Дифференциал функции

Понятие в исчислении

В исчислении дифференциал представляет собой основную часть изменения функции по отношению к изменениям независимой переменной. Дифференциал определяется формулой ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle dy}$

$${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$$

производная,переменная ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dx}$

$${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$$

выполняется, где производная представлена ​​в обозначениях Лейбница , и это согласуется с представлением о производной как о частном дифференциалов. Еще один пишет ${\displaystyle dy/dx}$

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$$

Точное значение переменных зависит от контекста приложения и требуемого уровня математической строгости. Область определения этих переменных может приобретать особое геометрическое значение, если дифференциал рассматривается как особая дифференциальная форма , или аналитическое значение, если дифференциал рассматривается как линейное приближение к приращению функции. Традиционно переменные и считаются очень малыми ( бесконечно малыми ), и эта интерпретация становится строгой в нестандартном анализе . ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$

История и использование

Дифференциал был впервые введен через интуитивное или эвристическое определение Исааком Ньютоном и развит Готфридом Лейбницем , который думал о дифференциале  dy как о бесконечно малом (или бесконечно малом ) изменении значения  y функции, соответствующем бесконечно малому изменению  dx . в аргументе функции  x . По этой причине мгновенная скорость изменения y по отношению к x , которая является значением производной функции , обозначается дробью

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$$

нотации Лейбницареальное число ${\displaystyle dy/dx}$

Использование бесконечно малых в этой форме подверглось широкой критике, например, в знаменитой брошюре епископа Беркли «Аналитик» . Огюстен-Луи Коши (1823) определил дифференциал, не обращаясь к атомизму бесконечно малых Лейбница. ^{[1] [2]} Вместо этого Коши, следуя Даламберу , перевернул логический порядок Лейбница и его последователей: сама производная стала фундаментальным объектом, определяемым как предел разностных коэффициентов, а дифференциалы затем определялись в терминах это. То есть можно было свободно определить дифференциал выражением ${\displaystyle dy}$

$${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$$

^[3][4] ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$

Согласно Бойеру (1959, стр. 12), подход Коши был значительным логическим улучшением по сравнению с бесконечно малым подходом Лейбница, потому что вместо обращения к метафизическому понятию бесконечно малых величин теперь можно было манипулировать величинами и точно так же, как и любыми другими. реальные величины осмысленным образом. Общий концептуальный подход Коши к дифференциалам остается стандартным в современных аналитических подходах ^[5] , хотя последнее слово о строгости, полностью современном понятии предела, в конечном итоге принадлежало Карлу Вейерштрассу . ^[6] ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$

В физических подходах, например, в теории термодинамики , по-прежнему преобладает точка зрения на бесконечно малые величины. Курант и Джон (1999, стр. 184) примиряют физическое использование бесконечно малых дифференциалов с их математической невозможностью следующим образом. Дифференциалы представляют собой конечные ненулевые значения, которые меньше степени точности, необходимой для конкретной цели, для которой они предназначены. Таким образом, «физические бесконечно малые» не обязательно апеллируют к соответствующим математическим бесконечно малым, чтобы иметь точный смысл.

После достижений двадцатого века в области математического анализа и дифференциальной геометрии стало ясно, что понятие дифференциала функции можно расширить различными способами. В реальном анализе целесообразнее иметь дело непосредственно с дифференциалом как с главной частью приращения функции. Это приводит непосредственно к понятию, что дифференциал функции в точке является линейным функционалом от приращения . Этот подход позволяет разрабатывать дифференциал (как линейное отображение) для множества более сложных пространств, что в конечном итоге приводит к появлению таких понятий, как производная Фреше или Гато . Точно так же в дифференциальной геометрии дифференциал функции в точке является линейной функцией касательного вектора («бесконечно малое смещение»), что демонстрирует его как своего рода одну форму: внешнюю производную функции. В нестандартном исчислении дифференциалы рассматриваются как бесконечно малые, которым самим можно поставить строгие основания (см. дифференциал (бесконечно малый) ). ${\displaystyle \Delta x}$

Определение

Дифференциал функции в точке . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Дифференциал определяется в современных трактовках дифференциального исчисления следующим образом. ^[7] Дифференциал функции одной действительной переменной — это функция двух независимых действительных переменных , определяемая формулой ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$

$${\displaystyle df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.}$$

Один или оба аргумента могут быть подавлены, т. е. можно увидеть или просто . Если , то дифференциал также можно записать как . Поскольку , принято писать так, что имеет место равенство: ${\displaystyle df(x)}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx(x,\Delta x)=\Delta x}$ ${\displaystyle dx=\Delta x}$

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$$

Это понятие дифференциала широко применимо, когда ищется линейное приближение функции, в которой значение приращения достаточно мало. Точнее, если – дифференцируемая функция при , то разность -значений ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)}$$

удовлетворяет

$${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}$$

где погрешность аппроксимации равна . Другими словами, имеется приблизительное тождество ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon /\Delta x\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$

$${\displaystyle \Delta y\approx dy}$$

в котором ошибку можно сделать настолько малой, насколько это необходимо, путем ограничения ее достаточно малой величины; то есть, ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}$$

главная (линейная) частьлинейной функцией ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta x}$

Дифференциалы по нескольким переменным

Следуя Гурса (1904, I, §15), для функций более чем одной независимой переменной:

$${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$

Частный дифференциал y по любой из переменных  x ₁ является основной частью изменения y в результате изменения  dx ₁ в этой переменной . Частный дифференциал, следовательно,

$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$$

включая частную производную y по  x ₁ . Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным представляет собой полный дифференциал.

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$$

что является основной частью изменения y в результате изменений независимых переменных  x _i .

Точнее, в контексте исчисления многих переменных, следуя Куранту (1937b), если f — дифференцируемая функция, то по определению дифференцируемости приращение

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$$

где члены ошибки ε _i  стремятся к нулю, поскольку приращения Δ x _i совместно стремятся к нулю. Тогда полный дифференциал строго определяется как

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$$

Поскольку согласно этому определению

$${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$$

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

Как и в случае с одной переменной, справедливо приблизительное тождество

$${\displaystyle dy\approx \Delta y}$$

в котором общую ошибку можно сделать настолько малой, насколько это необходимо, ограничив внимание достаточно малыми приращениями. ${\textstyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$

Применение общего дифференциала для оценки ошибки

При измерении общий дифференциал используется для оценки погрешности функции на основе погрешностей параметров . Предполагая, что интервал достаточно короток, чтобы изменение было примерно линейным: ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\ldots }$ ${\displaystyle x,y,\ldots }$

$${\displaystyle \Delta f(x)=f'(x)\Delta x}$$

и что все переменные независимы, то для всех переменных

$${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$$

Это связано с тем, что производная по конкретному параметру дает чувствительность функции к изменению , в частности к ошибке . Поскольку предполагается, что они независимы, анализ описывает наихудший сценарий. Используются абсолютные значения погрешностей составляющих, поскольку после простого вычисления производная может иметь отрицательный знак. Из этого принципа выводятся правила ошибок суммирования, умножения и т. д., например: ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$

Позволять . Тогда конечную ошибку можно аппроксимировать как ${\displaystyle f(a,b)=ab}$

$${\displaystyle \Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b.}$$

Оценка производных:

$${\displaystyle \Delta f=b\Delta a+a\Delta b.}$$

Деление на f , которое равно a × b

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}}$$

То есть при умножении общая относительная ошибка представляет собой сумму относительных ошибок параметров.

Чтобы проиллюстрировать, как это зависит от рассматриваемой функции, рассмотрим случай, когда вместо нее используется функция. Затем можно вычислить, что оценка ошибки равна ${\displaystyle f(a,b)=a\ln b}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\ln b}}}$$

ln bln bb

Дифференциалы высшего порядка

Дифференциалы высшего порядка функции y = f ( x ) одной переменной x могут быть определены с помощью: ^[8]

$${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$$

$${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$$

$${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$$

xx

$${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\[1ex]d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$$

Аналогичные соображения применимы и к определению дифференциалов более высокого порядка функций нескольких переменных. Например, если f — функция двух переменных x и y , то

$${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$$

биномиальный коэффициентполиномиальным^[9] ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$

Дифференциалы более высокого порядка в нескольких переменных также усложняются, когда независимым переменным разрешается зависеть от других переменных. Например, для функции f от x и y , которой разрешено зависеть от вспомогательных переменных, имеем

$${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$$

Из-за этой неуклюжести обозначений использование дифференциалов более высокого порядка подверглось резкой критике со стороны Адамара (1935), который пришел к выводу:

Enfin, что означает или представляет равенство

$${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$$

A mon avis, rien du tout.

То есть: Наконец, что подразумевается или представлено равенством [...]? По-моему, вообще ничего. Несмотря на этот скептицизм, дифференциалы более высокого порядка все же стали важным инструментом анализа. ^[10]

В этих контекстах дифференциал n -го порядка функции f , примененной к приращению Δ x , определяется выражением

$${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$$

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$$

n-яразностьt Δ x ${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$

Это определение имеет смысл и в том случае, если f — функция нескольких переменных (здесь для простоты рассматривается как векторный аргумент). Тогда определенный таким образом n -й дифференциал является однородной функцией степени n по приращению вектора ∆x . Кроме того, ряд Тейлора функции f в точке x определяется выражением

$${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$$

Производная Гато

Характеристики

Ряд свойств дифференциала непосредственно вытекает из соответствующих свойств производной, частной производной и полной производной. К ним относятся: ^[11]

• Линейность : для констант a и b и дифференцируемых функций f и g :
  $${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$$
• Правило произведения : для двух дифференцируемых функций f и g
  $${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$$

Операция d с этими двумя свойствами известна в абстрактной алгебре как дифференцирование . Они подразумевают правило власти

$${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$$

цепного правила : ^[12]

• Если y = f ( u ) — дифференцируемая функция переменной u , а u = g ( x ) — дифференцируемая функция от x , то
  $${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$$
• Если y = f ( x1 _, ..., xn ) и все переменные  x1 _, ..., xn _{зависят} от другой переменной  _t , то по правилу цепочки для частных производных имеем
  $${\displaystyle {\begin{aligned}dy={\frac {dy}{dt}}dt&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\[1ex]&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$$
  Эвристически правило цепочки для нескольких переменных можно понять, разделив обе части этого уравнения на бесконечно малую величину dt .
• Имеют место более общие аналогичные выражения, в которых промежуточные переменные x _i зависят более чем от одной переменной.

Общая формулировка

^{Непротиворечивое} понятие дифференциала может быть развито для функции ^f :  Rn → Rm между двумя евклидовыми пространствами . Пусть x ,Δ x ∈ Rn ^— пара евклидовых векторов . Приращение функции f равно

$${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$$

матрица A размера m × n

$${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$

ε → 0Δ x → 0fxAматрицей Якобилинейное преобразование∆ x ∈ RnA ∆ x ∈ R ^mdf ( x ⁾ функциихпроизводная Фрешебанаховыми пространствами

Другая плодотворная точка зрения состоит в том, чтобы определить дифференциал непосредственно как своего рода производную по направлению :

$${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$$

txhкасательное пространствоdfдифференциальную формуfвнешняя производнаядифференциальной геометриидифференцируемом многообразииfdfвыталкиванием вперед»

Другие подходы

Хотя понятие бесконечно малого приращения dx не имеет четкого определения в современном математическом анализе , существует множество методов определения бесконечно малого дифференциала , так что дифференциал функции можно обрабатывать таким образом, чтобы он не противоречил обозначениям Лейбница. . К ним относятся:

• Определение дифференциала как разновидности дифференциальной формы , в частности внешней производной функции. Затем бесконечно малые приращения идентифицируются с векторами в касательном пространстве в точке. Этот подход популярен в дифференциальной геометрии и смежных областях, поскольку его легко обобщать на отображения между дифференцируемыми многообразиями .
• Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец . Этот подход популярен в алгебраической геометрии . ^[13]
• Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий бесконечно малый анализ и тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что идеи теории топоса используются для сокрытия механизмов, с помощью которых вводятся нильпотентные бесконечно малые. ^[14]
• Дифференциалы как бесконечно малые в гипердействительных системах счисления , которые являются расширениями действительных чисел и содержат обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые предложенный Абрахамом Робинсоном . ^[15]

Примеры и приложения

Дифференциалы могут эффективно использоваться в численном анализе для изучения распространения экспериментальных ошибок в расчетах и, следовательно, общей численной устойчивости задачи (Куран, 1937а). Предположим, что переменная x представляет собой результат эксперимента, а y – результат численного вычисления, примененного к x . Вопрос в том, в какой степени ошибки измерения x влияют на результат вычисления y . Если x известен с точностью до Δ x от его истинного значения, то теорема Тейлора дает следующую оценку ошибки Δ y при вычислении y :

$${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$$

ξ = x + θ Δ x0 < θ < 1Δ xydy = f' ( x ) Δ x

Дифференциал часто бывает полезен при переписывании дифференциального уравнения.

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$$

$${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$$

разделить переменные

Примечания

1. Подробный исторический отчет о дифференциале см. в Boyer 1959, особенно на стр. 275, где представлен вклад Коши по этому вопросу. Сокращенный отчет появляется в Kline 1972, глава 40.
2. Коши явно отрицал возможность существования реальных бесконечно малых и бесконечных величин (Boyer 1959, стр. 273–275) и придерживался радикально иной точки зрения, согласно которой «переменная величина становится бесконечно малой, когда ее числовое значение бесконечно уменьшается таким образом, как сходиться к нулю» (Коши 1823, стр. 12; перевод Бойера 1959, стр. 273).
3. Бойер 1959, с. 275
4. Бойер 1959, с. 12: «Дифференциалы, определенные таким образом, являются лишь новыми переменными , а не фиксированными бесконечно малыми...»
5. Courant 1937a, II, §9: «Здесь мы лишь мимоходом отмечаем, что можно использовать это приближенное представление приращения с помощью линейного выражения для построения логически удовлетворительного определения «дифференциала», как это было сделано Коши в особый." ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle hf(x)}$
6. Бойер 1959, с. 284
7. См., например, влиятельные трактаты Куранта 1937а, Клайна 1977, Гурса 1904 и Харди 1908. Третичные источники для этого определения включают также Толстова 2001 и Ито 1993, §106.
8. Коши 1823. См. также, например, Goursat 1904, I, §14.
9. Гурса 1904, I, §14
10. В частности, к бесконечномерной голоморфности (Hille & Phillips 1974) и численному анализу посредством исчисления конечных разностей .
11. Гурса 1904, I, §17
12. Гурса 1904, I, §§14,16
13. Эйзенбуд и Харрис 1998.
14. См. Kock 2006 и Moerdijk & Reyes 1991.
15. См. Робинсон 1996 и Кейслер 1986.

Смотрите также

• Обозначения для дифференцирования

Рекомендации

• Бойер, Карл Б. (1959), История исчисления и его концептуальное развитие , Нью-Йорк: Dover Publications , MR  0124178.
• Коши, Огюстен-Луи (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale Polytechnique sur les application du Calcul infinitésimal, заархивировано из оригинала 08 июля 2007 г. , получено 19 августа 2009 г..
• Курант, Ришар (1937a), Дифференциальное и интегральное исчисление. Том. Я , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-471-60842-4, МР  1009558.
• Курант, Ришар (1937b), Дифференциальное и интегральное исчисление. Том. II , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-471-60840-0, МР  1009559.
• Курант, Ричард ; Джон, Фриц (1999), Введение в исчисление и анализ, том 1 , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-Х, МР  1746554
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Фреше, Морис (1925), «La notion de différentielle dans l'analyse générale», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 42 : 293–323, doi : 10.24033/asens.766 , ISSN  0012-9593, МР  1509268.
• Гурса, Эдуард (1904), Курс математического анализа: Том 1: Производные и дифференциалы, определенные интегралы, разложение в ряд, приложения к геометрии , Э. Р. Хедрик, Нью-Йорк: Dover Publications (опубликовано в 1959 г.), MR  0106155.
• Адамар, Жак (1935), «La notion de différentiel dans l'enseignement», Mathematical Gazette , XIX (236): 341–342, doi : 10.2307/3606323, JSTOR  3606323.
• Харди, Годфри Гарольд (1908), Курс чистой математики , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-09227-2.
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0423094.
• Ито, Киёси (1993), Энциклопедический математический словарь (2-е изд.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Клайн, Моррис (1977), «Глава 13: Дифференциалы и закон среднего», Исчисление: интуитивный и физический подход , Джон Уайли и сыновья..
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней (3-е изд.), Oxford University Press (опубликовано в 1990 г.), ISBN 978-0-19-506136-9
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.).
• Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press.
• Мурдейк, И .; Рейес, GE (1991), Модели для гладкого бесконечно малого анализа , Springer-Verlag.
• Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Толстов, Г.П. (2001) [1994], «Дифференциал», Математическая энциклопедия , EMS Press.

Внешние ссылки

• Дифференциал функции в демонстрационном проекте Wolfram