гамильтонова механика

Формулировка классической механики с использованием импульсов

сэр Уильям Роуэн Гамильтон

Гамильтонова механика возникла в 1833 как переформулировка механики Лагранжа . Введенная сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном [ ^1] гамильтонова механика заменяет (обобщенные) скорости, используемые в лагранжевой механике, (обобщенными) импульсами . Обе теории дают интерпретации классической механики и описывают одни и те же физические явления. ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

Гамильтонова механика имеет тесную связь с геометрией (в частности, симплектической геометрией и пуассоновскими структурами ) и служит связующим звеном между классической и квантовой механикой .

Обзор

Координаты фазового пространства (p,q) и гамильтониан H

Пусть – механическая система с конфигурационным пространством и гладким лагранжианом. Выберите стандартную систему координат на Величины называются импульсами . (Также обобщенные импульсы , сопряженные импульсы и канонические импульсы ). В какой-то момент времени преобразование Лежандра определяется как отображение , которое, как предполагается, имеет гладкое обратное. Для системы со степенями свободы лагранжева механика определяет энергетическую функцию ${\displaystyle (M,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.}$$

Преобразование Лежандра превращается в функцию, известную как гамильтониан . Гамильтониан удовлетворяет ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),}$$

координатами фазового пространстваканонические координаты ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}.}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$

От уравнения Эйлера–Лагранжа к уравнениям Гамильтона

В координатах фазового пространства ( -мерное) уравнение Эйлера – Лагранжа ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}=0}$$

уравнениями Гамильтона ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}$

Доказательство

Гамильтониан представляет собой преобразование Лежандра лагранжиана , поэтому имеем ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\boldsymbol {\dot {q}}}}$

и поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {p}}&={\boldsymbol {\dot {q}}}\\\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}\end{aligned}}}$,

Кроме того, поскольку уравнения Эйлера-Лагранжа дают ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {p}}/\mathrm {d} t=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}.}$

От стационарного принципа действия к уравнениям Гамильтона

Пусть – набор гладких путей, для которых и Функционал действия определяется через ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,}$$

стационарной точкой ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t),}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))}$

Основная физическая интерпретация

Простая интерпретация гамильтоновой механики основана на ее применении к одномерной системе, состоящей из одной нерелятивистской частицы массы m . Значением гамильтониана является полная энергия системы, в данном случае сумма кинетической и потенциальной энергии , традиционно обозначаемая T и V соответственно. Здесь p — импульс mv , q — пространственная координата. Затем ${\displaystyle H(p,q)}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)}$$

TpVqTVсклерономными

В этом примере производная q по времени — это скорость, и поэтому первое уравнение Гамильтона означает, что скорость частицы равна производной ее кинетической энергии по ее импульсу. Производная по времени импульса p равна силе Ньютона , и поэтому второе уравнение Гамильтона означает, что сила равна отрицательному градиенту потенциальной энергии.

Пример

Сферический маятник состоит из массы m , движущейся без трения по поверхности сферы . Единственные силы , действующие на массу, — это реакция сферы и гравитация . Сферические координаты используются для описания положения массы в терминах ( r , θ , φ ), где r фиксировано, r = ℓ .

Сферический маятник : углы и скорости.

Лагранжиан для этой системы равен ^[2]

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .}$$

Таким образом, гамильтониан

$${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L}$$

$${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}}$$

$${\displaystyle P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.}$$

$${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mg\ell \cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}}$$

углового моментаазимутциклической координатой ${\displaystyle P_{\varphi }}$ ${\displaystyle L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Вывод уравнений Гамильтона

Уравнения Гамильтона могут быть получены путем расчета с использованием лагранжиана , обобщенных положений q ⁱ и обобщенных скоростей q̇ ⁱ , где . ^[3] Здесь мы работаем вне оболочки , то есть это независимые координаты в фазовом пространстве, не ограниченные соблюдением каких-либо уравнений движения (в частности, не являются производными от ). Полный дифференциал лагранжиана равен: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle q^{i},{\dot {q}}^{i},t}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ${\displaystyle q^{i}}$

$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

${\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}}$$

После перестановки получим:

$${\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Член в круглых скобках в левой части — это не что иное, как гамильтониан, определенный ранее, поэтому: ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Можно также вычислить полный дифференциал гамильтониана по координатам вместо , что даст: ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle q^{i},p_{i},t}$ ${\displaystyle q^{i},{\dot {q}}^{i},t}$

$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Теперь можно приравнять эти два выражения для , одно через , другое через : ${\displaystyle d{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

$${\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Поскольку эти расчеты являются внешними, можно приравнять соответствующие коэффициенты с обеих сторон: ${\displaystyle \mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .}$$

На оболочке заменяются параметрические функции , которые определяют траекторию в фазовом пространстве со скоростями , подчиняясь уравнениям Лагранжа : ${\displaystyle q^{i}=q^{i}(t)}$ ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .}$$

Перестановка и запись в терминах оболочки дает: ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .}$$

Таким образом, уравнения Лагранжа эквивалентны уравнениям Гамильтона:

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.}$$

В случае не зависящих от времени и , т. е . уравнения Гамильтона состоят из 2 n дифференциальных уравнений первого порядка , а уравнения Лагранжа состоят из n уравнений второго порядка. Уравнения Гамильтона обычно не уменьшают трудности поиска явных решений, но из них можно получить важные теоретические результаты, поскольку координаты и импульсы являются независимыми переменными с почти симметричными ролями. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0}$

Уравнения Гамильтона имеют еще одно преимущество перед уравнениями Лагранжа: если система обладает симметрией, так что какая-то координата не встречается в гамильтониане (т.е. циклическая координата ), соответствующая координата импульса сохраняется вдоль каждой траектории, и эта координата может быть уменьшена до константа в остальных уравнениях системы. Это эффективно сводит проблему от n координат к ( n - 1) координатам: это основа симплектической редукции в геометрии. В рамках лагранжиана сохранение импульса также следует немедленно, однако все обобщенные скорости по-прежнему встречаются в лагранжиане, и еще необходимо решить систему уравнений в n координатах. ^[4] ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$

Лагранжев и гамильтонов подходы обеспечивают основу для более глубоких результатов в классической механике и предлагают аналогичные формулировки в квантовой механике : формулировку интеграла по траекториям и уравнение Шредингера .

Свойства гамильтониана

• Значение гамильтониана является полной энергией системы тогда и только тогда, когда энергетическая функция обладает тем же свойством. (См. определение ). ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}}$когда образуют решение уравнений Гамильтона. ${\displaystyle \mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)}$
  Действительно, и все, кроме последнего срока, сводится на нет. ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$не меняется при точечных преобразованиях , т.е. плавном изменении координат пространства. (Следует из инвариантности энергетической функции относительно точечных преобразований. Инвариантность можно установить непосредственно). ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.}$(См. Вывод уравнений Гамильтона).
• ${\displaystyle -{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.}$(Сравните уравнения Гамильтона и Эйлера-Лагранжа или см. «Вывод уравнений Гамильтона»).
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0}$если и только если ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.}$
  Координата, для которой выполняется последнее уравнение, называется циклической (или игнорируемой ). Каждая циклическая координата уменьшает количество степеней свободы, вызывая сохранение соответствующего импульса , и упрощает решение уравнений Гамильтона. ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле

Достаточной иллюстрацией гамильтоновой механики является гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле . В декартовых координатах лагранжиан нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле равен (в единицах СИ ):

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$$

qэлектрический зарядφэлектрический скалярный потенциалA _iвекторного потенциала ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера-Лагранжа дает закон силы Лоренца.

$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$$

минимальной связью

Канонические импульсы задаются формулой:

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$$

Таким образом , гамильтониан как преобразование Лежандра лагранжиана имеет вид:

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$$

Это уравнение часто используется в квантовой механике .

При калибровочном преобразовании :

$${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$$

f ( r , t )

$${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$$

В квантовой механике волновая функция также претерпевает локальное групповое преобразование U(1) ^[5] во время калибровочного преобразования, что означает, что все физические результаты должны быть инвариантными относительно локальных преобразований U(1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

Релятивистский лагранжиан для частицы ( масса покоя и заряд ) определяется выражением: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$$

Таким образом, канонический импульс частицы равен

$${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$$

Решая скорость, получаем

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$$

Итак, гамильтониан

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$$

В результате получается уравнение силы (эквивалентное уравнению Эйлера – Лагранжа )

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$$

В приведенном выше выводе используется тождество векторного исчисления :

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функции релятивистского (кинетического) импульса : ${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$$

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс - нет. Обратите внимание, что гамильтониан ( полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетическая+остаток) плюс потенциальная энергия . ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ ${\displaystyle V=q\varphi }$

От симплектической геометрии к уравнениям Гамильтона

Геометрия гамильтоновых систем

Гамильтониан может индуцировать симплектическую структуру на гладком четномерном многообразии M ^{2 n} несколькими эквивалентными способами, наиболее известными из которых являются следующие: ^[6]

Как замкнутая невырожденная симплектическая 2-форма ω. Согласно теореме Дарбу , в малой окрестности вокруг любой точки на M существуют подходящие локальные координаты ( канонические или симплектические координаты), в которых симплектическая форма принимает вид: ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}$

$${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.}$$

естественный изоморфизмпространствакокасательным пространствомбилинейностилинейным изоморфизмоместественен ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M.}$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$ ${\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}$ ${\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )}$ ${\displaystyle \eta \in T_{x}M.}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M,}$ ${\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}$

$${\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}$$

(В алгебраических терминах можно было бы сказать, что -модули и изоморфны ). Если тогда для каждого фиксированного и известно как гамильтоново векторное поле . Соответствующее дифференциальное уравнение на ${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}$ ${\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}$ ${\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}$ ${\displaystyle J(dH)}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}$$

уравнением Гамильтона ${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}$ ${\displaystyle J(dH)}$ ${\displaystyle x\in M.}$

Гамильтонову систему можно понимать как расслоение E во времени R , где слой E _t является позиционным пространством в момент времени t ∈ R. Таким образом, лагранжиан является функцией на расслоении струй J над E ; послойное преобразование Лежандра лагранжиана дает функцию на двойственном расслоении во времени, слой которой в точке t является кокасательным пространством T ^∗ E _t , которое имеет естественную симплектическую форму , и эта последняя функция является гамильтонианом. Соответствие лагранжевой и гамильтоновой механики достигается с помощью тавтологической формы .

Любая гладкая вещественная функция H на симплектическом многообразии может использоваться для определения гамильтоновой системы . Функция H известна как «гамильтониан» или «функция энергии». Симплектическое многообразие тогда называется фазовым пространством . Гамильтониан индуцирует специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известное как векторное поле Гамильтона .

Гамильтоново векторное поле индуцирует гамильтонов поток на многообразии. Это однопараметрическое семейство преобразований многообразия (параметр кривых принято называть «временем»); другими словами, изотопия симплектоморфизмов , начиная с единицы. По теореме Лиувилля каждый симплектоморфизм сохраняет форму объема в фазовом пространстве . Совокупность симплектоморфизмов, индуцированных гамильтоновым потоком, обычно называют «гамильтоновой механикой» гамильтоновой системы.

Симплектическая структура индуцирует скобку Пуассона . Скобка Пуассона придает пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли .

Если F и G — гладкие функции на M ^, то гладкая функция ω2 ( IdG , IdF ) определена правильно; она называется скобкой Пуассона функций F и G и обозначается { F , G } . Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:

1. билинейность
2. антисимметрия
3. Правило Лейбница : ${\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}$
4. Личность Якоби : ${\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}$
5. невырожденность: если точка x на M не является критической для F , то существует гладкая функция G такая, что . ${\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}$

Учитывая функцию f

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}$$

распределение вероятностей ρ ${\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}$$

Это называется теоремой Лиувилля . Каждая гладкая функция G над симплектическим многообразием порождает однопараметрическое семейство симплектоморфизмов , и если { G , H } = 0 , то G сохраняется, а симплектоморфизмы являются преобразованиями симметрии .

Гамильтониан может иметь несколько сохраняющихся величин G _i . Если симплектическое многообразие имеет размерность 2 n и существует n функционально независимых сохраняющихся величин G _i , находящихся в инволюции (т. е. { G _i , G _j } = 0 ), то гамильтониан интегрируем по Лиувиллю . Теорема Лиувилля–Арнольда гласит, что локально любой интегрируемый по Лиувиллю гамильтониан может быть преобразован с помощью симплектоморфизма в новый гамильтониан с сохраняющимися величинами Gi в качестве координат _; новые координаты называются координатами действия-угла . Преобразованный гамильтониан зависит только от G _i , поэтому уравнения движения имеют простой вид

$${\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}$$

F^[7]теореме КАМ

Интегрируемость гамильтоновых векторных полей остается открытым вопросом. В общем, гамильтоновы системы хаотичны ; понятия меры, полноты, интегрируемости и устойчивости определены слабо.

Римановы многообразия

Важный частный случай составляют те гамильтонианы, которые являются квадратичными формами , то есть гамильтонианы, которые можно записать как

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}$$

⟨ , ⟩ _qскалярное произведениеслоях T^∗
_qQ кокасательное пространство q конфигурационном пространстве кинетического члена

Если рассматривать риманово многообразие или псевдориманово многообразие , риманова метрика индуцирует линейный изоморфизм между касательными и кокасательными расслоениями. (См. Музыкальный изоморфизм ). Используя этот изоморфизм, можно определить кометрику. (В координатах матрица, определяющая кометрику, является обратной матрицей, определяющей метрику.) Решения уравнений Гамильтона – Якоби для этого гамильтониана тогда такие же, как геодезические на многообразии. В частности, гамильтонов поток в этом случае есть то же самое, что и геодезический поток . Существование таких решений, а также полнота множества решений подробно обсуждаются в статье о геодезии . См. также Геодезические как гамильтоновы потоки .

Субримановы многообразия

Если кометика вырождена, то она не обратима. В этом случае не существует риманова многообразия, как и не существует метрики. Однако гамильтониан все еще существует. В случае, когда кометрика вырождена в каждой точке q многообразия конфигурационного пространства Q , так что ранг кометрики меньше размерности многообразия Q , существует субриманово многообразие .

Гамильтониан в этом случае известен как субриманов гамильтониан . Каждый такой гамильтониан однозначно определяет кометрику, и наоборот. Это означает, что каждое субриманово многообразие однозначно определяется своим субримановым гамильтонианом и что верно обратное: каждое субриманово многообразие имеет уникальный субриманов гамильтониан. Существование субримановых геодезических дается теоремой Чоу–Рашевского .

Непрерывная вещественная группа Гейзенберга представляет собой простой пример субриманова многообразия. Для группы Гейзенберга гамильтониан имеет вид

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).}$$

p _z

Алгебры Пуассона

Гамильтоновы системы можно обобщать различными способами. Вместо того, чтобы просто рассматривать алгебру гладких функций над симплектическим многообразием , гамильтонову механику можно сформулировать на общих коммутативных вещественных алгебрах Пуассона с единицей . Состояние — это непрерывный линейный функционал на алгебре Пуассона (наделенный некоторой подходящей топологией ) такой, что для любого элемента A алгебры A 2 ^{отображается} в неотрицательное действительное число.

Дальнейшее обобщение даёт динамика Намбу .

Обобщение квантовой механики через скобку Пуассона.

Уравнения Гамильтона, приведенные выше, хорошо работают для классической механики , но не для квантовой механики , поскольку обсуждаемые дифференциальные уравнения предполагают, что можно указать точное положение и импульс частицы одновременно в любой момент времени. Однако уравнения могут быть дополнительно обобщены, а затем расширены для применения как к квантовой механике, так и к классической механике путем деформации алгебры Пуассона над p и q до алгебры скобок Мойала .

В частности, более общая форма уравнения Гамильтона гласит:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$$

fpqHскобки Пуассона,Алгебра Лиалгебре Пуассонаскобок МойалаХилбранд Дж. Гроневолдформулировку фазового пространствапреобразование Вигнера-Вейляраспределения вероятностейфазовом пространствеквазивероятностных распределений Вигнерасохраняющиеся величины

Смотрите также

• Каноническое преобразование
• Классическая теория поля
• Гамильтонова теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля
• Классическая механика
• Теория динамических систем
• гамильтонова система
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна
• Лагранжева механика
• Уравнения Максвелла
• Гамильтониан (квантовая механика)
• Квантовые уравнения Гамильтона
• Квантовая теория поля
• Гамильтонова оптика
• Теория Де Дондера – Вейля
• Геометрическая механика
• Рутианская механика
• Механика Намбу
• Гамильтонова механика жидкости
• Гамильтоново векторное поле

Рекомендации

1. Гамильтон, Уильям Роуэн, сэр (1833). Об общем методе выражения путей света и планет через коэффициенты характеристической функции. Напечатано П.Д. Харди. ОСЛК  68159539.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Ландау и Лифшиц 1976, стр. 33–34.
3. Этот вывод аналогичен тем, которые приведены в Arnold 1989, стр. 65–66.
4. Гольдштейн, Пул и Сафко 2002, стр. 347–349.
5. Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (4 декабря 2008 г.). «Калибровочная инвариантность». Схоларпедия . 3 (12): 8287. Бибкод : 2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
6. Арнольд, Козлов и Нештадт 1988, §3. Гамильтонова механика.
7. Арнольд, Козлов и Нейштадт 1988 г.

дальнейшее чтение

• Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1976). Механика. Курс теоретической физики . Том. 1. Сайкс, Дж. Б. (Джон Брэдбери), Белл, Дж. С. (3-е изд.). Оксфорд. ISBN 0-08-021022-8. ОСЛК  2591126.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Авраам, Р .; Марсден, Дж. Э. (1978). Основы механики (2-е изд., перераб., англ. и сброс. изд.). Ридинг, Массачусетс: Паб Benjamin/Cummings. ISBN компании 0-8053-0102-Х. ОСЛК  3516353.
• Арнольд, VI ; Козлов В.В.; Нейштадт, А.И. (1988). «Математические аспекты классической и небесной механики». Энциклопедия математических наук, Динамические системы III. Том. 3. Аносов, Д.В. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. ОСЛК  16404140.
• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. ОСЛК  18681352.
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-31611-0. ОСЛК  47056311.
• Виноградов А.М. ; Купершмидт, Б.А. (31 августа 1977 г.). «Строение гамильтоновой механики». Российские математические обзоры . 32 (4): 177–243. Бибкод :1977РуМаС..32..177В. doi : 10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN  0036-0279. S2CID  250805957.

Внешние ссылки

• Бинни, Джеймс Дж. , Классическая механика (конспекты лекций) (PDF) , Оксфордский университет , получено 27 октября 2010 г.
• Тонг, Дэвид , Классическая динамика (конспекты лекций в Кембридже), Кембриджский университет , получено 27 октября 2010 г.
• Гамильтон, Уильям Роуэн , «Об общем методе в динамике», Тринити-колледж, Дублин.