Дифференциальная форма

Выражение, которое можно интегрировать по региону

В математике дифференциальные формы обеспечивают единый подход к определению подынтегральных выражений над кривыми , поверхностями, твердыми телами и многообразиями более высокой размерности . Современное понятие дифференциальных форм было впервые предложено Эли Картаном . Он имеет множество приложений, особенно в геометрии, топологии и физике.

Например, выражение f ( x ) dx является примером 1 -формы и может быть проинтегрировано по интервалу [ a , b ] , содержащемуся в области определения f :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Аналогично, выражение f ( x , y , z ) dx ∧ dy + g ( x , y , z ) dz ∧ dx + h ( x , y , z ) dy ∧ dz представляет собой 2 -форму , которую можно проинтегрировать по поверхность S :

${\displaystyle \int _{S}(f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz).}$

Символ ∧ обозначает внешнее произведение , иногда называемое клиновым произведением , двух дифференциальных форм. Аналогично, 3 -форма f ( x , y , z ) dx ∧ dy ∧ dz представляет собой элемент объема , который можно интегрировать по некоторой области пространства. В общем, k -форма - это объект, который может быть проинтегрирован по k -мерному многообразию и является однородным степени k в координатных дифференциалах . На n -мерном многообразии верхнемерная форма ( n -форма) называется объемная форма . ${\displaystyle dx,dy,\ldots .}$

Дифференциальные формы образуют знакопеременную алгебру . Это означает, что и Это переменное свойство отражает ориентацию области интегрирования. ${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$ ${\displaystyle dx\wedge dx=0.}$

Внешняя производная — это операция над дифференциальными формами, которая по заданной k -форме дает ( k +1) -форму . Эта операция расширяет дифференциал функции (функцию можно рассматривать как 0 -форму, а ее дифференциал равен ). Это позволяет выразить фундаментальную теорему исчисления , теорему о расходимости , теорему Грина и теорему Стокса как частные случаи одного общего результата, обобщенной теоремы Стокса . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi .}$ ${\displaystyle df(x)=f'(x)dx}$

Дифференциальные 1 -формы естественным образом двойственны векторным полям на дифференцируемом многообразии , а спаривание векторных полей и 1 -форм расширяется до произвольных дифференциальных форм с помощью внутреннего произведения . Алгебра дифференциальных форм вместе с определенной на ней внешней производной сохраняется за счет обратного образа при гладких функциях между двумя многообразиями. Эта особенность позволяет перемещать геометрически инвариантную информацию из одного пространства в другое посредством обратного преобразования при условии, что информация выражена в терминах дифференциальных форм. Например, формула замены переменных для интегрирования становится простым утверждением о том, что интеграл сохраняется при обратном преобразовании.

История

Дифференциальные формы являются частью области дифференциальной геометрии, находящейся под влиянием линейной алгебры. Хотя понятие дифференциала довольно старо, первоначальную попытку алгебраической организации дифференциальных форм обычно приписывают Эли Картану со ссылкой на его статью 1899 года. ^[1] Некоторые аспекты внешней алгебры дифференциальных форм появляются в работе Германа Грассмана 1844 года «Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik» («Теория линейного расширения, новая ветвь математики») .

Концепция

Дифференциальные формы обеспечивают подход к исчислению многих переменных , который не зависит от координат .

Интеграция и ориентация

Дифференциальная k -форма может быть проинтегрирована по ориентированному многообразию размерности k . Дифференциальную 1 -форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной длины или одномерной ориентированной плотности. Дифференциальную 2 -форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной площади или двумерной ориентированной плотности. И так далее.

Интегрирование дифференциальных форм корректно определено только на ориентированных многообразиях . Примером одномерного многообразия является интервал [ a , b ] , и интервалам можно задать ориентацию: они положительно ориентированы, если a < b , и отрицательно ориентированы в противном случае. Если a < b , то интеграл от дифференциальной 1 -формы f ( x ) dx на интервале [ a , b ] (с ее естественной положительной ориентацией) равен

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

что является отрицательным значением интеграла той же дифференциальной формы на том же интервале, если он имеет противоположную ориентацию. То есть:

${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Это придает геометрический контекст соглашениям об одномерных интегралах, согласно которым знак меняется при изменении ориентации интервала на противоположный. Стандартное объяснение этого в теории интегрирования с одной переменной состоит в том, что, когда пределы интегрирования находятся в противоположном порядке ( b < a ), приращение dx отрицательно в направлении интегрирования.

В более общем смысле, m -форма — это ориентированная плотность, которую можно интегрировать по m -мерному ориентированному многообразию. (Например, 1 -форму можно проинтегрировать по ориентированной кривой, 2 -форму можно проинтегрировать по ориентированной поверхности и т. д.) Если М — ориентированное m -мерное многообразие, а М ' — то же многообразие с противоположными ориентации и ω является m -формой, то имеем:

${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$

Эти соглашения соответствуют интерпретации подынтегральной функции как дифференциальной формы, интегрированной по цепочке . В теории меры , напротив, подынтегральная функция интерпретируется как функция f относительно меры µ и интегрируется по подмножеству A без какого-либо понятия ориентации; пишут , чтобы указать интегрирование по подмножеству A. Это незначительное различие в одном измерении, но оно становится более тонким в многообразиях более высоких измерений; подробности см. ниже. ${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

Для уточнения понятия ориентированной плотности и, следовательно, дифференциальной формы, требуется внешняя алгебра . Дифференциалы набора координат dx ¹ , ..., dx ⁿ могут использоваться в качестве основы для всех 1 -форм. Каждый из них представляет собой ковектор в каждой точке многообразия, который можно рассматривать как измерение небольшого смещения в соответствующем направлении координат. Общая 1 -форма представляет собой линейную комбинацию этих дифференциалов в каждой точке многообразия:

${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$

где f _k = f _k ( x ¹ , ... , x ⁿ ) являются функциями всех координат. Дифференциальная 1 -форма интегрируется по ориентированной кривой как линейный интеграл.

Выражения dx ⁱ ∧ dx ^j , где i < j, можно использовать в качестве основы в каждой точке многообразия для всех 2 -форм. Его можно представить как бесконечно малый квадрат, ориентированный параллельно плоскости x ⁱ – x ^j . Общая 2 -форма представляет собой их линейную комбинацию в каждой точке многообразия: , и она интегрируется так же, как поверхностный интеграл. ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$

Фундаментальная операция, определенная в дифференциальных формах, — это внешнее произведение (символ — клин ∧ ). Это похоже на векторное произведение из векторного исчисления, поскольку оно является переменным произведением. Например,

${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$

потому что квадрат, первая сторона которого равна dx ¹ , а вторая сторона равна dx ² , следует рассматривать как имеющий ориентацию, противоположную ориентации квадрата, первая сторона которого равна dx ² , а вторая сторона равна dx ¹ . Вот почему нам нужно суммировать только выражения dx ⁱ ∧ dx ^j , где i < j ; например: а ( dx ⁱ ∧ dx ^j ) + b ( dx ^j ∧ dx ⁱ ) = ( a - b ) dx ⁱ ∧ dx ^j . Внешний продукт позволяет строить дифференциальные формы более высокой степени из форм более низкой степени, во многом так же, как векторное произведение в векторном исчислении позволяет вычислить вектор площади параллелограмма из векторов, направленных вверх по двум сторонам. Чередование также подразумевает, что dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 , точно так же, как векторное произведение параллельных векторов, величина которого равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы, равно нулю. В более высоких измерениях dx ^{i ₁} ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx ^{i _m} = 0 , если любые два индекса i ₁ , ..., i _m равны, точно так же, как «объем», заключенный в параллелоэдр , ребро которого векторы линейно зависимы, равно нулю.

Мультииндексная запись

Общепринятым обозначением клинового произведения элементарных k -форм является так называемая многоиндексная нотация : в n -мерном контексте для мы определяем . ^[2] Другое полезное обозначение получается путем определения набора всех строго возрастающих мультииндексов длины k в пространстве размерности n , обозначенном . Тогда локально (везде, где применяются координаты), охватывает пространство дифференциальных k -форм в многообразии M размерности n , если рассматривать его как модуль над кольцом C ^∞ ( M ) гладких функций на M . Путем вычисления размера комбинаторно модуль k -форм на n -мерном многообразии и в общем пространстве k -ковекторов на n -мерном векторном пространстве равен n  select  k : . Это также демонстрирует, что не существует ненулевых дифференциальных форм степени, превышающей размерность основного многообразия. ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$ ${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$

Внешняя производная

Помимо внешнего произведения, существует еще внешний оператор производной d . Внешняя производная дифференциальной формы является обобщением дифференциала функции в том смысле, что внешняя производная функции f ∈ C∞ ( ^M ) = Ω0 ⁽ M ) является в точности дифференциалом f . При обобщении на высшие формы, если ω = f dx ^I является простой k -формой, то ее внешняя производная dω представляет собой ( k + 1) -форму, определенную путем взятия дифференциала функций-коэффициентов:

${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

с распространением на общие k -формы за счет линейности: если , то его внешняя производная равна ${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$

В R ³ с оператором звезды Ходжа внешняя производная соответствует градиенту , ротору и дивергенции , хотя это соответствие, как и векторное произведение, не обобщается на более высокие измерения, и к нему следует относиться с некоторой осторожностью.

Сама по себе внешняя производная применяется в произвольном конечном числе измерений и представляет собой гибкий и мощный инструмент, широко применяемый в дифференциальной геометрии , дифференциальной топологии и многих областях физики. Следует отметить, что хотя приведенное выше определение внешней производной было определено относительно локальных координат, оно может быть определено совершенно бескоординатным способом как первообразование степени 1 на внешней алгебре дифференциальных форм. Преимущество этого более общего подхода состоит в том, что он позволяет использовать естественный бескоординатный подход для интегрирования на многообразиях . Это также допускает естественное обобщение фундаментальной теоремы исчисления , называемой (обобщенной) теоремой Стокса , которая является центральным результатом в теории интегрирования на многообразиях.

Дифференциальное исчисление

Пусть U — открытое множество в Rn ^. Дифференциальная 0 -форма («нулевая форма») определяется как гладкая функция f на U , множество которой обозначается C ^∞ ( U ) . Если v — любой вектор из Rn ^, то f имеет производную _по направлению ∂vf , которая является другой функцией от U , значение которой в точке p ∈ U является скоростью изменения (в точке p ) f в направлении v :

${\displaystyle (\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$

(Это понятие можно поточечно распространить на случай, когда v является векторным полем на U , вычислив v в точке p в определении.)

В частности, если v = e _j — j -й координатный вектор , то ∂ _v f — частная производная f по j- му координатному вектору, т. е. ∂ f / ∂ x ^j , где x ¹ , x ² , . .., x ⁿ — координатные векторы в U . Частные производные по самому своему определению зависят от выбора координат: если вводятся новые координаты y ¹ , y ² , ..., y ^{n , то}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$

Первой идеей, ведущей к дифференциальным формам, является наблюдение, что ∂ _v f ( p ) является линейной функцией v :

${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}}$

для любых векторов v , w и любого действительного числа c . В каждой точке p это линейное отображение из R ⁿ в R обозначается df _p и называется производной или дифференциалом f в точке p . Таким образом, df _п ( v ) знак равно ∂ _v ж ( п ) . Распространенный на весь набор, объект df можно рассматривать как функцию, которая принимает векторное поле от U и возвращает функцию с действительным знаком, значение которой в каждой точке является производной по векторному полю функции f . Обратите внимание, что при каждом p дифференциал df _p не является действительным числом, а является линейным функционалом на касательных векторах и является прототипом дифференциальной 1 -формы .

Поскольку любой вектор v является линейной комбинацией Σ v ^j e _j своих компонентов , df однозначно определяется выражением df _p ( e _j ) для каждого j и каждого p ∈ U , которые являются просто частными производными f на U. Таким образом, df предоставляет способ кодирования частных производных f . Его можно расшифровать, заметив, что координаты x ¹ , x ² , ..., x ⁿ сами являются функциями на U и, таким образом, определяют дифференциальные 1 -формы dx ¹ , dx ² , ..., dx ⁿ . Пусть f = xi . ^_ Поскольку ∂ x ⁱ / ∂ x ^j = δ _ij , дельта-функция Кронекера , отсюда следует, что

Смысл этого выражения определяется путем вычисления обеих частей в произвольной точке p : в правой части сумма определяется « поточечно », так что

${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$

Применяя обе части к e _j , результат с каждой стороны представляет собой j -ю частную производную от f в точке p . Поскольку p и j были произвольными, это доказывает формулу (*) .

В более общем смысле, для любых гладких функций g _i и h _i на U мы определяем дифференциальную 1 -форму α = Σ _i g _i dhi поточечно следующим образом _:

${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$

для каждого p ∈ U . Любая дифференциальная 1 -форма возникает таким образом, и из (*) следует, что любая дифференциальная 1- форма α на U может быть выражена в координатах как

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$

для некоторых гладких функций f _i на U .

Вторая идея, ведущая к дифференциальным формам, возникает из следующего вопроса: для заданной дифференциальной 1 -формы α на U существует ли функция f на U такая, что α = df ? Приведенное выше разложение сводит этот вопрос к поиску функции f , частные производные которой ∂ f / ∂ x ⁱ равны n заданных функций f _i . При n > 1 такая функция не всегда существует: любая гладкая функция f удовлетворяет условию

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$

поэтому найти такое f будет невозможно, если только

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$

для всех я и j .

Кососимметрия левой части в i и j предполагает введение антисимметричного произведения ∧ на дифференциальных 1 -формах, внешнего произведения , так что эти уравнения можно объединить в одно условие

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$

где ∧ определяется так, что:

${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$

Это пример дифференциальной 2 -формы. Эта 2 -форма называется внешней производной dα функции α = Σ.^п
_{j =1} ж _дх ^д . _ Это дано

${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

Подведем итог: dα = 0 является необходимым условием существования функции f с α = df .

Дифференциальные 0 -формы, 1 -формы и 2 -формы являются частными случаями дифференциальных форм. Для каждого k существует пространство дифференциальных k -форм, которое можно выразить через координаты как

${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

для набора функций ж _{я 1 я 2 ⋅⋅⋅ я k} . Антисимметрия, уже имевшаяся у 2 -форм, позволяет ограничить сумму теми наборами индексов, для которых i ₁ < i ₂ < ... < i _{k −1} < i _k .

Дифференциальные формы можно перемножать с помощью внешнего произведения, и для любой дифференциальной k -формы α существует дифференциальная ( k + 1) -форма dα , называемая внешней производной α .

Дифференциальные формы, внешнее произведение и внешняя производная не зависят от выбора координат. Следовательно , они могут быть определены на любом гладком многообразии M. Один из способов сделать это — покрыть M координатными картами и определить дифференциальную k -форму на M как семейство дифференциальных k -форм на каждой карте, которые согласуются в отношении перекрытий. Однако существуют более внутренние определения, которые демонстрируют независимость координат.

Внутренние определения

Пусть M — гладкое многообразие . Гладкая дифференциальная форма степени k — это гладкое сечение k - й внешней степени кокасательного расслоения к M . Множество всех дифференциальных k -форм на многообразии M представляет собой векторное пространство , часто обозначаемое Ωk ⁽ M ) .

Определение дифференциальной формы можно переформулировать следующим образом. В любой точке p ∈ M k -форма β определяет элемент

${\displaystyle \beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,}$

где TpM — касательное пространство к M в точке p , а Tp ^* M _{— его} двойственное пространство . Это пространство естественным образом изоморфно ^{[3] [ необходимы пояснения ]} слою в точке p двойственного расслоения k -й внешней степени касательного расслоения к M . То есть β также является линейным функционалом , т. е. двойственный к k -й внешней степени изоморфен k -й внешней степени двойственного: ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}}$

По универсальному свойству внешних степеней это эквивалентно знакопеременной полилинейной карте :

${\displaystyle \beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .}$

Следовательно, дифференциальная k -форма может быть вычислена по любому k - кортежу касательных векторов к одной и той же точке p из M. Например, дифференциальная 1 -форма α сопоставляет каждой точке p ∈ M линейный функционал α _p на T _p M . При наличии скалярного произведения на T _p M (индуцированного римановой метрикой на M ), α _p может быть представлено как скалярное произведение с касательным вектором X _p . Дифференциальные 1 -формы иногда называют ковариантными векторными полями , ковекторными полями или «двойными векторными полями», особенно в физике.

Внешняя алгебра может быть вложена в тензорную алгебру с помощью отображения альтернирования. Карта чередования определяется как отображение

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Для тензора в точке p , ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\tau _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\tau _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),}$

где S _k — симметрическая группа на k элементах. Отображение альтернирования является постоянным на смежных классах идеала в тензорной алгебре, порожденной симметричными 2-формами, и поэтому сводится к вложению

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Это отображение показывает β как полностью антисимметричное ковариантное тензорное поле ранга k . Дифференциальные формы на M находятся во взаимно однозначном соответствии с такими тензорными полями.

Операции

Помимо сложения и умножения скалярными операциями, возникающими из структуры векторного пространства, существует несколько других стандартных операций, определенных в дифференциальных формах. Наиболее важными операциями являются внешнее произведение двух дифференциальных форм, внешняя производная одной дифференциальной формы, внутреннее произведение дифференциальной формы и векторного поля, производная Ли дифференциальной формы по векторному полю и ковариантная операция. производная дифференциальной формы по векторному полю на многообразии с определенной связностью.

Экстерьер продукта

Внешний продукт k -формы α и ℓ -формы β , обозначаемый α ∧ β , является ( k + ℓ )-формой. В каждой точке p многообразия M формы α и β являются элементами внешней степени кокасательного пространства в точке p . Когда внешняя алгебра рассматривается как фактор тензорной алгебры, внешний продукт соответствует тензорному произведению (по модулю отношения эквивалентности, определяющего внешнюю алгебру).

Антисимметрия, присущая внешней алгебре, означает, что, когда α ∧ β рассматривается как полилинейный функционал, он знакопеременный. Однако когда внешняя алгебра вкладывается как подпространство тензорной алгебры с помощью отображения альтернирования, тензорное произведение α ⊗ β не является альтернирующим. Существует явная формула, описывающая внешний продукт в этой ситуации. Внешний вид продукта

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

Если встраивание в выполняется через карту вместо , внешний продукт ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M}$ ${\displaystyle {\bigotimes }^{n}T^{*}M}$ ${\displaystyle n!\operatorname {Alt} }$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

Это описание полезно для явных вычислений. Например, если k = ℓ = 1 , то α ∧ β — это 2 -форма, значением которой в точке p является знакопеременная билинейная форма, определенная формулой

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$

для v , ш ∈ Т _п M .

Внешний продукт билинейен: если α , β и γ — любые дифференциальные формы, и если f — любая гладкая функция, то

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$

Это косая коммутативность (также известная как градуированная коммутативность ), что означает, что она удовлетворяет варианту антикоммутативности , который зависит от степеней форм: если α — k -форма, а β — ℓ -форма, то

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$

Также существует градуированное правило Лейбница :

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$

Риманово многообразие

На римановом многообразии или, в более общем плане , на псевдоримановом многообразии метрика определяет послойный изоморфизм касательного и кокасательного расслоений. Это позволяет преобразовывать векторные поля в ковекторные поля и наоборот. Это также позволяет определить дополнительные операции, такие как звездный оператор Ходжа и кодифференциал , который имеет степень −1 и сопряжен к внешнему дифференциалу d . ${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$ ${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$

Структуры векторного поля

На псевдоримановом многообразии 1 -формы можно отождествлять с векторными полями; Векторные поля имеют дополнительные отдельные алгебраические структуры, которые перечислены здесь для контекста и во избежание путаницы.

Во-первых, каждое (ко)касательное пространство порождает алгебру Клиффорда , где произведение (ко)вектора на самого себя задается значением квадратичной формы – в данном случае естественной, индуцированной метрикой . Эта алгебра отличается от внешней алгебры дифференциальных форм, которую можно рассматривать как алгебру Клиффорда, в которой квадратичная форма равна нулю (поскольку внешнее произведение любого вектора на самого себя равно нулю). Таким образом, алгебры Клиффорда являются неантикоммутативными («квантовыми») деформациями внешней алгебры. Они изучаются в геометрической алгебре .

Другая альтернатива — рассматривать векторные поля как производные. (Некоммутативная) алгебра порождаемых ими дифференциальных операторов является алгеброй Вейля и представляет собой некоммутативную («квантовую») деформацию симметрической алгебры в векторных полях.

Внешний дифференциальный комплекс

Одним из важных свойств внешней производной является то, что d ² = 0 . Это означает, что внешняя производная определяет коцепный комплекс :

${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$

Этот комплекс называется комплексом де Рама, а его когомологии по определению являются когомологиями де Рама M . По лемме Пуанкаре комплекс де Рама локально точен, за исключением точки ⁰ ( M ) . Ядро в 0 ⁽ M ) — это пространство локально постоянных функций на M. Следовательно, комплекс представляет собой разрешение постоянного пучка R , что, в свою очередь, влечет за собой форму теоремы де Рама: когомологии де Рама вычисляют когомологии пучка R .

Откат

Предположим, что f  : M → N гладко. Дифференциал f — это гладкое отображение df  : TM → TN между касательными расслоениями M и N. Это отображение также обозначается f _∗ и называется pushforward . Для любой точки p ∈ M и любого касательного вектора v ∈ T _p M существует корректно определенный вектор прямого продвижения f _∗ ( v ) в T _{f ( p )} N . Однако этого нельзя сказать о векторном поле. Если f не инъективен, скажем, потому что q ∈ N имеет два или более прообразов, тогда векторное поле может определять два или более различных вектора в T _q N . Если f не сюръективен, то найдется точка q ∈ N , в которой f _∗ вообще не определяет никакого касательного вектора. Поскольку векторное поле на N по определению определяет уникальный касательный вектор в каждой точке N , продвижение векторного поля не всегда существует.

Напротив, всегда можно вернуть дифференциальную форму назад. Дифференциальную форму на N можно рассматривать как линейный функционал в каждом касательном пространстве. Предварительное составление этого функционала с дифференциалом df  : TM → TN определяет линейный функционал в каждом касательном пространстве M и, следовательно, дифференциальную форму на M . Существование обратных связей — одна из ключевых особенностей теории дифференциальных форм. Это приводит к существованию отображений обратного образа в других ситуациях, таких как гомоморфизмы обратного образа в когомологиях де Рама.

Формально, пусть f  : M → N — гладкая и ω — гладкая k -форма на N. Тогда существует дифференциальная форма f ^∗ ω на M , называемая обратным образом ω , которая отражает поведение ω , наблюдаемое относительно f . Чтобы определить обратный ход, зафиксируйте точку p из M и касательные векторы v ₁ , ..., v _k к M в точке p . Обратный ход ω определяется формулой

${\displaystyle (f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).}$

Есть несколько более абстрактных взглядов на это определение. Если ω — 1 -форма на N , то ее можно рассматривать как сечение кокасательного расслоения T ^∗ N к N. Если использовать ^* для обозначения двойственного отображения, то двойственным к дифференциалу f будет ( df ) ^∗  : T ^∗ N → T ^∗ M . Обратный ход ω можно определить как составной

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.}$

Это сечение кокасательного расслоения к M и, следовательно , дифференциальная 1 -форма на M. В полной общности обозначим k- ю внешнюю степень двойственного отображения к дифференциалу. Тогда образ k -формы ω является составным ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.}$

Другой абстрактный способ рассмотрения обратного пути заключается в рассмотрении k -формы ω как линейного функционала в касательных пространствах. С этой точки зрения ω является морфизмом векторных расслоений

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,}$

где N × R — тривиальное расслоение ранга один на N . Составная карта

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} }$

определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве M и, следовательно, факторизуется через тривиальное расслоение M × R . Морфизм векторного расслоения , определенный таким образом, равен f ^∗ ω . ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$

При откате учитываются все основные операции с формами. Если ω и η — формы, а c — действительное число, то

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}}$

Откат формы также можно записать в координатах. Предположим, что x ¹ , ..., x ^m - координаты на M , что y ¹ , ..., y ⁿ - координаты на N и что эти _{системы} координат связаны формулами y ⁱ = fi ( x ¹ , ..., x ^m ) для всех i . Локально на N ω можно записать как

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},}$

где для каждого выбора i ₁ , ..., i _k , ω _{i 1 ⋅⋅⋅ i k} является вещественной функцией от y ¹ , ..., y ⁿ . Используя линейность обратного преобразования и его совместимость с внешним произведением, обратный образ ω имеет формулу

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.}$

Каждую внешнюю производную df _i можно разложить по dx ¹ , ..., dx ^m . Полученную k -форму можно записать с помощью матриц Якоби :

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.}$

Здесь обозначает определитель матрицы, элементами которой являются , . ${\textstyle {\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}}$ ${\displaystyle 1\leq m,n\leq k}$

Интеграция

Дифференциальная k -форма может быть проинтегрирована по ориентированному k -мерному многообразию. Когда k -форма определена на n -мерном многообразии с n > k , тогда k -форма может быть проинтегрирована по ориентированным k -мерным подмногообразиям. Если k = 0 , интегрирование по ориентированным 0-мерным подмногообразиям представляет собой просто суммирование подынтегральной функции, вычисляемой в точках, в соответствии с ориентацией этих точек. Другие значения k = 1, 2, 3, ... соответствуют линейным интегралам, поверхностным интегралам, объемным интегралам и т. д. Существует несколько эквивалентных способов формального определения интеграла дифференциальной формы, каждый из которых зависит от сведения к случаю евклидова пространства.

Интегрирование в евклидовом пространстве

Пусть U ^— открытое подмножество Rn . Дайте R ⁿ его стандартную ориентацию, а U — ограничение этой ориентации. Каждая гладкая n -форма ω на U имеет вид

${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

^{для некоторой} гладкой функции f  : Rn → R. Такая функция имеет интеграл в обычном смысле Римана или Лебега. Это позволяет нам определить интеграл от ω как интеграл от f :

${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

Чтобы это было четко определено, необходимо зафиксировать ориентацию. Кососимметрия дифференциальных форм означает, что интеграл, скажем, от dx ¹ ∧ dx ² должен быть отрицательным от интеграла от dx ² ∧ dx ¹ . Интегралы Римана и Лебега не видят этой зависимости от порядка координат, поэтому оставляют знак интеграла неопределенным. Ориентация разрешает эту двусмысленность.

Интеграция по цепочкам

Пусть M — n - многообразие и ω — n - форма на M. Во-первых, предположим, что существует параметризация M открытым подмножеством евклидова пространства. То есть предположим, что существует диффеоморфизм

${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$

где D ⊆ Rn . ^_ Придайте M ориентацию, индуцированную φ . Затем (Рудин, 1976) определяет интеграл от ω по M как интеграл от φ ^∗ ω по D . В координатах это имеет следующее выражение. Зафиксируем вложение M в R ^I с координатами x ¹ , ..., x ^I . Затем

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$

Предположим, что φ определяется формулой

${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).}$

Тогда интеграл можно записать в координатах как

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$

где

${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$

является определителем якобиана . Якобиан существует, потому что φ дифференцируема.

В общем случае n -многообразие не может быть параметризовано открытым подмножеством R ⁿ . Но такая параметризация всегда возможна локально, поэтому можно определить интегралы по произвольным многообразиям, определив их как суммы интегралов по наборам локальных параметризаций. Более того, также возможно определить параметризацию k -мерных подмножеств при k < n , и это позволяет определить интегралы от k -форм. Чтобы уточнить это, удобно зафиксировать стандартную область D в Rk ^, обычно это куб или симплекс. k - цепь — это формальная сумма гладких вложений D → M. То есть это набор гладких вложений, каждому из которых присвоена целочисленная кратность. Каждое гладкое вложение определяет k -мерное подмногообразие M . Если цепь

${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$

тогда интеграл от k -формы ω по c определяется как сумма интегралов по членам c :

${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$

Такой подход к определению интегрирования не придает прямого смысла интегрированию по всему многообразию М. Однако косвенно такое значение все же можно придать, поскольку каждое гладкое многообразие может быть гладко триангулировано по существу единственным способом, а интеграл по M можно определить как интеграл по цепочке, определяемой триангуляцией.

Интеграция с использованием разделов единства

Существует другой подход, изложенный в (Dieudonné 1972), который прямо придает смысл интегрированию по M , но этот подход требует фиксации ориентации M. Интеграл от n -формы ω на n -мерном многообразии определяется с помощью карт. Предположим сначала, что ω поддерживается на одной положительно ориентированной карте. На этой диаграмме его можно вернуть к n - ^форме на открытом подмножестве Rn . Здесь форма, как и раньше, имеет четко определенный интеграл Римана или Лебега. Формула замены переменных и предположение о том, что карта положительно ориентирована, гарантируют, что интеграл от ω не зависит от выбранной карты. В общем случае используйте разбиение единицы, чтобы записать ω как сумму n -форм, каждая из которых поддерживается в одной положительно ориентированной карте, и определите интеграл от ω как сумму интегралов каждого члена в раздел единства.

Также возможно интегрировать k -формы на ориентированных k -мерных подмногообразиях, используя этот более внутренний подход. Форма возвращается к подмногообразию, где интеграл определяется с использованием диаграмм, как и раньше. Например, для данного пути γ ( t ) : [0, 1] → R ² интеграция 1 -формы на пути — это просто возвращение формы к форме f ( t ) dt  на [0, 1] и этот интеграл является интегралом функции f ( t ) на отрезке.

Интегрирование по волокнам

Теорема Фубини утверждает, что интеграл по множеству, являющемуся произведением, можно вычислить как повторный интеграл по двум факторам произведения. Это предполагает, что интеграл дифференциальной формы по произведению также должен быть вычислим как повторный интеграл. Геометрическая гибкость дифференциальных форм гарантирует, что это возможно не только для продуктов, но и в более общих ситуациях. При некоторых гипотезах возможно интегрирование по слоям гладкого отображения, и аналогом теоремы Фубини является случай, когда это отображение представляет собой проекцию произведения на один из его сомножителей.

Поскольку интегрирование дифференциальной формы по подмногообразию требует фиксации ориентации, предпосылкой интегрирования вдоль слоев является существование четко определенной ориентации на этих слоях. Пусть M и N — два ориентируемых многообразия чистых размерностей m и n соответственно. Предположим, что f  : M → N — сюръективная субмерсия. Это подразумевает, что каждый слой f ⁻¹ ( y ) является ( m − n ) -мерным и что вокруг каждой точки M существует карта, на которой f выглядит как проекция произведения на один из его факторов. Зафиксируйте x ∈ M и положите y знак равно ж ( x ) . Предположим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$

и что η _y не обращается в нуль. Далее (Dieudonné 1972) следует уникальное

${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$

которую можно рассматривать как расслоенную часть ω _x относительно η _y . Точнее, определим j  : f ⁻¹ ( y ) → M как включение. Тогда σ _x определяется тем свойством, что

${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$

где

${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$

– любой ( m − n ) -ковектор, для которого

${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$

Форму σ _x можно также обозначить как ω _x / η _y .

Более того , при фиксированном y σx плавно меняется относительно x _. То есть предположим, что

${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$

– гладкий участок карты проекции; мы говорим, что ω — гладкая дифференциальная m -форма на M вдоль f ⁻¹ ( y ) . Тогда существует гладкая дифференциальная ( m − n ) -форма σ на f ⁻¹ ( y ) такая , что для каждого x ∈ f ⁻¹ ( y )

${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$

Эта форма обозначается ω / η _y . Та же конструкция работает, если ω — m -форма в окрестности слоя, и используются те же обозначения. Следствием этого является то, что каждый слой f ⁻¹ ( y ) ориентируем. В частности, выбор форм ориентации на M и N определяет ориентацию каждого слоя f .

Аналог теоремы Фубини состоит в следующем. Как и раньше, M и N — два ориентируемых многообразия чистых размерностей m и n , а f  : M → N — сюръективная субмерсия. Зафиксируйте ориентации M и N и придайте каждому слою f индуцированную ориентацию. Пусть ω — m -форма на M и η — n -форма на N , почти всюду положительная относительно ориентации N. Тогда для почти каждого y ∈ N форма ω / η _y является корректно определенной интегрируемой формой m − n на f ⁻¹ ( y ) . Более того, существует интегрируемая n -форма на N , определяемая формулой

${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.}$

Обозначим эту форму через

${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$

Затем (Дьедонне, 1972) доказывает обобщенную формулу Фубини

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$

Возможно также объединение форм других степеней по волокнам погружения. Предположим те же гипотезы, что и раньше, и пусть α — ( m − n + k ) -форма с компактным носителем на M . Тогда существует k -форма γ на N , являющаяся результатом интегрирования α по слоям f . Форма α определяется путем указания в каждом y ∈ N того, как γ образует пары с каждым k -вектором v в точке y , и значение этого спаривания является интегралом по f ⁻¹ ( y ) , который зависит только от α , v , и ориентации M и N. Точнее, для каждого y ∈ N существует изоморфизм

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$

определяется внутренним продуктом

${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},}$

при любом выборе формы объема ζ в ориентации N. Если x ∈ f ⁻¹ ( y ) , то k -вектор v в точке y определяет ( n − k ) -ковектор в точке x методом обратного преобразования:

${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$

Каждый из этих ковекторов имеет внешнее произведение против α , поэтому существует ( m − n ) -форма β _v на M вдоль f ⁻¹ ( y ) , определенная формулой

${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$

Эта форма зависит от ориентации N , но не от выбора ζ . Тогда k -форма γ однозначно определяется свойством

${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },}$

и γ является гладким (Дьедонне, 1972). Эта форма также обозначала α ^♭ и называлась интегралом от α по слоям f . Интегрирование по слоям важно для построения отображений Гайзина в когомологиях де Рама.

Интегрирование вдоль слоев удовлетворяет формуле проекции (Дьедонне, 1972). Если λ — любая ℓ -форма на N , то

${\displaystyle \alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.}$

Теорема Стокса

Фундаментальная связь между внешней производной и интегрированием задается теоремой Стокса : если ω является ( n − 1 )-формой с компактным носителем на M и ∂M обозначает границу M с ее индуцированной ориентацией , то

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$

Ключевым следствием этого является то, что «интеграл замкнутой формы по гомологичным цепям равен»: если ω — замкнутая k -форма, а M и N — гомологичные k -цепи (такие, что M − N — граница a ( k +1) -цепь W ), то , так как разность есть интеграл . ${\displaystyle \textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0}$

Например, если ω = df — производная потенциальной функции на плоскости или R ⁿ , то интеграл от ω по пути от a до b не зависит от выбора пути (интеграл равен f ( b ) − f ( a ) ), поскольку разные пути с заданными концами гомотопны , а значит, гомологичны (более слабое условие). Этот случай называется теоремой о градиенте и обобщает фундаментальную теорему исчисления . Эта независимость от пути очень полезна при контурной интеграции .

Эта теорема также лежит в основе двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепей.

Связь с мерами

На общем дифференцируемом многообразии (без дополнительной структуры) дифференциальные формы не могут быть проинтегрированы по подмножествам многообразия; это различие является ключом к различию между дифференциальными формами, которые интегрируются по цепям или ориентированным подмногообразиям, и мерами, которые интегрируются по подмножествам. Самый простой пример — попытка проинтегрировать 1 -форму dx на интервале [0, 1] . Предполагая обычное расстояние (и, следовательно, измерение) на действительной линии, этот интеграл равен либо 1 , либо −1 , в зависимости от ориентации: , while . Напротив, интеграл меры | дх | на интервале однозначно равен 1 (т.е. интеграл от постоянной функции 1 по этой мере равен 1 ). Аналогично, при замене координат дифференциальная n -форма меняется на определитель Якобиана J , а мера меняется на абсолютное значение определителя Якобиана | Дж | , что дополнительно отражает вопрос ориентации. Например, при отображении x ↦ − x на прямой дифференциальная форма dx возвращается к − dx ; ориентация изменилась; а мера Лебега , которую здесь мы обозначаем | дх | , возвращается к | дх | ; оно не меняется. ${\displaystyle \textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}}$ ${\displaystyle \textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}}$

При наличии дополнительных данных ориентации можно интегрировать n -формы (верхнемерные формы) по всему многообразию или по компактным подмножествам; интегрирование по всему многообразию соответствует интегрированию формы по фундаментальному классу многообразия [ M ] . Формально при наличии ориентации можно отождествлять n -формы с плотностями на многообразии ; плотности, в свою очередь, определяют меру и, таким образом, могут быть интегрированы (Folland 1999, раздел 11.4, стр. 361–362).

На ориентируемом, но неориентированном многообразии есть два варианта ориентации; любой выбор позволяет интегрировать n -формы по компактным подмножествам, при этом два варианта различаются знаком. На неориентируемом многообразии невозможно отождествить n -формы и плотности — в частности, любая верхнемерная форма должна где-то исчезать ( на неориентируемых многообразиях нет форм объёма ), но существуют никуда не исчезающие плотности — таким образом, хотя можно интегрируя плотности по компактным подмножествам, невозможно интегрировать n -формы. Вместо этого можно идентифицировать плотности с помощью псевдоформ верхнего измерения .

Даже при наличии ориентации, как правило, не существует значимого способа интегрировать k -формы по подмножествам при k < n , поскольку не существует последовательного способа использования внешней ориентации для ориентации k -мерных подмножеств. Геометрически k -мерное подмножество можно развернуть на месте, получив то же подмножество с противоположной ориентацией; например, горизонтальную ось в плоскости можно повернуть на 180 градусов. Сравните определитель Грама набора из k векторов в n -мерном пространстве, который, в отличие от определителя n векторов, всегда положителен, что соответствует квадрату числа. Таким образом, ориентация k -подмногообразия представляет собой дополнительные данные, не извлекаемые из объемлющего многообразия.

На римановом многообразии можно определить k -мерную меру Хаусдорфа для любого k (целого или действительного), которую можно проинтегрировать по k -мерным подмножествам многообразия. Затем функцию, умноженную на эту меру Хаусдорфа, можно проинтегрировать по k -мерным подмножествам, обеспечивая теоретико-мерный аналог интегрирования k -форм. n - мерная мера Хаусдорфа дает плотность, как указано выше.

Течения

Аналог распределения или обобщенной функции в дифференциальной форме называется током . Пространство k -токов на M является пространством, двойственным соответствующему пространству дифференциальных k -форм. Токи играют роль обобщенных областей интеграции, похожих на цепи, но даже более гибких.

Приложения в физике

Дифференциальные формы возникают в некоторых важных физических контекстах. Например, в теории электромагнетизма Максвелла 2 -форма Фарадея , или напряженность электромагнитного поля , равна

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,}$

где f _ab формируются из электромагнитных полей и ; например, f ₁₂ = E _z / c , f ₂₃ = − B _z или эквивалентные определения. ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

Эта форма является частным случаем формы кривизны на главном расслоении U(1) , на котором могут быть описаны как электромагнетизм, так и общие калибровочные теории . Форма связи для главного расслоения — это векторный потенциал, обычно обозначаемый A , если он представлен в некоторой калибровке. Тогда у человека есть

${\displaystyle {\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.}$

Текущая 3 - форма _

${\displaystyle {\textbf {J}}={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,}$

где j ^a — четыре составляющие плотности тока. (Здесь принято писать Fab вместо fab , т.е. использовать заглавные буквы, и писать J _a вместо j ^{a .} _Однако компоненты вектора rsp. тензора и упомянутые выше формы имеют разные ^{физические} Кроме того, по решению международной комиссии Международного союза теоретической и прикладной физики вектор магнитной поляризации уже несколько десятилетий называется , а некоторыми издательствами J , т. е. одно и то же название используется для разных величин.) ${\displaystyle {\vec {J}}}$

Используя приведенные выше определения, уравнения Максвелла можно очень компактно записать в геометризованных единицах :

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\textbf {F}}&={\textbf {0}}\\d{\star {\textbf {F}}}&={\textbf {J}},\end{aligned}}}$

где обозначает звездный оператор Ходжа . Подобные соображения описывают геометрию калибровочных теорий в целом. ${\displaystyle \star }$

2 - форма , двойственная форме Фарадея, также называется 2-формой Максвелла . ${\displaystyle {\star }\mathbf {F} }$

Электромагнетизм является примером калибровочной теории U (1) . Здесь группа Ли — это U(1) , одномерная унитарная группа , которая, в частности, является абелевой . Существуют калибровочные теории, такие как теория Янга–Миллса , в которых группа Ли не является абелевой. В этом случае возникают отношения, аналогичные описанным здесь. Аналогом поля F в таких теориях является форма кривизны связности, которая в калибровке изображается однозначной однозначной формой A алгебры Ли . Поле Янга – Миллса F тогда определяется формулой

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

В абелевом случае, таком как электромагнетизм, A ∧ A = 0 , но в общем случае это не так. Аналогично, уравнения поля модифицируются дополнительными членами, включающими внешние произведения A и F , из-за структурных уравнений калибровочной группы.

Приложения в геометрической теории меры

Многочисленные результаты минимальности для комплексных аналитических многообразий основаны на неравенстве Виртингера для 2-форм . Краткое доказательство можно найти в классическом труде Герберта Федерера «Геометрическая теория меры» . Неравенство Виртингера также является ключевым компонентом неравенства Громова для сложного проективного пространства в систолической геометрии .

Смотрите также

• Замкнутые и точные дифференциальные формы
• Сложная дифференциальная форма
• Векторнозначная дифференциальная форма
• Эквивариантная дифференциальная форма
• Исчисление на многообразиях
• Многолинейная форма
• Полиномиальная дифференциальная форма

Примечания

1. Картан, Эли (1899), «Sur определенные выражения différentielles et le problème de Pfaff», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 16 : 239–332, doi : 10.24033/asens.467
2. Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9781441974006. ОСЛК  682907530.
3. «Линейная алгебра - «естественные» пары между внешними степенями векторного пространства и его двойственным пространством».

Рекомендации

• Бахман, Дэвид (2006), Геометрический подход к дифференциальным формам , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4499-4
• Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам , arXiv : math/0306194v1 , Bibcode : 2003math......6194B
• Картан, Анри (2006), Дифференциальные формы , Дувр, ISBN 0-486-45010-4-Перевод Formes différentielles (1967).
• Дьедонне, Жан (1972), Трактат об анализе , том. 3, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, Inc., MR  0350769.
• Эдвардс, Гарольд М. (1994), Продвинутое исчисление; Подход дифференциальных форм , Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Базель, Берлин: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-0-8176-8412-9, ISBN 978-0-8176-8411-2
• Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.), ISBN 978-0-471-31716-6,в последнем разделе приводится краткое обсуждение интегрирования на многообразиях с точки зрения теории меры.
• Фландерс, Харли (1989) [1964], Дифференциальные формы с применением к физическим наукам , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
• Флеминг, Венделл Х. (1965), «Глава 6: Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление», Функции нескольких переменных , Аддисон-Уэсли, стр. 205–238.Этот учебник по многомерному исчислению знакомит с внешней алгеброй дифференциальных форм на уровне исчисления в колледже.
• Морита, Сигэюки (2001), Геометрия дифференциальных форм , AMS, ISBN 0-8218-1045-6
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-Х
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Менло-Парк, Калифорния: WA Бенджамин, ISBN 0-8053-9021-9,стандартный вводный текст.
• Ту, Лоринг В. (2008), Введение в многообразия , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-0-387-48098-5
• Зорич, Владимир А. (2004), Математический анализ II , Springer, ISBN 3-540-40633-6

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальная форма». Математический мир .
• Сьямаар, Рейер (2006), Конспект лекций «Многообразия и дифференциальные формы» (PDF), курс, преподаваемый в Корнелльском университете .
• Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам , arXiv : math/0306194 , Bibcode : 2003math......6194B, текст для студентов.
• Нидэм, Тристан . Наглядная дифференциальная геометрия и формы: математическая драма в пяти действиях . Издательство Принстонского университета, 2021.