Ковариантность и контравариантность векторов

Каким образом геометрический объект меняется при смене основы

А вектор, v , представленный в терминах

касательная основа

  е ₁ , е ₂ , е ₃ в координатные кривые ( слева ),

двойной базис, ковекторный базис или взаимный базис

  е ¹ , е ² , е ³ до координатные поверхности ( справа ),

в трехмерных общих криволинейных координатах ( q ¹ , q ² , q ³ ) — набор чисел, определяющий точку в позиционном пространстве . Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортогонален . ^[1]

В физике , особенно в полилинейной алгебре и тензорном анализе , ковариантность и контравариантность описывают, как количественное описание определенных геометрических или физических объектов меняется при смене базиса . В современной математической записи роль иногда меняется. ^[2]

Простой иллюстративный случай — это вектор . Для вектора, как только определен набор базисных векторов, компоненты этого вектора всегда будут различаться в противоположном направлении от компонентов базисных векторов. Поэтому этот вектор определяется как контравариантный тензор. Возьмем, к примеру, стандартный вектор положения. Изменяя масштаб опорных осей с метров на сантиметры (т. е. разделив масштаб опорных осей на 100, так что длина базисных векторов теперь составляет метры), компоненты измеренного вектора положения умножаются на 100. Компоненты вектора меняют масштаб обратно пропорционально изменению масштаба относительно осей отсчета, и, следовательно, вектор называется контравариантным тензором. ${\displaystyle .01}$

Напротив, ковектор , также называемый двойственным вектором , имеет компоненты, которые изменяются в зависимости от базисных векторов в соответствующем векторном пространстве. Это пример ковариантного тензора. Ковектор — это объект, который представляет собой линейную карту векторов в скаляры. На самом деле это не вектор, а объект, который живет в дуальном векторном пространстве. Хорошими примерами ковекторов являются операторы скалярного произведения, включающие векторы. Например, если — вектор, то соответствующим объектом в двойственном пространстве будет линейный оператор . Иногда компоненты ковектора называют ковариантными компонентами , хотя это потенциально может ввести в заблуждение (из-за того, что вектор имеет компоненты, которые всегда изменяются в контравариантном смысле) . Несмотря на потенциальную путаницу, именно это и будет иметься в виду, когда здесь упоминаются «ковариантные компоненты вектора». ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Градиент часто приводят в качестве примера ковектора, но это неверно. Если компоненты градиента функции выражаются через заданный базис, то эти компоненты на самом деле все равно будут изменяться противоположно компонентам базисных векторов, как можно видеть путем наблюдения (с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании ) : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\nabla f)^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{i}(\nabla f)^{i}=\mathbf {e} _{i}\delta _{j}^{i}(\nabla f)^{j}=\mathbf {e} _{i}(T)_{k}^{i}(T^{-1})_{j}^{k}(\nabla f)^{j}\ ,}$$

где - символ дельты Кронекера и представляет компоненты некоторой матрицы преобразования, соответствующей преобразованию . Как видно, какое бы преобразование ни действовало на базисные векторы, обратное преобразование должно действовать и на компоненты. ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle (T)_{k}^{i}}$ ${\displaystyle T}$

Третья концепция, связанная с ковариантностью и контравариантностью, — это инвариантность . Скаляр (также называемый тензором типа 0 или тензором ранга 0) — это объект, который не меняется при изменении базиса. Примером физической наблюдаемой , которая является скаляром, является масса частицы. Единственное скалярное значение массы не зависит от изменений базисных векторов и, следовательно, называется инвариантом . Величина вектора (например, расстояние ) является еще одним примером инварианта, поскольку она остается неизменной, даже если компоненты геометрического вектора изменяются. (Например, для вектора положения длиной в метры, если все декартовы базисные векторы изменяются с метров в длину на метры, длина вектора положения остается неизменной в метрах, хотя все компоненты вектора увеличатся в раз ). ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle .01}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 100}$

При более общих изменениях в базе:

• Вектор или касательный вектор имеет компоненты, которые изменяются при изменении базиса для компенсации. То есть матрица, преобразующая компоненты вектора, должна быть обратной матрице, преобразующей базисные векторы. Компоненты векторов (в отличие от компонентов ковекторов) называются контравариантными . В обозначениях Эйнштейна (неявное суммирование по повторяющемуся индексу) контравариантные компоненты обозначаются верхними индексами , как в

  ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}$

• Ковектор или вектор котангенса имеет компоненты, которые изменяются совместно с изменением базиса в соответствующем (начальном) векторном пространстве. То есть компоненты должны быть преобразованы той же матрицей, что и замена базисной матрицы в соответствующем (исходном) векторном пространстве. Компоненты ковекторов (в отличие от компонентов векторов) называются ковариантными . В обозначениях Эйнштейна ковариантные компоненты обозначаются нижними индексами , как в

  ${\displaystyle \mathbf {w} =w_{i}\mathbf {e} ^{i}.}$

Криволинейные системы координат , такие как цилиндрические или сферические координаты , часто используются в физических и геометрических задачах. С любой системой координат связан естественный выбор координатной базы для векторов, базирующихся в каждой точке пространства, а ковариация и контравариантность особенно важны для понимания того, как меняется координатное описание вектора при переходе от одной системы координат к другой.

Термины ковариант и контравариант были введены Джеймсом Джозефом Сильвестром в 1851 году ^{[3] [4]} в контексте теории ассоциированных алгебраических форм. Тензоры — это объекты полилинейной алгебры , которые могут иметь аспекты как ковариантности, так и контравариантности.

В лексиконе теории категорий ковариантность и контравариантность являются свойствами функторов ; к сожалению, именно объекты с нижним индексом (ковекторы) обычно имеют откаты , которые являются контравариантными, в то время как объекты (векторы) с верхним индексом вместо этого имеют pushforwards , которые являются ковариантными. Этого терминологического конфликта можно избежать, называя контравариантные функторы «кофункторами» в соответствии с терминологией «ковекторов».

Введение

В физике вектор обычно возникает в результате измерения или серии измерений и представляется в виде списка (или кортежа ) чисел, например

${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3}).}$

Числа в списке зависят от выбора системы координат . Например, если вектор представляет положение относительно наблюдателя ( вектор положения ), то система координат может быть получена из системы жестких стержней или опорных осей, вдоль которых компоненты v ₁ , v ₂ и v ₃ расположены измерено. Чтобы вектор представлял геометрический объект, должна быть возможность описать, как он выглядит в любой другой системе координат. То есть компоненты векторов будут определенным образом трансформироваться при переходе из одной системы координат в другую.

Вектор , который является примером контравариантного тензора, имеет компоненты, которые преобразуются обратно по отношению к преобразованию опорных осей (с примерами преобразований, включая вращение и расширение ). Сам вектор при этих операциях не изменяется ; вместо этого компоненты вектора изменяются таким образом, что компенсируется изменение пространственных осей. Другими словами, если бы опорные оси были повернуты в одном направлении, представление компонента вектора вращалось бы совершенно противоположным образом. Аналогично, если бы опорные оси были растянуты в одном направлении, компоненты вектора уменьшились бы точно компенсирующим образом. Математически, если система координат подвергается преобразованию, описываемому обратимой матрицей M , так что базисные векторы преобразуются в соответствии с , то компоненты вектора v в исходном базисе ( ) должны быть преобразованы аналогичным образом через . Компоненты вектора часто представляются в виде столбца. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$ ${\displaystyle v^{i}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}{^{\prime }}\\v^{2}{^{\prime }}\\...\\v^{n}{^{\prime }}\end{bmatrix}}=M^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\...\\v^{n}\end{bmatrix}}}$

Напротив, ковектор имеет компоненты, которые преобразуются подобно опорным осям. Он живет в двойственном векторном пространстве и представляет собой линейную карту векторов в скаляры. Оператор скалярного произведения векторов является хорошим примером ковектора. Для иллюстрации предположим, что у нас есть ковектор, определенный как , где – вектор. Компонентами этого ковектора в произвольном базисе являются базисные векторы в соответствующем векторном пространстве. (Это можно получить, заметив, что мы хотим получить правильный ответ для операции скалярного произведения при умножении на произвольный вектор с компонентами ). Ковариацию этих компонентов ковектора затем легко увидеть, заметив, что если преобразование, описываемое обратимой матрицей M , будет применено к базисным векторам в соответствующем векторном пространстве, то компоненты ковектора будут трансформироваться с той же матрицей а именно, . Компоненты ковектора часто изображают расположенными в ряд. ${\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\\...\\w^{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}^{\prime }&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}^{\prime }&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$

Определение

Ковариантные и контравариантные компоненты вектора, когда базис неортогонален.

Общая формулировка ковариации и контравариации относится к тому, как компоненты координатного вектора преобразуются при изменении базиса ( пассивное преобразование ). Таким образом, пусть V — векторное пространство размерности n над полем скаляров S , и пусть каждый из f = ( X ₁ ,..., X _n ) и f ′ = ( Y ₁ , ..., Y _n ) будет основе В. _ _ _ ^{[примечание 1]} Кроме того, пусть замена базиса с f на f ′ задается формулой

для некоторой обратимой матрицы A размера n × n с элементами . Здесь каждый вектор Y _j базиса f ′ представляет собой линейную комбинацию векторов X _i базиса f , так что ${\displaystyle a_{j}^{i}}$

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i}.}$

Контравариантное преобразование

Вектор в V однозначно выражается как линейная комбинация элементов базиса f как ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{i}}$

где v ⁱ [ f ] — элементы поля S , известные как компоненты v в базисе f . Обозначим вектор-столбец компонентов v через v [ f ]:

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}$

так что ( 2 ) можно переписать как матричное произведение

${\displaystyle v=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Вектор v также может быть выражен через базис f , так что

${\displaystyle v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}$

Однако, поскольку сам вектор v инвариантен относительно выбора базиса,

${\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}$

Инвариантность v в сочетании с соотношением ( 1 ) между f и f ′ означает, что

${\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=\mathbf {f} A\,\mathbf {v} [\mathbf {f} A],}$

давая правило преобразования

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]=\mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Что касается компонентов,

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[\mathbf {f} ]}$

где коэффициенты являются элементами обратной матрицы A . ${\displaystyle {\tilde {a}}_{j}^{i}}$

Поскольку компоненты вектора v преобразуются вместе с обратной матрицей A , говорят, что эти компоненты преобразуются контравариантно при изменении базиса.

То, как A связывает две пары, показано стрелкой на следующей неформальной диаграмме. Разворот стрелки указывает на контрвариантное изменение:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\v[\mathbf {f} ]&\longleftarrow v[\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}$

Ковариантное преобразование

Линейный функционал α на V однозначно выражается через свои компоненты (элементы из S ) в базисе f как

${\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[\mathbf {f} ],\quad i=1,2,\dots ,n.}$

Эти компоненты представляют собой действие α на базисные векторы X _i базиса f .

При смене базиса с f на f ′ (через 1 ) компоненты преобразуются так, что

Обозначим вектор-строку компонентов α через α [ f ]:

${\displaystyle \mathbf {\alpha } [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\alpha _{1}[\mathbf {f} ],\alpha _{2}[\mathbf {f} ],\dots ,\alpha _{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}$

так что ( 3 ) можно переписать как матричное произведение

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A.}$

Поскольку компоненты линейного функционала α преобразуются вместе с матрицей A , говорят, что эти компоненты преобразуются ковариантно при изменении базиса.

То, как A связывает две пары, показано стрелкой на следующей неформальной диаграмме. Указана ковариантная связь, поскольку стрелки идут в одном направлении:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\\alpha [\mathbf {f} ]&\longrightarrow \alpha [\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}$

Если бы вместо этого использовалось представление вектора-столбца, закон преобразования был бы транспонированием .

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} A]=A^{\mathrm {T} }\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} ].}$

Координаты

Выбор базиса f в векторном пространстве V однозначно определяет набор координатных функций на V с помощью

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} ](v)=v^{i}[\mathbf {f} ].}$

Таким образом, координаты на V контравариантны в том смысле, что

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ].}$

И наоборот, система из n величин v ⁱ , которые преобразуются подобно координатам x ⁱ на V , определяет контравариантный вектор (или просто вектор). Тогда система из n величин, преобразующихся противоположно координатам, представляет собой ковариантный вектор (или ковектор).

Эта формулировка контравариантности и ковариантности часто более естественна в приложениях, в которых существует координатное пространство ( многообразие ), на котором векторы живут как касательные векторы или коткасательные векторы . Учитывая локальную систему координат x ⁱ на многообразии, опорными осями для системы координат являются векторные поля

${\displaystyle X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}.}$

Это приводит к появлению кадра f = ( X ₁ , ..., X _n ) в каждой точке координатного пятна.

Если y ⁱ — другая система координат и

${\displaystyle Y_{1}={\frac {\partial }{\partial y^{1}}},\dots ,Y_{n}={\frac {\partial }{\partial y^{n}}},}$

тогда кадр f' связан с кадром f обратной матрицей Якоби координатного перехода:

${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} J^{-1},\quad J=\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i,j=1}^{n}.}$

Или, в индексах,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

Касательный вектор по определению является вектором, который представляет собой линейную комбинацию частичных координат . Таким образом, касательный вектор определяется формулой ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Такой вектор контравариантен относительно смены системы отсчета. При изменении системы координат

${\displaystyle \mathbf {v} \left[\mathbf {f} '\right]=\mathbf {v} \left[\mathbf {f} J^{-1}\right]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Следовательно, компоненты касательного вектора преобразуются через

${\displaystyle v^{i}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ].}$

Соответственно, система из n величин vi ^, зависящих от координат, которые преобразуются таким образом при переходе из одной системы координат в другую, называется контравариантным вектором.

Ковариантная и контравариантная компоненты вектора с метрикой

Контравариантные компоненты вектора получаются проецированием на оси координат. Ковариантные компоненты получаются проецированием на нормали к координатным гиперплоскостям.

В конечномерном векторном пространстве V над полем K с симметричной билинейной формой g  : V × V → K (которую можно назвать метрическим тензором ) существует небольшое различие между ковариантными и контравариантными векторами, поскольку билинейная форма позволяет идентифицировать ковекторы с векторами. То есть вектор v однозначно определяет ковектор α через

${\displaystyle \alpha (w)=g(v,w)}$

для всех векторов w . И наоборот, каждый ковектор α определяет уникальный вектор v по этому уравнению. Из-за такого отождествления векторов с ковекторами можно говорить о ковариантных компонентах или контравариантных компонентах вектора, то есть они являются просто представлениями одного и того же вектора с использованием взаимного базиса .

Учитывая базис f = ( X ₁ , ..., X _n ) V , существует уникальный взаимный базис f # ⁼ ( Y ¹ , ..., Y ⁿ ) V , определяемый требованием, что

${\displaystyle Y^{i}(X_{j})=\delta _{j}^{i},}$

дельта Кронекера . В терминах этих базисов любой вектор v можно записать двумя способами:

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]\\&=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}$

Компоненты v ⁱ [ f ] являются контравариантными компонентами вектора v в базисе f , а компоненты vi _[ f ] являются ковариантными компонентами вектора v в базисе f . Терминология оправдана, поскольку при изменении базиса

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ],\quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].}$

Евклидова плоскость

В евклидовой плоскости скалярное произведение позволяет идентифицировать векторы с ковекторами. Если — базис, то двойственный базис удовлетворяет ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=1,&\quad \mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=0\\\mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{1}=0,&\quad \mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=1.\end{aligned}}}$

_Таким образом , e1 и e2 _{перпендикулярны} друг другу, как ^и e2 и e1 , а _длины e1 ^и e2 ^{нормализованы относительно} e1 и e2 _{соответственно} .

Пример

Например, в ^[5] предположим, что нам дан базис e1 _, e2 , состоящий из пары векторов, образующих угол 45° друг с другом, такой, что _{e1 имеет длину} 2 , а e2 имеет длину 1. Тогда двойственный вектор базисные векторы задаются следующим образом:

• e ² является результатом поворота e ₁ на угол 90° (где смысл измеряется путем предположения, что пара e ₁ , e ₂ положительно ориентирована), а затем изменения масштаба так, чтобы выполнялось e ² ⋅ e ₂ = 1 .
• e ¹ является результатом поворота e ₂ на угол 90° и последующего изменения масштаба так, чтобы выполнялось e ¹ ⋅ e ₁ = 1 .

Применяя эти правила, находим

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{2}}$

и

${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}.}$

Таким образом, изменение базисной матрицы при переходе от исходного базиса к взаимному базису равно

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}},}$

с

${\displaystyle [\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]=[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}.}$

Например, вектор

${\displaystyle v={\frac {3}{2}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}}$

вектор с контравариантными компонентами

${\displaystyle v^{1}={\frac {3}{2}},\quad v^{2}=2.}$

Ковариантные компоненты получаются путем приравнивания двух выражений для вектора v :

${\displaystyle v=v_{1}\mathbf {e} ^{1}+v_{2}\mathbf {e} ^{2}=v^{1}\mathbf {e} _{1}+v^{2}\mathbf {e} _{2}}$

так

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}&=R^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}4&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}6+2{\sqrt {2}}\\2+{\frac {3}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.}$

Трехмерное евклидово пространство

В трехмерном евклидовом пространстве можно также явно определить двойственный базис к заданному набору базисных векторов e ₁ , e ₂ , e ₃ из E ₃ , которые не обязательно считаются ортогональными или имеют единичную норму. Двойные базисные векторы:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})}};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})}};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}}.}$

Даже если e _i и e ⁱ не ортонормированы , они все равно взаимно обратны:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i},}$

Тогда контравариантные компоненты любого вектора v могут быть получены скалярным произведением v с двойственными базисными векторами:

${\displaystyle q^{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad q^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad q^{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{3}.}$

Аналогично, ковариантные компоненты v могут быть получены из скалярного произведения v с базисными векторами, а именно.

${\displaystyle q_{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad q_{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad q_{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{3}.}$

Тогда v можно выразить двумя (взаимными) способами, а именно.

${\displaystyle \mathbf {v} =q^{i}\mathbf {e} _{i}=q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}.}$

или

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}}$

Объединив приведенные выше соотношения, имеем

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}}$

и мы можем конвертировать между базисом и двойным базисом с помощью

${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})q^{j}}$

и

${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})q_{j}.}$

Если базисные векторы ортонормированы , то они такие же, как и двойственные базисные векторы.

Общие евклидовы пространства

В более общем смысле, в n -мерном евклидовом пространстве V , если базис

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},}$

обратная основа определяется выражением (двойные индексы суммируются),

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$

где коэффициенты g ^ij являются элементами обратной матрицы

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$

Действительно, тогда мы имеем

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$

Ковариантные и контравариантные компоненты любого вектора

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q^{i}\mathbf {e} _{i}\,}$

связаны, как указано выше, соотношением

${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=q^{j}g_{ji}}$

и

${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=q_{j}g^{ji}.}$

Неофициальное использование

В области физики прилагательное ковариант часто неофициально используется как синоним инварианта. Например, уравнение Шредингера не сохраняет свою записанную форму при преобразованиях координат специальной теории относительности . Таким образом, физик мог бы сказать, что уравнение Шредингера не является ковариантным . Напротив, уравнение Клейна-Гордона и уравнение Дирака сохраняют свою письменную форму при этих преобразованиях координат. Таким образом, физик мог бы сказать, что эти уравнения ковариантны .

Несмотря на такое использование слова «ковариант», точнее сказать, что уравнения Клейна – Гордона и Дирака инвариантны, а уравнение Шредингера не инвариантно. Дополнительно, чтобы устранить неоднозначность, следует указать преобразование, с помощью которого оценивается инвариантность.

Поскольку компоненты векторов контравариантны, а компоненты ковекторов ковариантны, сами векторы часто называют контравариантными, а ковекторы - ковариантными.

Использование в тензорном анализе

Различие между ковариацией и контравариацией особенно важно для вычислений с тензорами , которые часто имеют смешанную дисперсию . Это означает, что они имеют как ковариантные, так и контравариантные компоненты или как векторные, так и ковекторные компоненты. Валентность тензора — это количество вариантных и ковариантных членов, а в обозначениях Эйнштейна ковариантные компоненты имеют нижние индексы, а контравариантные компоненты — верхние индексы. Двойственность между ковариантностью и контравариантностью возникает всякий раз, когда векторная или тензорная величина представлена ​​своими компонентами, хотя современная дифференциальная геометрия использует более сложные безиндексные методы для представления тензоров .

В тензорном анализе ковариантный вектор изменяется более или менее обратно пропорционально соответствующему контравариантному вектору . Выражения для длин, площадей и объемов объектов в векторном пространстве затем могут быть заданы через тензоры с ковариантными и контравариантными индексами. При простом расширении и сжатии координат взаимность точная; при аффинных преобразованиях компоненты вектора смешиваются при переходе от ковариантного к контравариантному выражению.

На многообразии тензорное поле обычно имеет несколько верхних и нижних индексов, где широко используется обозначение Эйнштейна. Когда многообразие снабжено метрикой , ковариантные и контравариантные индексы становятся очень тесно связанными друг с другом. Контравариантные индексы можно превратить в ковариантные индексы, сжимая метрический тензор. Обратное возможно путем сжатия (матрицы), обратной метрическому тензору. Заметим, что вообще такого отношения не существует в пространствах, не наделенных метрическим тензором. Более того, с более абстрактной точки зрения, тензор просто «здесь», а его компоненты любого типа являются лишь вычислительными артефактами, значения которых зависят от выбранных координат.

Объяснение с геометрической точки зрения состоит в том, что общий тензор будет иметь контравариантные индексы, а также ковариантные индексы, поскольку у него есть части, которые находятся как в касательном, так и в кокасательном расслоении .

Контравариантный вектор — это вектор, который преобразуется как , где координаты частицы в ее собственный момент времени . Ковариантный вектор — это тот, который преобразуется как , где — скалярное поле. ${\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$ ${\displaystyle x^{\mu }\!}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Алгебра и геометрия

В теории категорий существуют ковариантные функторы и контравариантные функторы . Соответствие двойственного пространства векторному пространству является стандартным примером контравариантного функтора. Некоторые конструкции полилинейной алгебры имеют «смешанную» дисперсию, что не позволяет им быть функторами.

В дифференциальной геометрии компоненты вектора относительно базиса касательного расслоения являются ковариантными, если они изменяются с помощью того же линейного преобразования, что и изменение базиса. Они контравариантны, если изменяются в результате обратного преобразования. Иногда это становится источником путаницы по двум различным, но связанным между собой причинам. Во-первых, векторы, компоненты которых являются ковариантными (называемые ковекторами или 1-формами ), на самом деле возвращаются назад под действием гладких функций, а это означает, что операция, присваивающая пространство ковекторов гладкому многообразию, на самом деле является контравариантным функтором. Аналогично, векторы, компоненты которых являются контравариантными, продвигаются вперед при гладких отображениях, поэтому операция присвоения пространства (контравариантных) векторов гладкому многообразию является ковариантным функтором. Во-вторых, в классическом подходе к дифференциальной геометрии наиболее примитивным объектом являются не базы касательного расслоения, а изменения в системе координат. Векторы с контравариантными компонентами преобразуются так же, как и изменения координат (поскольку они фактически изменяются противоположно индуцированному изменению базиса). Аналогично, векторы с ковариантными компонентами трансформируются противоположным образом по мере изменения координат.

Смотрите также

• Активная и пассивная трансформация
• Смешанный тензор
• Двухточечный тензор — обобщение, позволяющее индексам ссылаться на несколько векторных баз.

Примечания

1. Базис f здесь можно с успехом рассматривать как линейный изоморфизм из R ⁿ в V . Если рассматривать f как вектор-строку, элементы которого являются элементами базиса, тогда соответствующий линейный изоморфизм будет равен ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} \mathbf {x} .}$

Цитаты

1. Миснер, К.; Торн, Канзас; Уилер, Дж. А. (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0.
2. Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: введение. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 42. ИСБН 978-1-107-60260-1. ОСЛК  739094283.
3. Сильвестр, Джей-Джей (1851). «К общей теории ассоциированных алгебраических форм». Кембриджский и Дублинский математический журнал . Том. 6. С. 289–293.
4. Сильвестр, JJ University Press. Сборник математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра . Том. 3, 1870–1883. ISBN 978-1107661431. OCLC  758983870.
5. Боуэн, Рэй; Ван, К.-К. (2008) [1976]. «§3.14 Взаимная основа и изменение основы». Введение в векторы и тензоры . Дувр. стр. 78, 79, 81. ISBN. 9780486469140.

Рекомендации

• Куссе, Брюс Р.; Вествиг, Эрик А. (2010), Математическая физика: прикладная математика для ученых и инженеров (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-3-527-61814-9.
• Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ханс Дж. (2005), Математические методы для физиков (6-е изд.), Harcourt, ISBN 0-12-059876-0.
• Додсон, CTJ; Постон, Т. (1991), Тензорная геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 130 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3-540-52018-4, МР  1223091.
• Греуб, Вернер Хильдберт (1967), Полилинейная алгебра , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer, ISBN 9780387038278, МР  0224623.
• Штернберг, Шломо (1983), Лекции по дифференциальной геометрии , Челси, ISBN 978-0-8284-0316-0.
• Сильвестр, Дж. Дж. (1853), «О теории сизигетических отношений двух рациональных интегральных функций, включающая приложение к теории функций Штурма и теории наибольшей алгебраической общей меры», Философские труды Лондонского королевского общества , 143 : 407–548, номер документа : 10.1098/rstl.1853.0018 , JSTOR  108572..

Внешние ссылки

• «Ковариантный тензор», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Контравариантный тензор», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Ковариантный тензор». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Контравариантный тензор». Математический мир .
• Инвариантность, контравариантность и ковариантность
• Даллемонд, Кес; Петерс, Каспер (2010). «Введение в тензорное исчисление» (PDF) .