Двойное пространство

В математике векторное пространство линейных форм.

В математике любому векторному пространству соответствует двойственное векторное пространство (или просто двойственное пространство для краткости), состоящее из всех линейных форм вместе со структурой векторного пространства поточечного сложения и скалярного умножения на константы. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V,}$

Двойственное пространство, определенное выше, определено для всех векторных пространств, и во избежание двусмысленности его также можно назвать алгебраическим дуальным пространством . При определении топологического векторного пространства существует подпространство двойственного пространства, соответствующее непрерывным линейным функционалам , называемое непрерывным двойственным пространством .

Двойные векторные пространства находят применение во многих разделах математики, в которых используются векторные пространства, например, в тензорном анализе с конечномерными векторными пространствами. Применительно к векторным пространствам функций (которые обычно являются бесконечномерными) двойственные пространства используются для описания мер , распределений и гильбертовых пространств . Следовательно, двойственное пространство является важным понятием в функциональном анализе .

Ранние термины для дуального включают полярный Раум [Hahn 1927], espace conjugué , присоединенное пространство [Alaoglu 1940] и транспоньерный Raum [Schauder 1930] и [Banach 1932]. Термин «двойственный» принадлежит Бурбаки 1938. ^[1]

Алгебраическое двойственное пространство

Учитывая любое векторное пространство над полем , (алгебраическое) двойственное пространство ^[2] (альтернативно обозначаемое ^[3] или ^{[4] [5]} ) ^{[nb 1]} определяется как набор всех линейных отображений ( линейных функционалов ). Поскольку линейные карты являются гомоморфизмами векторного пространства , можно обозначить двойственное пространство . ^[3] Дуальное пространство само по себе становится векторным пространством, если оно оснащено сложением и скалярным умножением, удовлетворяющим: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{\lor }}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi :V\to F}$ ${\displaystyle \hom(V,F)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\varphi +\psi )(x)&=\varphi (x)+\psi (x)\\(a\varphi )(x)&=a\left(\varphi (x)\right)\end{aligned}}}$

для всех , , и . ${\displaystyle \varphi ,\psi \in V^{*}}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle a\in F}$

Элементы алгебраического дуального пространства иногда называют ковекторами , одноформами или линейными формами . ${\displaystyle V^{*}}$

Спаривание функционала в дуальном пространстве и элемента иногда обозначают скобкой: ^[6 ] или . ^[7] Это спаривание определяет невырожденное билинейное отображение ^{[nb 2],} называемое естественным спариванием . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi (x)=[x,\varphi ]}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\langle x,\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V^{*}\to F}$

Конечномерный случай

Если конечномерно, то имеет ту же размерность, что и . Учитывая базис в , можно построить конкретный базис в , называемый двойственным базисом . Этот двойственный базис представляет собой набор линейных функционалов от , определяемый соотношением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +c^{n}\mathbf {e} _{n})=c^{i},\quad i=1,\ldots ,n}$

при любом выборе коэффициентов . В частности, если, в свою очередь, каждый из этих коэффициентов будет равен одному, а другой коэффициент равен нулю, получим систему уравнений ${\displaystyle c^{i}\in F}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}}$

где находится символ дельты Кронекера . Это свойство называется свойством биортогональности . ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Например, если есть , пусть его базис выбран как . Базисные векторы не ортогональны друг другу. Тогда и являются одноформами (функциями, отображающими вектор в скаляр) такими, что , , , и . (Примечание: верхний индекс здесь представляет собой индекс, а не показатель степени.) Эту систему уравнений можно выразить с использованием матричной записи как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}=(1/2,1/2),\mathbf {e} _{2}=(0,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{1})=1}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{2})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{1})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{2})=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{11}&e^{12}\\e^{21}&e^{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{11}&e_{21}\\e_{12}&e_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Решение неизвестных значений в первой матрице показывает, что двойственный базис равен . Поскольку и являются функционалами, их можно переписать как и . ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1}=(2,0),\mathbf {e} ^{2}=(-1,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(x,y)=2x}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(x,y)=-x+y}$

В общем случае, если , если это матрица, столбцы которой являются базисными векторами, и матрица, столбцы которой являются двойственными базисными векторами, то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E=[\mathbf {e} _{1}|\cdots |\mathbf {e} _{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {E}}=[\mathbf {e} ^{1}|\cdots |\mathbf {e} ^{n}]}$

${\displaystyle E\cdot {\hat {E}}^{\textrm {T}}=I_{n},}$

где – единичная матрица порядка . Свойство биортогональности этих двух базисных наборов позволяет представить любую точку в виде ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} ^{i}\rangle \mathbf {e} _{i}=\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} _{i}\rangle \mathbf {e} ^{i},}$

даже если базисные векторы не ортогональны друг другу. Строго говоря, приведенное выше утверждение имеет смысл только после того, как введены скалярное произведение и соответствующее спаривание двойственности, как описано ниже в § Билинейные произведения и двойственные пространства . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

В частности, его можно интерпретировать как пространство столбцов действительных чисел , его двойственное пространство обычно записывается как пространство строк действительных чисел. Такая строка действует как линейный функционал при обычном умножении матриц . Это происходит потому, что функционал отображает каждый -вектор в действительное число . Затем, рассматривая этот функционал как матрицу и как матрицу и матрицу (тривиально, действительное число) соответственно, if then по соображениям размерности должна быть матрицей; то есть должен быть вектором-строкой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle Mx=y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle M}$

Если состоит из пространства геометрических векторов на плоскости, то кривые уровня элемента образуют семейство параллельных линий в , поскольку диапазон одномерен, так что каждая точка в диапазоне кратна любой одной ненулевой элемент. Таким образом, элемент можно интуитивно представить как определенное семейство параллельных линий, покрывающих плоскость. Чтобы вычислить значение функционала по заданному вектору, достаточно определить, на какой из прямых лежит этот вектор. Неформально это «подсчитывает», сколько линий пересекает вектор. В более общем смысле, если это векторное пространство любой размерности, то множества уровня линейного функционала в являются параллельными гиперплоскостями в и действие линейного функционала на вектор можно визуализировать в терминах этих гиперплоскостей. ^[8] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

Бесконечномерный случай

Если не конечномерно, но имеет базис ^{[nb 3],} индексированный бесконечным множеством , то та же конструкция, что и в конечномерном случае, дает линейно независимые элементы ( ) двойственного пространства, но они не образуют базис. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$

Например, рассмотрим пространство , элементами которого являются последовательности действительных чисел, содержащие только конечное число ненулевых элементов, имеющее базис, индексированный натуральными числами . Для , - это последовательность, состоящая из всех нулей, за исключением -й позиции, которая равна 1. Двойственное пространство is (изоморфно) , пространство всех последовательностей действительных чисел: каждая действительная последовательность определяет функцию, в которой элементом является отправил на номер ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}x_{n},}$

что является конечной суммой, поскольку существует только конечное число ненулевых чисел . Размерность счетно бесконечна , тогда как не имеет счетной базы . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Это наблюдение обобщается на любое ^{[nb 3]} бесконечномерное векторное пространство над любым полем : выбор базиса отождествляется с пространством таких функций , которые отличны от нуля только для конечного числа , где такая функция отождествляется с вектором ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (F^{A})_{0}}$ ${\displaystyle f:A\to F}$ ${\displaystyle f_{\alpha }=f(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }}$

в (сумма конечна по предположению о и любая может быть записана таким образом однозначно по определению базиса). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v\in V}$

Двойственное пространство может тогда быть отождествлено с пространством всех функций от до : линейный функционал на однозначно определяется значениями, которые он принимает на основе , и любая функция ( с ) определяет линейный функционал на по формуле ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }=T(\mathbf {e} _{\alpha })}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta :A\to F}$ ${\displaystyle \theta (\alpha )=\theta _{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle T\left(\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }T(e_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\theta _{\alpha }.}$

Опять же, сумма конечна, поскольку она отлична от нуля только для конечного числа . ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Набор может быть отождествлен (по существу по определению) с прямой суммой бесконечного числа копий (рассматриваемых как одномерное векторное пространство над собой), индексированных , т.е. существуют линейные изоморфизмы ${\displaystyle (F^{A})_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle V\cong (F^{A})_{0}\cong \bigoplus _{\alpha \in A}F.}$

С другой стороны, является (опять же по определению) прямым произведением бесконечного числа копий, индексированных , и поэтому идентификация ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle V^{*}\cong \left(\bigoplus _{\alpha \in A}F\right)^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F\cong F^{A}}$

является частным случаем общего результата , связывающего прямые суммы ( модулей ) с прямыми произведениями.

Если векторное пространство не является конечномерным, то его (алгебраическое) двойственное пространство всегда имеет большую размерность (как кардинальное число ), чем исходное векторное пространство. Это контрастирует со случаем непрерывного дуального пространства, обсуждаемым ниже, которое может быть изоморфно исходному векторному пространству, даже если последнее бесконечномерно.

Доказательство этого неравенства между размерностями вытекает из следующего.

Если — бесконечномерное векторное пространство, из арифметических свойств кардинальных чисел следует, что ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \mathrm {dim} (V)=|A|<|F|^{|A|}=|V^{\ast }|=\mathrm {max} (|\mathrm {dim} (V^{\ast })|,|F|),}$

где мощности, как обычно, обозначаются как абсолютные значения . Для доказательства этого достаточно доказать то, что можно сделать с помощью аргумента, подобного диагональному аргументу Кантора . ^{[ нужна цитата ]} Точная размерность двойственного дается теоремой Эрдеша-Капланского . ${\displaystyle \mathrm {dim} (V)<\mathrm {dim} (V^{*}),}$ ${\displaystyle |F|\leq |\mathrm {dim} (V^{\ast })|,}$

Билинейные произведения и двойственные пространства

Если V конечномерно, то V изоморфно V ^∗ . Но между этими двумя пространствами, вообще говоря, нет естественного изоморфизма . ^[9] Любая билинейная форма ⟨·,·⟩ на V дает отображение V в его двойственное пространство через

${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$

где правая часть определяется как функционал на V , переводящий каждый w ∈ V в ⟨ v , w ⟩ . Другими словами, билинейная форма определяет линейное отображение

${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to V^{*}}$

определяется

${\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}$

Если билинейная форма невырождена , то это изоморфизм на подпространство V ^∗ . Если V конечномерно, то это изоморфизм на все V ^∗ . И наоборот, любой изоморфизм из V в подпространство V ^∗ (соответственно, все из V ^∗, если V конечномерно) определяет единственную невырожденную билинейную форму на V по формуле ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Phi }}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w].\,}$

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между изоморфизмами V подпространству (соответственно всем) V ^∗ и невырожденным билинейным формам на V .

Если векторное пространство V находится над комплексным полем, то иногда более естественно рассматривать полуторалинейные формы вместо билинейных. В этом случае данная полуторалинейная форма ⟨·,·⟩ определяет изоморфизм V с комплексно-сопряженным сопряженным пространством

${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to {\overline {V^{*}}}.}$

Сопряженное двойственное пространство можно отождествить с множеством всех аддитивных комплекснозначных функционалов f  : V → C таких, что ${\displaystyle {\overline {V^{*}}}}$

${\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v).}$

Инъекция в дабл-дуал

Существует естественный гомоморфизм из в двойной двойственный , определяемый для всех . Другими словами, если оценочная карта определяется , то определяется как карта . Это отображение всегда инъективно ; ^{[nb 3]} и оно всегда является изоморфизмом, если конечномерно. ^[10] Действительно, изоморфизм конечномерного векторного пространства с его двойным двойником является архетипическим примером естественного изоморфизма . Бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны не своим двойным алгебраическим двойникам, а своим непрерывным двойным двойникам. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{**}=\{\Phi :V^{*}\to F:\Phi \ \mathrm {linear} \}}$ ${\displaystyle (\Psi (v))(\varphi )=\varphi (v)}$ ${\displaystyle v\in V,\varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {ev} _{v}:V^{*}\to F}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (v)}$ ${\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}$ ${\displaystyle v\mapsto \mathrm {ev} _{v}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$

Транспонирование линейной карты

Если f  : V → W — линейное отображение , то транспонирование (или двойственное ) f ^∗  : W ^∗ → V ^∗ определяется формулой

${\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}$

для каждого . Полученный функционал называется обратным ходом вдоль . ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ${\displaystyle f^{*}(\varphi )}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$

Следующее тождество справедливо для всех и : ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}$

где скобка [·,·] слева — это естественное спаривание V с двойственным к нему пространством, а справа — естественное спаривание W с двойственным к нему пространством. Это тождество характеризует транспонирование ^[11] и формально аналогично определению сопряженного .

Назначение f ↦ f ^∗ создает инъективное линейное отображение между пространством линейных операторов из V в W и пространством линейных операторов из W ^∗ в V ^∗ ; этот гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда W конечномерно. Если V = W , то пространство линейных карт на самом деле является алгеброй относительно композиции отображений , и тогда присваивание является антигомоморфизмом алгебр, а это означает, что ( fg ) ^∗ = g ^∗ f ^∗ . Таким образом, на языке теории категорий взятие двойственного векторного пространства и транспонирования линейных отображений является контравариантным функтором из категории векторных пространств над F в себя. Можно отождествить ( f ^∗ ) ^∗ с f , используя естественную инъекцию в двойной дуальный элемент.

Если линейное отображение f представлено матрицей A относительно двух базисов V и W , то f ^∗ представлено транспонированной матрицей A T ^{относительно} двойственных базисов W ^∗ и V ^∗ , отсюда и название. Альтернативно, поскольку f представлена ​​как A , действующая слева на вектор-столбцы, f ^* представлена ​​той же матрицей, действующей справа на вектор-строки. Эти точки зрения связаны каноническим скалярным произведением на R ⁿ , которое отождествляет пространство векторов-столбцов с двойственным пространством векторов-строк.

Факторпространства и аннуляторы

Пусть будет подмножеством . Обозначаемый здесь аннулятор in представляет собой совокупность линейных функционалов таких, что для всех . То есть состоит из всех линейных функционалов таких, что ограничение на обращается в нуль: . В конечномерных векторных пространствах аннулятор двойствен (изоморфен) ортогональному дополнению . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$ ${\displaystyle [f,s]=0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle f:V\to F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f|_{S}=0}$

Аннулятор подмножества сам по себе является векторным пространством. Аннулятором нулевого вектора является всё дуальное пространство: , а аннулятором всего пространства является только нулевой ковектор: . Более того, присвоение аннулятора подмножеству инвертирующих включений, так что если , то ${\displaystyle \{0\}^{0}=V^{*}}$ ${\displaystyle V^{0}=\{0\}\subseteq V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{0\}\subseteq S\subseteq T\subseteq V}$

${\displaystyle \{0\}\subseteq T^{0}\subseteq S^{0}\subseteq V^{*}.}$

Если и являются двумя подмножествами, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle A^{0}+B^{0}\subseteq (A\cap B)^{0},}$

и равенство имеет место при условии конечномерности. Если какое-либо семейство подмножеств индексируется принадлежностью к некоторому набору индексов , то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{0}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{0}.}$

В частности, если и являются подпространствами тогда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}\cap B^{0}.}$

Если конечномерно и является векторным подпространством , то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W^{00}=W}$

после отождествления со своим образом во втором дуальном пространстве при изоморфизме двойной двойственности . В частности, образование аннулятора представляет собой связность Галуа на решетке подмножеств конечномерного векторного пространства. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\approx V^{**}}$

Если это подпространство, то факторпространство само по себе является векторным пространством и поэтому имеет двойственное пространство. По первой теореме изоморфизма функционал факторизуется тогда и только тогда, когда находится в ядре . Таким образом, существует изоморфизм ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle f:V\to F}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{0}.}$

Как частное следствие, если является прямой суммой двух подпространств и , то является прямой суммой и . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle B^{0}}$

Размерный анализ

Дуальное пространство аналогично пространству «отрицательных» измерений. Проще всего, поскольку вектор можно соединить с ковектором естественным спариванием для получения скаляра, ковектор может «отменить» размерность вектора, аналогично уменьшению дроби . Таким образом, хотя прямая сумма является -мерным пространством (если она -мерна), она ведет себя как -мерное пространство в том смысле, что ее измерения можно сократить по сравнению с размерностями . Это формализуется сжатием тензора . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle :=\varphi (x)\in F}$ ${\displaystyle V\oplus V^{*}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle (-n)}$ ${\displaystyle V}$

Это возникает в физике посредством анализа размерностей , где двойственное пространство имеет обратные единицы. ^[12] При естественном спаривании эти единицы сокращаются, и результирующее скалярное значение, как и ожидалось, является безразмерным . Например, в (непрерывном) анализе Фурье или, в более широком смысле, частотно-временном анализе : ^{[nb 4]} учитывая одномерное векторное пространство с единицей времени , двойственное пространство имеет единицы частоты : появления на единицу времени (единицы из ). Например, если время измеряется в секундах , соответствующей двойной единицей является обратная секунда : в течение 3 секунд событие, которое происходит 2 раза в секунду, происходит в общей сложности 6 раз, что соответствует . Аналогично, если основное пространство имеет длину, двойственное пространство имеет обратную длину . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle 3s\cdot 2s^{-1}=6}$

Непрерывное двойное пространство

При работе с топологическими векторными пространствами особенно важны непрерывные линейные функционалы из пространства в базовое поле (или ) . Это порождает понятие «непрерывного двойственного пространства» или «топологического двойственного пространства», которое является линейным подпространством алгебраического двойственного пространства , обозначаемого . Для любого конечномерного нормированного векторного пространства или топологического векторного пространства, такого как евклидово n- пространство , непрерывное двойственное и алгебраически двойственное пространство совпадают. Однако это неверно для любого бесконечномерного нормированного пространства, как показано на примере разрывных линейных отображений . Тем не менее, в теории топологических векторных пространств термины «непрерывное дуальное пространство» и «топологическое дуальное пространство» часто заменяются на «дуальное пространство». ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V'}$

Для топологического векторного пространства его непрерывное дуальное пространство , ^[13] или топологическое дуальное пространство , ^[14] или просто дуальное пространство ^{[13] [14] [15] [16]} (в смысле теории топологических векторных пространств) есть определяется как пространство всех непрерывных линейных функционалов . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi :V\to {\mathbb {F} }}$

Важными примерами непрерывных дуальных пространств являются пространство основных функций с компактным носителем и двойственное к нему пространство произвольных распределений (обобщенных функций); пространство произвольных основных функций и двойственное к ней пространство финитных распределений; и пространство быстро убывающих основных функций - пространство Шварца и двойственное ему пространство умеренных распределений (медленно растущих распределений) в теории обобщенных функций . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}',}$

Характеристики

Если X — топологическое векторное пространство Хаусдорфа (TVS), то непрерывное двойственное пространство к X идентично непрерывному двойственному пространству пополнения X . ^[1]

Топологии на двойственном

Существует стандартная конструкция введения топологии в непрерывном двойственном топологическом векторном пространстве . Исправьте набор ограниченных подмножеств . Это дает топологию равномерной сходимости множеств из или, что то же самое, топологию, порожденную полунормами вида ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}},}$

${\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}$

где – непрерывный линейный функционал на и пробегает класс ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Это означает, что сеть функционалов стремится к функционалу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\qquad \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0.}$

Обычно (но не обязательно) класс должен удовлетворять следующим условиям: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Каждая точка принадлежит некоторому множеству : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

  ${\displaystyle {\text{ for all }}x\in V\quad {\text{ there exists some }}A\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ such that }}x\in A.}$

• Каждые два набора и содержатся в некотором наборе : ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$

  ${\displaystyle {\text{ for all }}A,B\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ there exists some }}C\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ such that }}A\cup B\subseteq C.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$замыкается относительно операции умножения на скаляры:

  ${\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ and all }}\lambda \in {\mathbb {F} }\quad {\text{ such that }}\lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}.}$

Если эти требования выполнены, то соответствующая топология на хаусдорфовой и множества ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle U_{A}~=~\left\{\varphi \in V'~:~\quad \|\varphi \|_{A}<1\right\},\qquad {\text{ for }}A\in {\mathcal {A}}}$

сформировать свою местную базу.

Вот три наиболее важных особых случая.

• Сильная топология на — это топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в (поэтому здесь можно выбрать класс всех ограниченных подмножеств в ). ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$

Если - нормированное векторное пространство (например, банахово или гильбертово пространство ), то сильная топология на нормирована (фактически банахово пространство, если поле скаляров полно) с нормой ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\varphi (x)|.}$

• Стереотипная топология на — это топология равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в (поэтому здесь можно выбрать класс всех вполне ограниченных подмножеств в ). ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$
• Слабая топология на — это топология равномерной сходимости на конечных подмножествах в (поэтому здесь можно выбрать класс всех конечных подмножеств в ). ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$

Каждый из этих трех вариантов топологии приводит к варианту свойства рефлексивности топологических векторных пространств: ${\displaystyle V'}$

• Если наделено сильной топологией , то соответствующее понятие рефлексивности является стандартным: рефлексивные в этом смысле пространства называются просто рефлексивными . ^[17] ${\displaystyle V'}$
• Если стереотипно-двойственная топология наделена, то соответствующая рефлексивность представлена ​​в теории стереотипных пространств : рефлексивные в этом смысле пространства называются стереотипными . ${\displaystyle V'}$
• Если наделено слабой топологией , то соответствующая рефлексивность представлена ​​в теории дуальных пар : ^[18] рефлексивными в этом смысле пространствами являются произвольные (хаусдорфовы) локально выпуклые пространства со слабой топологией. ^[19] ${\displaystyle V'}$

Примеры

Пусть 1 < p < ∞ — действительное число, и рассмотрим банахово пространство ℓ  p всех последовательностей a = ( a _n ) , для которых

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

Определим число q как 1/ p + 1/ q = 1 . Тогда непрерывный двойственный элемент ℓ ^p естественным образом отождествляется с ℓ ^q : для данного элемента соответствующий элемент ℓ ^q — это последовательность , где обозначает последовательность, n -й член которой равен 1, а все остальные равны нулю. И наоборот, для данного элемента a = ( an ) ∈ ℓ ^q соответствующий непрерывный линейный функционал _на ℓ p ^{определяется} формулой ${\displaystyle \varphi \in (\ell ^{p})'}$ ${\displaystyle (\varphi (\mathbf {e} _{n}))}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {b} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}}$

для всех b = ( b _n ) ∈ ℓ ^p (см. неравенство Гёльдера ).

Аналогичным образом непрерывный двойственный элемент ℓ ¹ естественным образом отождествляется с ℓ ^∞ (пространством ограниченных последовательностей). Более того, непрерывные двойственные банаховы пространства c (состоящие из всех сходящихся последовательностей с нормой супремума ) и c ₀ (последовательности, сходящиеся к нулю) естественным образом отождествляются с ℓ ¹ .

По теореме о представлении Рисса непрерывное двойственное гильбертово пространство снова является гильбертовым пространством, которое антиизоморфно исходному пространству. Это приводит к появлению обозначений брекета , используемых физиками в математической формулировке квантовой механики .

По теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани непрерывное двойственное пространство некоторых пространств непрерывных функций можно описать с помощью мер.

Транспонирование непрерывной линейной карты

Если T  : V → W — непрерывное линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами, то (непрерывное) транспонирование T′  : W′ → V′ определяется той же формулой, что и раньше:

${\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad \varphi \in W'.}$

Результирующий функционал T′ ( φ ) находится в V′ . Назначение T → T' создает линейное отображение между пространством непрерывных линейных отображений из V в W и пространством линейных отображений из W' в V' . Если T и U — составные непрерывные линейные отображения, то

${\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'.}$

Когда V и W — нормированные пространства, норма транспонирования в L ( W′ , V′ ) равна норме транспонирования T в L ( V , W ) . Некоторые свойства транспозиции зависят от теоремы Хана-Банаха . Например, ограниченное линейное отображение T имеет плотный образ тогда и только тогда, когда транспонирование T' инъективно.

Когда T — компактное линейное отображение между двумя банаховыми пространствами V и W , тогда транспонирование T компактно. Это можно доказать с помощью теоремы Арсела–Асколи .

Когда V — гильбертово пространство, существует антилинейный изоморфизм i _V из V на его непрерывное двойственное пространство V' . Для каждого ограниченного линейного отображения T на V транспонирующий и сопряженный операторы связаны соотношением

${\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}.}$

Когда T является непрерывным линейным отображением между двумя топологическими векторными пространствами V и W , тогда транспонирование T' является непрерывным, когда W' и V' оснащены «совместимыми» топологиями: например, когда для X = V и X = W , оба двойственных X' имеют сильную топологию β ( X' , X ) равномерной сходимости на ограниченных множествах X , или оба имеют слабую ∗ топологию σ ( X' , X ) поточечной сходимости  на X. Транспонирование T' непрерывно от β ( W' , W ) до β ( V' , V ) или от σ ( W' , W ) до σ ( V' , V ) .

Аннигиляторы

Предположим, что W — замкнутое линейное подпространство нормированного пространства  V , и рассмотрим аннулятор W в V′ ,

${\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subseteq \ker \varphi \}.}$

Тогда двойственный фактор V  /  W  можно отождествить с W ^⊥ , а двойственный фактор W можно отождествить с фактором V′  /  W ^⊥ . ^[20] Действительно, пусть P обозначает каноническую сюръекцию из V на фактор V  /  W  ; тогда транспонирование P′ является изометрическим изоморфизмом из ( V  /  W  )′ в V′ с диапазоном, равным W ^⊥ . Если j обозначает карту вставки из W в V , то ядро ​​транспонирования j' является аннулятором W :

${\displaystyle \ker(j')=W^{\perp }}$

и из теоремы Хана–Банаха следует , что j′ ^{индуцирует} изометрический изоморфизм V′  /  W⊥ → W′ .

Дополнительные свойства

Если двойственное нормированное пространство V сепарабельно , то сепарабельно и само пространство V. Обратное неверно: например, пространство ℓ ¹ сепарабельно, а двойственное к нему ℓ ^∞ — нет.

Двойной двойной

Это естественное преобразование сложения векторов из векторного пространства в его двойное двойное пространство. ⟨ x ₁ , x ₂ ⟩ обозначает упорядоченную пару двух векторов. Сложение + переводит x ₁ и x ₂ в x ₁ + x ₂ . Добавление +', индуцированное преобразованием, может быть определено как и для любого в дуальном пространстве. ${\displaystyle [\Psi (x_{1})+'\Psi (x_{2})](\varphi )=\varphi (x_{1}+x_{2})=\varphi (x)}$ ${\displaystyle \varphi }$

По аналогии со случаем алгебраического двойного двойника всегда существует естественно определенный непрерывный линейный оператор Ψ : V → V′′ из нормированного пространства V в его непрерывный двойной двойственный оператор V′′ , определяемый формулой

${\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad x\in V,\ \varphi \in V'.}$

Как следствие теоремы Хана-Банаха , это отображение на самом деле является изометрией , что означает ‖ Ψ( x ) ‖ = ‖ x ‖ для всех x ∈ V . Нормированные пространства, для которых отображение Ψ является биекцией , называются рефлексивными .

Когда V является топологическим векторным пространством, тогда Ψ( x ) по-прежнему можно определить по той же формуле для каждого x ∈ V , однако возникает несколько трудностей. Во-первых, когда V не является локально выпуклым , непрерывное двойственное отображение может быть равно {0}, а отображение Ψ тривиально. Однако, если V хаусдорфово и локально выпукло, отображение Ψ инъективно из V в алгебраическое двойственное V ^∗ к непрерывному двойственному отображению , опять же как следствие теоремы Хана–Банаха. ^{[номер 5]}

Во-вторых, даже в локально выпуклой постановке на непрерывном двойственном V'' можно определить несколько топологий естественного векторного пространства , так что непрерывный двойной двойственный V'' не определяется как множество однозначно. Утверждение, что Ψ отображается из V в V′′ , или, другими словами, что Ψ( x ) непрерывно на V′ для каждого x ∈ V , является разумным минимальным требованием к топологии V′ , а именно, что оценочные отображения

${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad x\in V,}$

быть непрерывным для выбранной топологии на V' . Далее, существует еще выбор топологии на V′′ , и непрерывность Ψ зависит от этого выбора. Как следствие, определение рефлексивности в этой системе является более сложным, чем в нормированном случае.

Смотрите также

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Двойной модуль
• Двойная норма
• Двойственность (математика)
• Двойственность (проективная геометрия)
• Двойственность Понтрягина
• Обратная решетка - двупространственный базис в кристаллографии.

Примечания

1. Чтобы узнать об использовании таким образом, см. «Введение в многообразия» (Вт, 2011, стр. 19). Это обозначение иногда используется, когда оно зарезервировано для какого-то другого значения. Например, в приведенном выше тексте часто используется для обозначения кодифференциала , так что это представляет собой обратный вариант формы . Халмош (1974, стр. 20) использует для обозначения алгебраического двойственного . Однако другие авторы используют непрерывное двойственное, оставляя при этом алгебраическое двойственное (Trèves 2006, стр. 35). ${\displaystyle V^{\lor }}$ ${\displaystyle (\cdot )^{*}}$ ${\displaystyle F^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{*}\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{*}}$
2. Во многих областях, таких как квантовая механика , ⟨·,·⟩ зарезервировано для полуторалинейной формы , определенной на V × V.
3. Некоторые утверждения в этой статье требуют аксиомы выбора для своего обоснования. Аксиома выбора нужна, чтобы показать, что произвольное векторное пространство имеет базис: в частности, нужно показать, что оно имеет базис. Также необходимо показать, что двойственное к бесконечномерному векторному пространству ненулевое и, следовательно, что естественное отображение из в его двойственное векторное пространство инъективно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
4. Точнее, непрерывный анализ Фурье изучает пространство функционалов с областью определения векторного пространства и пространство функционалов в двойственном векторном пространстве.
5. Если V локально выпукло, но не хаусдорфово, ядро ​​Ψ является наименьшим замкнутым подпространством, содержащим {0}.

Рекомендации

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
2. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 37, §2.1.3
3. Ту (2011) с. 19, §3.1
4. Экслер (2015) с. 101, §3.94
5. Халмос (1974) с. 2013
6. Халмос (1974) с. 21, §14
7. Миснер, Торн и Уиллер, 1973 г.
8. Миснер, Торн и Уилер 1973, §2.5
9. Мак Лейн и Биркгоф 1999, §VI.4
10. Халмош (1974), стр. 25, 28.
11. Халмос (1974) §44
12. Тао, Теренс (29 декабря 2012 г.). «Математическая формализация размерного анализа». Точно так же можно определить двойственное пространство для ... ${\displaystyle V^{T^{-1}}}$ ${\displaystyle V^{T}}$
13. Робертсон и Робертсон 1964, II.2
14. Шефер 1966, II.4
15. Рудин 1973, 3.1.
16. Бурбаки 2003, II.42
17. Шефер 1966, IV.5.5
18. Шефер 1966, IV.1
19. Шефер 1966, IV.1.2
20. Рудин 1991, глава 4.

Библиография

• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Бурбаки, Николя (1989). Элементы математики, Алгебра I. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-64243-9.
• Бурбаки, Николя (2003). Элементы математики, Топологические векторные пространства . Спрингер-Верлаг.
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Спрингер . ISBN 0-387-90093-4.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556, Збл  0984.00001
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Спрингер . ISBN 978-1-4419-7400-6.
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Издательство AMS Челси. ISBN 0-8218-1646-2..
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Робертсон, AP; Робертсон, В. (1964). Топологические векторные пространства . Издательство Кембриджского университета.
• Шефер, Гельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк: Компания Macmillan.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Двойное пространство». Математический мир .