой и физикой , в частности, статистической физикой.
Использование термина «математическая физика» иногда является своеобразным . Некоторые части математики, которые изначально возникли в результате развития физики , на самом деле не считаются частями математической физики, в то время как другие тесно связанные области считаются. Например, обыкновенные дифференциальные уравнения и симплектическая геометрия обычно рассматриваются как чисто математические дисциплины, тогда как динамические системы и гамильтонова механика относятся к математической физике. Джон Херапат использовал этот термин для названия своего текста 1847 года о «математических принципах натуральной философии», сферой действия которого в то время были «причины тепла, газообразной упругости, гравитации и других великих явлений природы». [4]
Термин «математическая физика» иногда используется для обозначения исследований, направленных на изучение и решение проблем в физике или мысленных экспериментов в математически строгой структуре. В этом смысле математическая физика охватывает очень широкую академическую область, отличающуюся только смешением некоторого математического аспекта и аспекта теоретической физики. Хотя математическая физика связана с теоретической физикой , [5] в этом смысле она подчеркивает математическую строгость аналогичного типа, как в математике.
С другой стороны, теоретическая физика подчеркивает связи с наблюдениями и экспериментальной физикой , что часто требует от физиков-теоретиков (и физиков-математиков в более общем смысле) использования эвристических , интуитивных или приблизительных аргументов. [6] Такие аргументы не считаются математиками строгими.
Такие математические физики в первую очередь расширяют и проясняют физические теории . Из-за требуемого уровня математической строгости эти исследователи часто имеют дело с вопросами, которые физики-теоретики считали уже решенными. Однако иногда они могут показать, что предыдущее решение было неполным, неверным или просто слишком наивным. Примерами являются вопросы о попытках вывести второй закон термодинамики из статистической механики . [ необходима цитата ] Другие примеры касаются тонкостей, связанных с процедурами синхронизации в специальной и общей теории относительности ( эффект Саньяка и синхронизация Эйнштейна ).
Попытка поставить физические теории на математически строгую основу не только развила физику, но и повлияла на развитие некоторых математических областей. Например, развитие квантовой механики и некоторых аспектов функционального анализа во многом параллельны друг другу. Математическое изучение квантовой механики , квантовой теории поля и квантовой статистической механики мотивировало результаты в операторных алгебрах . Попытка построить строгую математическую формулировку квантовой теории поля также привела к некоторому прогрессу в таких областях, как теория представлений .
Существует традиция математического анализа природы, которая восходит к древним грекам; примерами являются Евклид ( Оптика ), Архимед ( О равновесии плоскостей , О плавающих телах ) и Птолемей ( Оптика , Гармоника ). [7] [8] Позднее исламские и византийские ученые развивали эти работы, и в конечном итоге они были вновь введены или стали доступны Западу в XII веке и в эпоху Возрождения .
В первом десятилетии XVI века любитель астрономии Николай Коперник предложил гелиоцентризм и опубликовал трактат о нем в 1543 году. Он сохранил идею Птолемея об эпициклах и просто стремился упростить астрономию, построив более простые наборы эпициклических орбит. Эпициклы состоят из окружностей на окружностях. Согласно аристотелевской физике , окружность была совершенной формой движения и была внутренним движением пятого элемента Аристотеля — квинтэссенции или универсальной сущности, известной по-гречески как эфир для английского чистого воздуха — который был чистой субстанцией за пределами подлунной сферы , и, таким образом, был чистым составом небесных сущностей. Немец Иоганн Кеплер [1571–1630], помощник Тихо Браге , модифицировал коперниканские орбиты в эллипсы , формализованные в уравнениях законов Кеплера о движении планет .
Увлеченный атомист Галилео Галилей в своей книге 1623 года «Пробирщик» утверждал, что «книга природы написана математикой». [9] Его книга 1632 года о его телескопических наблюдениях поддерживала гелиоцентризм. [10] Введя эксперимент, Галилей затем опроверг геоцентрическую космологию , опровергнув саму физику Аристотеля. Книга Галилея 1638 года «Рассуждение о двух новых науках» установила закон равного свободного падения, а также принципы инерционного движения, положив начало центральным концепциям того, что станет сегодняшней классической механикой . [10] Согласно закону инерции Галилея , а также принципу инвариантности Галилея , также называемому относительностью Галилея, для любого объекта, испытывающего инерцию, существует эмпирическое обоснование знания только того, что он находится в относительном покое или относительном движении — покое или движении по отношению к другому объекту.
Рене Декарт разработал полную систему гелиоцентрической космологии, основанную на принципе вихревого движения, декартовой физике , широкое признание которой помогло привести к краху аристотелевской физики. Декарт использовал математическое обоснование в качестве модели для науки и разработал аналитическую геометрию , которая со временем позволила наносить на карту местоположения в трехмерном пространстве ( декартовы координаты ) и отмечать их прогрессии по потоку времени. [11]
Христиан Гюйгенс , талантливый математик и физик, старший современник Ньютона, был первым, кто успешно идеализировал физическую проблему с помощью набора параметров в своем труде Horologium Oscillatorum (1673), и первым, кто полностью математизировал механистическое объяснение ненаблюдаемого физического явления в Traité de la Lumière (1690). По этим причинам он считается первым физиком-теоретиком и одним из основателей современной математической физики. [12] [13]
Преобладающая структура науки в XVI и начале XVII веков была заимствована из древнегреческой математики , где геометрические формы формировали строительные блоки для описания и размышления о пространстве, а время часто мыслилось как отдельная сущность. С введением алгебры в геометрию, а вместе с ней и идеи системы координат, время и пространство теперь могли быть осями, принадлежащими одной плоскости. Эта существенная математическая структура лежит в основе всей современной физики и используется во всех дальнейших математических структурах, разработанных в последующие столетия.
К середине XVII века такие важные концепции, как фундаментальная теорема исчисления (доказанная в 1668 году шотландским математиком Джеймсом Грегори ) и нахождение экстремумов и минимумов функций с помощью дифференцирования с использованием теоремы Ферма (французским математиком Пьером де Ферма ), были известны уже до Лейбница и Ньютона. [14] Исаак Ньютон (1642–1727) разработал исчисление (хотя Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал схожие концепции вне контекста физики) и метод Ньютона для решения задач в математике и физике. Он был чрезвычайно успешен в своем применении исчисления и других методов к изучению движения. Теория движения Ньютона, достигшая кульминации в его Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( Математические начала натуральной философии ) в 1687 году, смоделировала три закона движения Галилея вместе с законом всемирного тяготения Ньютона в рамках абсолютного пространства — гипотетически выдвинутого Ньютоном как физически реальная сущность евклидовой геометрической структуры, простирающейся бесконечно во всех направлениях — при этом предполагая абсолютное время , предположительно оправдывая знание абсолютного движения, движения объекта относительно абсолютного пространства. [15] Принцип инвариантности/относительности Галилея был просто подразумеваемым в теории движения Ньютона. Якобы сведя небесные законы движения Кеплера, а также земные законы движения Галилея к объединяющей силе, Ньютон достиг большой математической строгости, но с теоретической небрежностью. [16]
В 18 веке швейцарец Даниил Бернулли (1700–1782) внес вклад в гидродинамику и вибрирующие струны . Швейцарец Леонард Эйлер (1707–1783) провел особую работу в вариационном исчислении , динамике, гидродинамике и других областях. Также был известен француз итальянского происхождения Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) за работу в области аналитической механики : он сформулировал механику Лагранжа и вариационные методы. Большой вклад в формулировку аналитической динамики, называемой гамильтоновой динамикой, также внес ирландский физик, астроном и математик Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865). Гамильтонова динамика сыграла важную роль в формулировке современных теорий в физике, включая теорию поля и квантовую механику. Французский физик и математик Жозеф Фурье (1768–1830) ввел понятие рядов Фурье для решения уравнения теплопроводности , что дало начало новому подходу к решению уравнений в частных производных с помощью интегральных преобразований .
В начале 19 века математики из Франции, Германии и Англии внесли свой вклад в математическую физику. Француз Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) внес важнейший вклад в математическую астрономию , теорию потенциала . Симеон Дени Пуассон (1781–1840) работал в области аналитической механики и теории потенциала . В Германии Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) внес ключевой вклад в теоретические основы электричества , магнетизма , механики и гидродинамики . В Англии Джордж Грин (1793–1841) опубликовал в 1828 году «Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» , который в дополнение к своему значительному вкладу в математику сделал ранний прогресс в направлении установления математических основ электричества и магнетизма.
За пару десятилетий до публикации Ньютоном корпускулярной теории света голландец Христиан Гюйгенс (1629–1695) разработал волновую теорию света, опубликованную в 1690 году. К 1804 году эксперимент Томаса Юнга с двумя щелями выявил интерференционную картину, как будто свет был волной, и, таким образом, волновая теория света Гюйгенса, а также вывод Гюйгенса о том, что световые волны являются колебаниями светоносного эфира , были приняты. Жан-Огюстен Френель смоделировал гипотетическое поведение эфира. Английский физик Майкл Фарадей ввел теоретическую концепцию поля, а не действия на расстоянии. В середине 19 века шотландец Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) свел электричество и магнетизм к теории электромагнитного поля Максвелла, сокращенной другими до четырех уравнений Максвелла . Первоначально оптика была обнаружена как следствие [ необходимо уточнение ] поля Максвелла. Позже излучение, а затем и известный сегодня электромагнитный спектр были обнаружены также как следствие [ необходимо уточнение ] этого электромагнитного поля.
Английский физик лорд Рэлей [1842–1919] работал над звуком . Ирландцы Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865), Джордж Габриэль Стокс (1819–1903) и лорд Кельвин (1824–1907) создали несколько крупных работ: Стокс был лидером в оптике и гидродинамике; Кельвин сделал существенные открытия в термодинамике ; Гамильтон проделал заметную работу по аналитической механике , открыв новый и мощный подход, ныне известный как гамильтонова механика . Весьма существенный вклад в этот подход был сделан его немецким коллегой математиком Карлом Густавом Якоби (1804–1851), в частности, ссылаясь на канонические преобразования . Немец Герман фон Гельмгольц (1821–1894) внес существенный вклад в области электромагнетизма , волн, жидкостей и звука. В Соединенных Штатах новаторская работа Джозайи Уилларда Гиббса (1839–1903) стала основой статистической механики . Фундаментальные теоретические результаты в этой области были достигнуты немцем Людвигом Больцманом (1844–1906). Вместе эти люди заложили основы электромагнитной теории, гидродинамики и статистической механики.
К 1880-м годам появился заметный парадокс, что наблюдатель в электромагнитном поле Максвелла измерял его с приблизительно постоянной скоростью, независимо от скорости наблюдателя относительно других объектов в электромагнитном поле. Таким образом, хотя скорость наблюдателя постоянно терялась [ необходимо разъяснение ] относительно электромагнитного поля, она сохранялась относительно других объектов в электромагнитном поле. И все же не было обнаружено никакого нарушения инвариантности Галилея в физических взаимодействиях между объектами. Поскольку электромагнитное поле Максвелла было смоделировано как колебания эфира , физики сделали вывод, что движение в эфире приводит к дрейфу эфира, смещающему электромагнитное поле, объясняя недостающую скорость наблюдателя относительно него. Преобразование Галилея было математическим процессом, используемым для перевода положений в одной системе отсчета в предсказания положений в другой системе отсчета, все построенные в декартовых координатах , но этот процесс был заменен преобразованием Лоренца , смоделированным голландцем Хендриком Лоренцом [1853–1928].
Однако в 1887 году экспериментаторы Майкельсон и Морли не смогли обнаружить эфирный дрейф. Была выдвинута гипотеза, что движение в эфир также вызвало сокращение эфира, как это было смоделировано в сокращении Лоренца . Была выдвинута гипотеза, что эфир таким образом поддерживал электромагнитное поле Максвелла в соответствии с принципом инвариантности Галилея во всех инерциальных системах отсчета , в то время как теория движения Ньютона была сохранена.
Австрийский физик-теоретик и философ Эрнст Мах критиковал постулированное Ньютоном абсолютное пространство. Математик Жюль-Анри Пуанкаре (1854–1912) подвергал сомнению даже абсолютное время. В 1905 году Пьер Дюгем опубликовал сокрушительную критику основ теории движения Ньютона. [16] Также в 1905 году Альберт Эйнштейн (1879–1955) опубликовал свою специальную теорию относительности , по-новому объяснив как инвариантность электромагнитного поля, так и галилеевскую инвариантность, отбросив все гипотезы, касающиеся эфира, включая существование самого эфира. Опровергая основу теории Ньютона — абсолютное пространство и абсолютное время — специальная теория относительности относится к относительному пространству и относительному времени , в результате чего длина сокращается, а время расширяется вдоль пути движения объекта.
Декартовы координаты произвольно использовали прямолинейные координаты. Гаусс, вдохновленный работой Декарта, ввел искривленную геометрию, заменив прямолинейные оси искривленными. Гаусс также ввел еще один ключевой инструмент современной физики — кривизну. Работа Гаусса была ограничена двумя измерениями. Расширение ее до трех или более измерений внесло большую сложность, с необходимостью (еще не изобретенных) тензоров. Именно Римман был тем, кто отвечал за расширение искривленной геометрии до N измерений. В 1908 году бывший профессор математики Эйнштейна Герман Минковский применил конструкцию искривленной геометрии для моделирования трехмерного пространства вместе с одномерной осью времени, рассматривая временную ось как четвертое пространственное измерение — в целом 4D пространство-время — и объявил о неизбежной кончине разделения пространства и времени. [17] Эйнштейн изначально называл это «излишней ученостью», но позже использовал пространство-время Минковского с большой элегантностью в своей общей теории относительности , [18] распространив инвариантность на все системы отсчета — воспринимаемые как инерциальные или как ускоренные — и приписал это Минковскому, к тому времени покойному. Общая теория относительности заменяет декартовы координаты на гауссовы координаты и заменяет заявленное Ньютоном пустое, но евклидово пространство, мгновенно пересекаемое вектором гипотетической гравитационной силы Ньютона — мгновенное действие на расстоянии — гравитационным полем . Гравитационное поле — это само пространство-время Минковского , 4D- топология эфира Эйнштейна, смоделированная на лоренцевом многообразии , которое «искривляется» геометрически, согласно тензору кривизны Римана . Концепция гравитации Ньютона: «две массы притягиваются друг к другу» заменена геометрическим аргументом: «масса преобразует кривизну пространства-времени , а свободно падающие частицы с массой движутся по геодезической кривой в пространстве-времени» ( Риманова геометрия существовала еще до 1850-х годов математиками Карлом Фридрихом Гауссом и Бернхардом Риманом в поисках внутренней геометрии и неевклидовой геометрии), вблизи либо массы, либо энергии. (В специальной теории относительности — частном случае общей теории относительности — даже безмассовая энергия оказывает гравитационное воздействие за счет своей эквивалентности массе, локально «искривляя» геометрию четырех единых измерений пространства и времени.)
Другим революционным достижением 20-го века стала квантовая теория , которая возникла из основополагающих трудов Макса Планка (1856–1947) (об излучении черного тела ) и работы Эйнштейна по фотоэлектрическому эффекту . В 1912 году математик Анри Пуанкаре опубликовал работу Sur la théorie des quanta . [19] [20] В этой статье он ввел первое ненаивное определение квантования. Развитие ранней квантовой физики сопровождалось эвристической структурой, разработанной Арнольдом Зоммерфельдом (1868–1951) и Нильсом Бором (1885–1962), но вскоре ее заменила квантовая механика, разработанная Максом Борном (1882–1970), Луи де Бройлем (1892–1987), Вернером Гейзенбергом (1901–1976), Полем Дираком (1902–1984), Эрвином Шредингером (1887–1961), Сатьендра Натом Бозе (1894–1974) и Вольфгангом Паули (1900–1958). Эта революционная теоретическая структура основана на вероятностной интерпретации состояний, эволюции и измерений в терминах самосопряженных операторов на бесконечномерном векторном пространстве. Это называется гильбертовым пространством (введено математиками Давидом Гильбертом (1862–1943), Эрхардом Шмидтом (1876–1959) и Фридьешем Риссом (1880–1956) в поисках обобщения евклидова пространства и изучения интегральных уравнений), и строго определено в аксиоматической современной версии Джоном фон Нейманом в его знаменитой книге « Математические основы квантовой механики» , где он построил важную часть современного функционального анализа на гильбертовых пространствах, спектральную теорию (введенную Давидом Гильбертом , который исследовал квадратичные формы с бесконечным числом переменных. Много лет спустя было обнаружено, что его спектральная теория связана со спектром атома водорода. Он был удивлен этим применением.) в частности. Поль Дирак использовал алгебраические конструкции для создания релятивистской модели для электрона , предсказывая его магнитный момент и существование его античастицы, позитрона .
Выдающиеся деятели математической физики XX века (перечислены по дате рождения):
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
Медиа, связанные с математической физикой на Wikimedia Commons