Гомогенная функция

Функция с мультипликативным масштабированием

В математике однородная функция — это функция нескольких переменных , для которой выполняется следующее: если каждый из аргументов функции умножается на один и тот же скаляр , то значение функции умножается на некоторую степень этого скаляра; мощность называется степенью однородности или просто степенью . То есть, если k — целое число, функция f от n переменных является однородной степени k , если

${\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

для каждого и ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$

Например, однородный полином степени k определяет однородную функцию степени k .

Приведенное выше определение распространяется на функции, область определения и ко-область которых являются векторными пространствами над полем F : функция между двумя F -векторными пространствами является однородной степени, если ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle k}$

для всех ненулевых и Это определение часто далее обобщается на функции, областью определения которых является не V , а конус в V , то есть подмножество C из V такое, что для каждого ненулевого скаляра s . ${\displaystyle s\in F}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in C}$ ${\displaystyle s\mathbf {v} \in C}$

В случае функций нескольких действительных переменных и вещественных векторных пространств часто рассматривается несколько более общая форма однородности, называемая положительной однородностью , требуя только того, чтобы вышеуказанные тождества выполнялись , и допуская любое действительное число k как степень однородности. Всякая однородная действительная функция положительно однородна . Обратное неверно, но локально верно в том смысле, что (для целых степеней) два вида однородности нельзя различить, рассматривая поведение функции вблизи данной точки. ${\displaystyle s>0,}$

Норма над вещественным векторным пространством является примером положительно однородной функции, которая не является однородной . Особым случаем является абсолютное значение действительных чисел. Фактор двух однородных многочленов одной степени дает пример однородной функции нулевой степени. Этот пример является основным в определении проективных схем .

Определения

Понятие однородной функции первоначально было введено для функций нескольких действительных переменных . С определением векторных пространств в конце 19 века эта концепция была естественным образом распространена на функции между векторными пространствами, поскольку кортеж значений переменных можно рассматривать как координатный вектор . Именно эта более общая точка зрения описана в данной статье.

Есть два общепринятых определения. Общий подход работает для векторных пространств над произвольными полями и ограничивается целыми степенями однородности .

Второй предполагает работу над полем действительных чисел или, шире, над упорядоченным полем . Это определение ограничивает коэффициент масштабирования, который встречается в определении, положительными значениями и поэтому называется положительной однородностью , причем качественный положительный часто опускается, когда нет риска путаницы. Положительная однородность приводит к тому, что большее количество функций считается однородным. Например, абсолютная величина и все нормы являются положительно однородными функциями, которые не являются однородными.

Ограничение масштабного коэффициента действительными положительными значениями позволяет также рассматривать однородные функции, степень однородности которых равна любому действительному числу.

Общая однородность

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F . Линейный конус в V — это такое подмножество C в V , что для всех и всех ненулевых ${\displaystyle sx\in C}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s\in F.}$

Однородная функция f от V до W — это частичная функция от V до W , имеющая линейный конус C в качестве области определения и удовлетворяющая условиям

${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$

для некоторого целого числа k все без исключения ненулевые. Целое число k называется степенью однородности или просто степенью f . ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle s\in F.}$

Типичным примером однородной функции степени k является функция, определяемая однородным многочленом степени k . Рациональная функция , определяемая фактором двух однородных многочленов, является однородной функцией; его степень есть разность степеней числителя и знаменателя; его конус определения — это линейный конус точек, в которых значение знаменателя не равно нулю.

Однородные функции играют фундаментальную роль в проективной геометрии , поскольку любая однородная функция f от V до W определяет четко определенную функцию между проективизациями V и W. Однородные рациональные функции нулевой степени (определяемые фактором двух однородных многочленов одной и той же степени) играют существенную роль в конструкции проективных схем Проя .

Положительная однородность

При работе с действительными числами или, в более общем плане, с упорядоченным полем обычно удобно рассматривать положительную однородность , определение которой точно такое же, как и в предыдущем разделе, с заменой «ненулевого s » на « s > 0 » в определения линейного конуса и однородной функции.

Это изменение позволяет рассматривать (положительно) однородные функции с любым действительным числом как их степени, поскольку возведение в степень с положительным действительным основанием четко определено.

Даже в случае целых степеней существует множество полезных функций, которые являются положительно однородными, но не являются однородными. Это, в частности, случай функции абсолютного значения и норм , которые все положительно однородны степени 1 . Они не являются однородными, поскольку это остается верным и в комплексном случае, поскольку поле комплексных чисел и каждое комплексное векторное пространство можно рассматривать как вещественные векторные пространства. ${\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Теорема Эйлера об однородной функции — это характеристика положительно однородных дифференцируемых функций , которую можно рассматривать как фундаментальную теорему об однородных функциях .

Примеры

Однородная функция не обязательно является непрерывной , как показано в этом примере. Это функция , определяемая формулами if и if. Эта функция однородна степени 1, то есть для любых действительных чисел она разрывна при ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\displaystyle xy>0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle xy\leq 0.}$ ${\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)}$ ${\displaystyle s,x,y.}$ ${\displaystyle y=0,x\neq 0.}$

Простой пример

Функция однородна степени 2: ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

$${\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}$$

Абсолютная ценность и нормы

Абсолютное значение действительного числа — это положительно однородная функция степени 1 , которая не является однородной, поскольку если и если ${\displaystyle |sx|=s|x|}$ ${\displaystyle s>0,}$ ${\displaystyle |sx|=-s|x|}$ ${\displaystyle s<0.}$

Абсолютное значение комплексного числа является положительно однородной функцией степени действительных чисел (то есть, если рассматривать комплексные числа как векторное пространство над действительными числами). Оно неоднородно как по действительным, так и по комплексным числам. ${\displaystyle 1}$

В более общем смысле, каждая норма и полунорма являются положительно однородной функцией степени 1 , которая не является однородной функцией. Что касается абсолютного значения, то если норма или полунорма определена в векторном пространстве над комплексными числами, это векторное пространство следует рассматривать как векторное пространство над действительным числом для применения определения положительно однородной функции.

Линейные функции

Любое линейное отображение векторных пространств над полем F однородно степени 1 по определению линейности: ${\displaystyle f:V\to W}$

$${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$

${\displaystyle \alpha \in {F}}$ ${\displaystyle v\in V.}$

Аналогично, любая полилинейная функция является однородной по степени по определению полилинейности: ${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$ ${\displaystyle n,}$

$${\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$

${\displaystyle \alpha \in {F}}$ ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}$

Однородные полиномы

Мономы в переменных определяют однородные функции. Например, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}$

$${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$$

$${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}$$

${\displaystyle 10=5+2+3.}$

Однородный многочлен – это многочлен , составленный из суммы мономов одной степени. Например,

$${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$$

Учитывая однородный многочлен степени с действительными коэффициентами, который принимает только положительные значения, можно получить положительно однородную функцию степени, возведя ее в степень. Так, например, следующая функция является положительно однородной степени 1, но не однородной: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k/d}$ ${\displaystyle 1/d.}$

$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

Мин Макс

Для каждого набора весов следующие функции положительно однородны степени 1, но не однородны: ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}$

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$( Леонтьевские коммунальные предприятия )
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

Рациональные функции

Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями в своей области определения , то есть вне линейного конуса , образованного нулями знаменателя . Таким образом, если однородно по степени и однородно по степени , то однородно по степени вдали от нулей ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle m-n}$ ${\displaystyle g.}$

Непримеры

Однородные действительные функции одной переменной имеют вид для некоторой постоянной c . Итак, аффинная функция, натуральный логарифм и показательная функция не являются однородными. ${\displaystyle x\mapsto cx^{k}}$ ${\displaystyle x\mapsto x+5,}$ ${\displaystyle x\mapsto \ln(x),}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

Теорема Эйлера

Грубо говоря, теорема Эйлера об однородных функциях утверждает, что положительно однородные функции данной степени являются в точности решением конкретного уравнения в частных производных . Точнее:

Теорема Эйлера об однородной функции  .  Если f является (частичной) функцией n действительных переменных, которая положительно однородна степени k и непрерывно дифференцируема в некотором открытом подмножестве, то она удовлетворяет в этом открытом множестве уравнению в частных производных. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

$${\displaystyle k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$$

И наоборот, каждое максимальное непрерывно дифференцируемое решение этого уравнения в частных производных является положительно однородной функцией степени k , определенной на положительном конусе (здесь максимальное означает, что решение не может быть продолжено до функции с большей областью определения).

Доказательство

Для получения более простых формул мы устанавливаем: Первая часть получается с использованием цепного правила для дифференцирования обеих частей уравнения относительно и принятия предела результата, когда s стремится к 1 . ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$ ${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle s,}$

Обратное доказывается интегрированием простого дифференциального уравнения . Пусть находится внутри области f . Для s, достаточно близкого к 1 , функция корректно определена. Уравнение в частных производных означает, что ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).}$$

Решения этого линейного дифференциального уравнения имеют вид Следовательно, ${\displaystyle g(s)=g(1)s^{k}.}$

$${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),}$$

если s достаточно близко к 1 . Если бы это решение уравнения в частных производных не было определено для всех положительных s , то функциональное уравнение позволило бы продолжить решение, а уравнение в частных производных подразумевает, что это продолжение единственно. Итак, областью максимального решения уравнения в частных производных является линейный конус, а решение положительно однородно степени k . ${\displaystyle \square }$

Как следствие, если оно непрерывно дифференцируемо и однородно по степени, его частные производные первого порядка однородны по степени. Это следует из теоремы Эйлера путем дифференцирования уравнения в частных производных по одной переменной. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ ${\displaystyle k-1.}$

В случае функции одной действительной переменной ( ) из теоремы следует, что непрерывно дифференцируемая и положительно однородная функция степени k имеет вид для и для Константы и не обязательно одинаковы, как это имеет место для абсолютная величина . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f(x)=c_{+}x^{k}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle f(x)=c_{-}x^{k}}$ ${\displaystyle x<0.}$ ${\displaystyle c_{+}}$ ${\displaystyle c_{-}}$

Приложение к дифференциальным уравнениям

Замена преобразует обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle v=y/x}$

$${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$$

разделимое дифференциальное уравнение ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}$$

Обобщения

Однородность при моноидном действии

Все определения, данные выше, являются специализированными случаями следующего более общего понятия однородности, в котором может быть любое множество (а не векторное пространство), а действительные числа могут быть заменены более общим понятием моноида . ${\displaystyle X}$

Пусть это моноид с единичным элементом, пусть и - множества, и предположим, что на обоих и определены действия моноида из Пусть - неотрицательное целое число и пусть - отображение. Тогда говорят, что он однороден по степени, если для каждого и ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1\in M,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}$$

величина,абсолютно однородна по степени, если ${\displaystyle M\to M,}$ ${\displaystyle m\mapsto |m|,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

Функция является однородной по ${\displaystyle M}$ (соответственно абсолютно однородной по ${\displaystyle M}$ ), если она однородна степени по (соответственно абсолютно однородной степени по ). ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$

В более общем смысле, символы могут быть определены как нечто иное, чем целое число (например, если это действительные числа и является ненулевым действительным числом, то оно определяется, даже если оно не является целым числом). В этом случае будет называться однородным степени более , если выполнено то же равенство: ${\displaystyle m^{k}}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}$$

Понятие абсолютной однородности степени выше ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ обобщается аналогичным образом.

Распределения (обобщенные функции)

Непрерывная функция на является однородной по степени тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$

компактно поддерживаемых функций тестированияпеременной ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle y=tx,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}$$

распределений ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }$$

${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t.}$

Словарь вариантов названий

Пусть — карта между двумя векторными пространствами над полем (обычно действительными или комплексными числами ). Если это набор скаляров, таких как или, например, то говорят, что ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$однородным по ${\displaystyle S}$ if для каждогои скалярному . Например, каждоеаддитивное отображениемежду векторными пространствами ${\textstyle f(sx)=sf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in S.}$однороден по рациональным числам, хотя этоможет и не быть ${\displaystyle S:=\mathbb {Q} }$однородный по действительным числам ${\displaystyle S:=\mathbb {R} .}$

Следующие часто встречающиеся частные случаи и варианты этого определения имеют свою собственную терминологию:

1. (Строгий )Положительная однородность :^[1] для всехи всехположительныхвещественных ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Когда функция оценивается в векторном пространстве или поле, это свойство логически эквивалентно ^{[доказательство 1} ] ${\displaystyle f}$неотрицательная однородность , что по определению означает:^[2] для всехи всехнеотрицательноевещественное.Именно по этой причине положительную однородность часто также называют неотрицательной однородностью. Однако для функций, выраженных врасширенных действительных числах, которые появляются в таких полях, каквыпуклый анализ, умножениевсегда будет неопределенным, и поэтому эти операторы не обязательно всегда взаимозаменяемы. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$ ${\displaystyle 0\cdot f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\pm \infty }$
   • Это свойство используется при определении сублинейной функции . ^{[1] [2]}
   • Функционалы Минковского — это именно те неотрицательные расширенные вещественные функции, обладающие этим свойством.
2. Реальная однородность :для всехи все реально ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
   • Это свойство используется при определении вещественного линейного функционала .
3. Однородность :^[3] для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)=sf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Подчеркивается, что это определение зависит от скалярного поля, лежащего в основе области ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$
   • Это свойство используется при определении линейных функционалов и линейных отображений . ^[2]
4. Сопряженная однородность :^[4] для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • If then обычно обозначает комплексно-сопряженное число . Но в более общем смысле, как, например, в случае с полулинейными отображениями , это может быть образ при некотором выдающемся автоморфизме ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
   • Наряду с аддитивностью это свойство предполагается при определении антилинейного отображения . Также предполагается, что одна из двух координат полуторалинейной формы обладает этим свойством (например, скалярное произведение гильбертова пространства ).

Все приведенные выше определения можно обобщить, заменив условие на: в этом случае перед этим определением ставится слово « абсолютный » или « абсолютно ». Например, ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}$

5. Абсолютная однородность :^[2] для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Это свойство используется при определении полунормы и нормы .

Если — фиксированное действительное число, то приведенные выше определения можно дополнительно обобщить, заменив условие на (и аналогичным образом заменив на условия, использующие абсолютное значение и т. д.), и в этом случае говорят, что однородность имеет « степень ». (где, в частности, все приведенные выше определения имеют « степень » ). Например, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$

6. Реальная однородность степени ${\displaystyle k}$ :для всехи всех реальна ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
7. Однородность степени ${\displaystyle k}$ :для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
8. Абсолютная реальная однородность степени ${\displaystyle k}$ :для всехи вся реальная ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
9. Абсолютная однородность степени ${\displaystyle k}$ :для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$

Ненулевая непрерывная функция , однородная степени на, непрерывно продолжается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k>0.}$

Смотрите также

• Однородное пространство
• Функция центра треугольника  - точка в треугольнике, которую при некоторых критериях можно рассматривать как его середину.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Однако, если такое условие удовлетворяет всем , а затем обязательно и всякий раз, когда оба они реальны, то оно будет справедливым для всех. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(0)\in \{\pm \infty ,0\}}$ ${\displaystyle f(0),f(x)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$

Доказательства

1. Предположим, что он строго положительно однороден и оценивается в векторном пространстве или поле. Тогда вычитание с обеих сторон показывает, что запись тогда для любого , что показывает, что является неотрицательно однородным. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle r:=0,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),}$ ${\displaystyle f}$

Рекомендации

1. Schechter 1996, стр. 313–314.
2. Кубруслый 2011, с. 200.
3. Кубруслый 2011, с. 55.
4. Кубруслый 2011, с. 310.

Источники

• Блаттер, Кристиан (1979). «20. Mehr Dimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Анализ II (на немецком языке) (2-е изд.). Спрингер Верлаг. п. 188. ИСБН 3-540-09484-9.
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (второе изд.). Бостон: Биркхойзер . ISBN 978-0-8176-4998-2. ОСЛК  710154895.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.

Внешние ссылки

• «Однородная функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик Вайсштейн. «Теорема Эйлера об однородной функции». Математический мир .