Метрический тензор

В математической области дифференциальной геометрии метрический тензор (или просто метрика ) — это дополнительная структура на многообразии $М$ (например, на поверхности ), которая позволяет определять расстояния и углы, точно так же, как скалярное произведение в евклидовом пространстве позволяет определять расстояния и углы. углы там. Точнее, метрический тензор в точке $p$ точки $M$ — это билинейная форма , определенная в касательном пространстве в точке $p$ (то есть билинейная функция , которая отображает пары касательных векторов в действительные числа ), а метрический тензор на $M$ состоит из метрический тензор в каждой точке $p$ из $M$ , который плавно меняется с $p$ .

Метрический тензор $g$ является положительно определенным, если $g (v, v) > 0$ для каждого ненулевого вектора $v$ . Многообразие, снабженное положительно определенным метрическим тензором, называется римановым многообразием . Такой метрический тензор можно рассматривать как задающий бесконечно малое расстояние на многообразии. На римановом многообразии $M$ длина гладкой кривой между двумя точками $p$ и $q$ может быть определена путем интегрирования, а расстояние между $p$ и $q$ может быть определено как нижняя грань длин всех таких кривых; это делает $M$ метрическим пространством . И наоборот, сам метрический тензор является производной функции расстояния (взятой подходящим образом). ^{[ нужна цитата ]}

Хотя понятие метрического тензора было в некотором смысле известно математикам, таким как Гаусс , с начала 19 века, только в начале 20 века его свойства как тензора были поняты, в частности, Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио . Леви-Чивита , который впервые систематизировал понятие тензора. Метрический тензор является примером тензорного поля .

Компоненты метрического тензора в координатном базисе принимают вид симметричной матрицы , элементы которой ковариантно преобразуются при изменении системы координат. Таким образом, метрический тензор является ковариантным симметричным тензором . С точки зрения , не зависящей от координат , метрическое тензорное поле определяется как невырожденная симметричная билинейная форма в каждом касательном пространстве, которая плавно меняется от точки к точке.

Введение

Карл Фридрих Гаусс в своей книге «Общие исследования криволинейных поверхностей » 1827 года рассматривал поверхность параметрически , с декартовыми координатами $x$ , $y$ и $z$ точек на поверхности, зависящими от двух вспомогательных переменных $u$ и $v$ . Таким образом, параметрическая поверхность представляет собой (в сегодняшних терминах) векторную функцию.

{\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\ ,v){\bigr )}

зависит от упорядоченной пары действительных переменных $(u, v)$ и определяется в открытом множестве $D$ в $uv$ -плоскости. Одной из главных целей исследований Гаусса было выведение тех особенностей поверхности, которые можно было бы описать функцией, которая осталась бы неизменной, если бы поверхность претерпела трансформацию в пространстве (например, изгиб поверхности без ее растяжения) или изменение особая параметрическая форма одной и той же геометрической поверхности.

Одной из таких естественных инвариантных величин является длина кривой, проведенной вдоль поверхности. Другой — это угол между парой кривых, проведенных вдоль поверхности и встречающихся в общей точке. Третья такая величина — это площадь куска поверхности. Изучение этих инвариантов поверхности привело Гаусса к введению предшественника современного понятия метрического тензора.

Метрический тензор приведен в описании ниже; E, F и G в матрице могут содержать любое число, если матрица положительно определена. ${\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

Длина дуги

Если считать, что переменные $u$ и $v$ зависят от третьей переменной $t$ , принимающей значения в интервале $[a, b]$ , то $r \to (u (t), v (t))$ будет отслеживать параметрическую кривую в параметрическом поверхность $М.$ _ Длина дуги этой кривой определяется интегралом

{\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v( t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_ {u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_ {v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{ выровнено}}

где представляет собой евклидову норму . Здесь применено цепное правило , а индексы обозначают частные производные : $\left\|\cdot \right\|$

{\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.

Подынтегральная функция — это ограничение ^[1] на кривую квадратного корня из ( квадратичного ) дифференциала

где

Величина $ds$ в ( 1 $)$ называется линейным элементом , а ds2 $—$ первой фундаментальной формой $M.$ Интуитивно понятно, что он представляет собой главную часть квадрата смещения, которому подвергается $r \to (u, v)$ , когда $u$ увеличивается на единицы $du$ , а $v$ увеличивается на единицы $dv$ .

Используя матричную запись, первая фундаментальная форма становится

ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end {bmatrix}}

Преобразования координат

Предположим теперь, что выбрана другая параметризация, позволяющая $u$ и $v$ зависеть от другой пары переменных $u'$ и $v'$ . Тогда аналог ( 2 ) для новых переменных будет

Цепное правило связывает $E'$ , $F'$ и $G'$ с $E$ , $F$ и $G$ через матричное уравнение

где верхний индекс T обозначает транспонирование матрицы . Таким образом , матрица с расположенными таким образом коэффициентами $E$ , $F$ и $G преобразуется по$ матрице Якобиана изменения координат

J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}} & {\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.

Матрица, которая преобразуется таким образом, является разновидностью того, что называется тензором . Матрица

{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}

с законом преобразования ( 3 ) известен как метрический тензор поверхности.

Инвариантность длины дуги при преобразованиях координат

Риччи-Курбастро и Леви-Чивита (1900) впервые заметили значение системы коэффициентов $E$ , $F$ и $G$ , которая преобразуется таким образом при переходе от одной системы координат к другой. В результате первая фундаментальная форма ( 1 ) инвариантна относительно изменений системы координат, и это следует исключительно из свойств преобразования $E$ , $F$ и $G.$ Действительно, по правилу цепочки

{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}

так что

{\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}

Длина и угол

Другая интерпретация метрического тензора, также рассмотренная Гауссом, заключается в том, что он позволяет вычислить длину касательных векторов к поверхности, а также угол между двумя касательными векторами. Говоря современным языком, метрический тензор позволяет вычислять скалярное произведение (неевклидова геометрия) касательных векторов независимо от параметрического описания поверхности. Любой касательный вектор в точке параметрической поверхности $M$ можно записать в виде

\mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}

для подходящих действительных чисел $p 1$ и $p 2$ . Если даны два касательных вектора:

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}

затем, используя билинейность скалярного произведения,

{\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}

Это $, очевидно$ $,$ функция четырех $переменных$ $a1$ , $b1$ , $a2$ и $b2 .$ Однако более выгодно рассматривать ее как функцию, которая принимает пару аргументов $a = [a 1 a 2]$ и $b = [b 1 b 2]$ , которые являются векторами в $uv$ -плоскости. То есть положить

g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.

Это симметричная функция относительно $a$ и $b$ , что означает, что

g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.

Он также билинейен , что означает, что он линейен по каждой переменной $a$ и $b$ отдельно. То есть,

{\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}

для любых векторов $a$ , $a'$ , $b$ и $b'$ в плоскости $uv$ и любых действительных чисел $µ$ и $λ$ .

В частности, длина касательного вектора $a$ определяется выражением

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}

а угол $θ$ между двумя векторами $a$ и $b$ вычисляется по формуле

\cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.

Область

Площадь поверхности — еще одна числовая величина, которая должна зависеть только от самой поверхности, а не от того, как она параметризована. Если поверхность $M$ параметризована функцией $r \to (u, v)$ в области $D$ в $uv$ -плоскости, то площадь поверхности $M$ определяется интегралом

\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv

где $\times$ обозначает векторное произведение , а абсолютное значение обозначает длину вектора в евклидовом пространстве. По тождеству Лагранжа для векторного произведения интеграл можно записать

{\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}

где $det$ – определитель .

Определение

Пусть $M$ — гладкое многообразие размерности $n$ ; например, поверхность (в случае $n = 2$ ) или гиперповерхность в декартовом пространстве . В каждой точке $p$ $\in$ $M$ существует векторное пространство $T$ $p$ $M$ , называемое касательным пространством , состоящее из всех касательных векторов к многообразию в точке $p$ . Метрический тензор в $точке p$ — это функция $g$ $p$ $($ $X$ $p$ $,$ $Y$ $p$ $)$ , которая принимает в качестве входных данных пару касательных векторов $X$ $p$ и $Y$ $p$ в точке $p$ и выдает на выходе действительное число ( скаляр ), так что следующее условия выполнены: $\mathbb {R} ^{n+1}$

$g p$ билинейна. _ Функция двух векторных аргументов называется билинейной, если она линейна отдельно по каждому аргументу. Таким образом, если $Up$ , $Vp$ , $Yp$ — три касательных вектора в точке $p$ $,$ $а$ a $и$ b $—$ $действительные$ числа, то ${\begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p})\,,\quad {\text{and}}\\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p})\,.\end{aligned}}$
$g p$ симметричен. _ ^[2] Функция двух векторных аргументов является симметричной при условии, что для всех векторов $X p$ и $Y p$ , $g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p})\,.$
$g p$ невырожден. _ Билинейная функция является невырожденной, если для каждого касательного вектора $X p \neq 0$ функция $Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})$ полученное при сохранении постоянного значения $X p$ и изменении $Y p$ , не является тождественным нулем . То есть для каждого $X p \neq 0$ существует $Y p$ такой, что $g p (X p, Y p) \neq 0$ .

Метрическое тензорное поле $g$ на $M$ сопоставляет каждой точке $p$ из $M$ метрический тензор $g p$ в касательном пространстве в точке $p$ таким образом, который плавно меняется с $p$ . Точнее, для любого открытого подмножества $U$ многообразия $M$ и любых (гладких) векторных полей $X$ и $Y$ на $U$ действительная функция

g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})

p

Компоненты метрики

Компоненты метрики в любом базисе векторных полей или системе координат $f = (X 1, ..., X n)$ определяются формулой ^[3]

n $2$ функции $gij [f]$ образуют элементы $симметричной$ матрицы $размера$ $n \times n$ G $[$ $f$ $]$ $.$ Если

v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}

— два вектора в $точке p \in U$ , то значение метрики, примененной к $v$ и $w$ , определяется коэффициентами ( 4 ) по билинейности:

g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]

Обозначая матрицу $(g ij [f] )$ через $G [f]$ и располагая компоненты векторов $v$ и $w$ в векторы-столбцы $v [f]$ и $w [f]$ ,

g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]

где $v [f]$ ^T и $w [f]$ ^T обозначают транспонирование векторов $v [f]$ и $w [f]$ соответственно. При изменении основы формы

\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A

для некоторой обратимой матрицы размера $n \times n$ $A = (a ij)$ матрица компонентов метрики также меняется на $A.$ То есть,

G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A

или, с точки зрения элементов этой матрицы,

g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.

По этой причине говорят, что система величин $gij$ $[f] преобразуется$ ковариантно относительно изменений в системе отсчета $f$ .

Метрика в координатах

Система $n$ вещественных функций $(x 1, ..., x n)$ , задающая локальную систему координат на открытом множестве $U$ в $M$ , определяет базис векторных полей на $U$

\mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.

Метрика $g$ имеет компоненты относительно этой системы координат, заданные выражением

g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.

Относительно новой системы локальных координат, скажем

y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n

метрический тензор будет определять другую матрицу коэффициентов,

g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).

Эта новая система функций связана с исходной $g ij (f)$ посредством цепного правила

{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}

так что

g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.

Или, используя матрицы $G [f] = (g ij [f])$ и $G [f'] = (g ij [f'])$ ,

G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}

где $Dy$ обозначает матрицу Якобиана замены координат.

Подпись метрики

С любым метрическим тензором связана квадратичная форма , определяемая в каждом касательном пространстве формулой

q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.

Если $q m$ положителен для всех ненулевых $X m$ , то метрика положительно определена в точке $m$ . Если метрика положительно определена для каждого $m \in M$ , то $g$ называется римановой метрикой . В более общем смысле, если квадратичные формы $qm$ имеют постоянную сигнатуру, $независимую$ от $m$ , то сигнатура $g$ является этой сигнатурой, и $g$ называется псевдоримановой метрикой . ^[4] Если $M$ связен $,$ то сигнатура $qm$ не зависит от $m$ . ^[5]

По закону инерции Сильвестра базис касательных векторов $X i$ можно выбрать локально так, чтобы квадратичная форма диагонализовалась следующим образом:

q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}

для некоторого $p$ между 1 и $n$ . Любые два таких выражения $q$ (в одной и той же точке $m$ из $M$ ) будут иметь одинаковое количество $p$ положительных знаков. Сигнатура $g$ — это пара целых чисел $(p, n - p)$ , означающая, что в любом таком выражении есть $p$ положительных знаков и $n — p$ отрицательных знаков. Эквивалентно, метрика имеет сигнатуру $(p, n - p)$ , если матрица $g ij$ метрики имеет $p$ положительных и $n - p$ отрицательных собственных значений .

Некоторые сигнатуры метрик, которые часто возникают в приложениях:

Если $g$ имеет сигнатуру $(n, 0)$ , то $g$ — риманова метрика, а $M$ называется римановым многообразием . В противном случае $g$ — псевдориманова метрика, а $M$ называется псевдоримановым многообразием (также используется термин полуриманово).
Если $M$ четырехмерна с сигнатурой $(1, 3)$ или $(3, 1)$ , то метрика называется лоренцевой . В более общем смысле, метрический тензор в размерности $n$ , отличной от 4, сигнатуры $(1, n - 1)$ или $(n - 1, 1)$ иногда также называют лоренцевым.
Если $M$ 2 $n$ $-мерен$ и $g$ имеет сигнатуру $(n, n)$ , то метрика называется ультрагиперболической.

Обратная метрика

Пусть $f = (X 1, ..., X n)$ — базис векторных полей, и, как указано выше, пусть $G [f]$ — матрица коэффициентов

g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.

Можно рассмотреть обратную матрицу $G [f] -1$ , которая отождествляется с обратной метрикой (или сопряженной или двойственной метрикой ). Обратная метрика удовлетворяет закону преобразования, когда кадр $f$ заменяется матрицей $A$ через

Обратная метрика преобразуется контравариантно или относительно обратного изменения базисной матрицы $A.$ В то время как сама метрика позволяет измерить длину векторных полей (или угол между ними), обратная метрика обеспечивает средство измерения длины ковекторных полей (или угла между ними); т. е. поля линейных функционалов .

Чтобы убедиться в этом, предположим, что $α$ — ковекторное поле. То есть для каждой точки $p$ $α$ определяет функцию $α p$ , определенную на касательных векторах в точке $p , так что для всех касательных векторов$ $X$ $p$ и $Y$ $p$ и всех действительных чисел $a$ и $b$ выполняется следующее условие линейности :

\alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.

При изменении $p предполагается, что$ $α$ является гладкой функцией в том смысле, что

p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)

является гладкой функцией от $p$ для любого гладкого векторного поля $X$ .

Любое ковекторное поле $α$ имеет компоненты в базисе векторных полей $f$ . Они определяются

\alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.

Обозначим вектор-строку этих компонентов через

\alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.

При замене $f$ на матрицу $A$ $α [f]$ изменяется по правилу

\alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.

То есть вектор-строка компонентов $α [f]$ преобразуется как ковариантный вектор.

Для пары $α$ и $β$ ковекторных полей определите обратную метрику, применяемую к этим двум ковекторам, формулой

Полученное определение, хотя и включает выбор базиса $f$ , на самом деле не зависит от $f$ существенным образом. Действительно, замена базиса на $f A$ дает

{\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}

Таким образом, на правую часть уравнения ( 6 ) не влияет замена базиса $f$ на любой другой базис $f A.$ Следовательно, уравнению можно придать смысл независимо от выбора базиса. Элементы матрицы $G [f]$ обозначаются $g ij$ , где индексы $i$ и $j$ повышены для обозначения закона преобразования ( 5 ).

Повышение и понижение индексов

В базисе векторных полей $f = (X 1, ..., X n)$ любое гладкое касательное векторное поле $X$ можно записать в виде

для некоторых однозначно определенных гладких функций $v 1, ..., v n$ . При замене базиса $f$ неособой матрицей $A$ коэффициенты $vi изменяются$ таким образом, что уравнение ( 7 ) остается верным. То есть,

X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.

Следовательно, $v [ж А] = А -1 v [ж]$ . Другими словами, компоненты вектора преобразуются контравариантно (т. е. обратно или наоборот) при замене базиса на неособую матрицу $A$ . Контравариантность компонентов $v [f]$ $условно$ обозначается размещением индексов $vi [f]$ в верхней позиции.

Фрейм также позволяет выражать ковекторы через их компоненты. Для базиса векторных полей $f = (X 1, ..., X n)$ определите двойственный базис как линейные функционалы $(θ 1 [f], ..., θ n [f])$ такие, что

\theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}

То есть $θ i [f](X j) = δ j i$ , дельта Кронекера . Позволять

\theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.

При замене базиса $f \mapsto f A$ для неособой матрицы $A$ $θ [f]$ преобразуется через

\theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].

Любой линейный функционал $α$ на касательных векторах можно разложить в терминах двойственного базиса $θ$

где $a [f]$ обозначает вектор-строку $[a 1 [f] ... a n [f] ]$ . Компоненты $ai преобразуются$ $,$ когда базис $f$ заменяется на $fA$ таким образом, что уравнение ( $8$ ) продолжает выполняться. То есть,

\alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]

откуда, поскольку $θ [f A] = A -1 θ [f]$ , следует, что $a [f A] = a [f] A$ . То есть компоненты $преобразуются$ ковариантно (с помощью матрицы $A$ , а не с помощью ее обратной). Ковариация компонентов $a [f]$ условно обозначается размещением индексов $a i [f]$ в нижней позиции.

Теперь метрический тензор дает возможность идентифицировать векторы и ковекторы следующим образом. При фиксированном $X p$ функция

g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})

касательного вектора $Y p$ определяет линейный функционал в касательном пространстве в точке $p$ . Эта операция берет вектор $X p$ в точке $p$ и создает ковектор $g p (X p, -)$ . В базисе векторных полей $f$ , если векторное поле $X$ имеет компоненты $v [f]$ , то компоненты ковекторного поля $g (X, -)$ в двойственном базисе задаются элементами вектора-строки

a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].

При замене базиса $f \mapsto f A$ правая часть этого уравнения преобразуется через

v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A

так что $a [f A] = a [f] A$ : $a$ преобразуется ковариантно. Операция сопоставления (контравариантным) компонентам векторного поля $v [f] = [v 1 [f] v 2 [f] ... v n [f] ]$ ^T (ковариантным) компонентам ковекторного поля $a [ж] = [а 1 [ж] а 2 [ж] \dots а п [ж] ]$ , где

a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]

называется понижением индекса .

Для повышения индекса применяется та же конструкция, но вместо метрики используется обратная метрика. Если $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f] ... a n [f] ]$ являются компонентами ковектора в двойственном базисе $θ [f]$ , то вектор-столбец

имеет компоненты, которые преобразуются контравариантно:

v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].

Следовательно, величина $X = f v [f]$ не зависит существенным образом от выбора базиса $f$ $и, таким образом, определяет векторное поле на M$ . Операция ( 9 ), сопоставляющая (ковариантным) компонентам ковектора $a [f]$ заданные (контравариантные) компоненты вектора $v [f]$ , называется повышением индекса . В компонентах ( 9 ) есть

v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].

Индуцированная метрика

Пусть $U$ — открытое множество в $ℝ n$ , и пусть $φ$ — непрерывно дифференцируемая функция из $U$ в евклидово пространство $ℝ m$ , где $m > n$ . Отображение $φ$ называется погружением, если его дифференциал инъективен в каждой точке $U$ . Образ $φ$ называется погруженным подмногообразием . Точнее, для $m = 3$ , что означает, что окружающее евклидово пространство равно $ℝ 3$ , индуцированный метрический тензор называется первой фундаментальной формой .

Предположим, что $φ$ $—$ погружение в подмногообразие $M \subset Rm$ . Обычное евклидово скалярное произведение в $ℝ m$ — это метрика, которая, будучи ограничена векторами, касающимися $M$ , дает возможность получить скалярное произведение этих касательных векторов. Это называется индуцированной метрикой .

Предположим, что $v$ — касательный вектор в точке $U$ , скажем

v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}

где $e i$ — стандартные координатные векторы в $ℝ n$ . Когда $φ$ применяется к $U$ , вектор $v$ переходит в вектор, касательный к $M$ , заданный формулой

\varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.

(Это называется продвижением v вдоль $φ$ .) Учитывая два таких вектора, $v$ и $w , индуцированная$ $метрика$ определяется формулой

g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).

Из несложного расчета следует, что матрица индуцированной метрики в базисе координатных векторных полей $e$ имеет вид

G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )

где $Dφ$ — матрица Якобиана:

D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.

Внутренние определения метрики

Понятие метрики можно определить внутренне, используя язык расслоений и векторных расслоений . В этих терминах метрический тензор — это функция

из произведения слоев касательного расслоения M с самим собой к $R$ $, такого ,$ что ограничение $g$ на каждый слой является невырожденным билинейным отображением

g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R} .

Отображение ( 10 ) должно быть непрерывным и часто непрерывно дифференцируемым , гладким или действительно аналитическим , в зависимости от интересующего случая и от того, может ли $M$ поддерживать такую структуру.

Метрика как часть пакета

В силу $универсального$ свойства тензорного произведения любое билинейное отображение ( 10 ) естественным образом $порождает$ сечение g⊗ двойственного расслоения тензорных произведений $TM$ с самим $собой$

g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).

Сечение $g \otimes$ определяется на простых элементах $из$ $TM \otimes$ TM $формулой$

g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)

и определяется на произвольных элементах из $TM$ $\otimes TM путем$ линейного расширения до линейных комбинаций простых элементов. Исходная билинейная форма $g$ симметрична тогда и только тогда, когда

g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }

где

\tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M{\stackrel {\cong }{\to }}TM\otimes TM

это карта переплетения .

Поскольку $M$ конечномерно, существует естественный изоморфизм

(\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,

так что $g \otimes$ рассматривается также как сечение расслоения $T* M \otimes T* M$ кокасательного расслоения $T* M$ с самим собой. Поскольку $g$ симметрично как билинейное отображение, отсюда следует, что $g \otimes$ является симметричным тензором .

Метрика в векторном расслоении

В более общем смысле можно говорить о метрике в векторном расслоении . Если $E$ — векторное расслоение над многообразием $M$ , то метрика — это отображение

g:E\times _{M}E\to \mathbf {R}

из произведения слоев E на $R$ $,$ которое билинейно в каждом волокне:

g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .

Используя двойственность , как указано выше, метрика часто отождествляется с частью расслоения тензорных произведений $E * \otimes E *$ .

Касательный-кокасательный изоморфизм

Метрический тензор дает естественный изоморфизм касательного расслоения кокасательному расслоению , иногда называемый музыкальным изоморфизмом . ^[6] Этот изоморфизм получается, если для каждого касательного вектора $X p \in T p M$ ,

S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),

линейный функционал на $TpM$ $,$ который направляет $касательный$ $вектор$ $Yp$ в $точке$ $p$ к $gp$ $($ $Xp$ $,$ $Yp$ $)$ $.$ $_$ То есть, с точки зрения спаривания $[-, -]$ между $T$ $p$ $M$ и его двойственным пространством $T$ $* п М$ ,

[S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})

для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ . Отображение $S g$ является линейным преобразованием из $T p M$ в $T * п М.$ _ Из определения невырожденности следует, что ядро Sgсведено к нулю, и поэтому потеореме $о$ $ранге$ -пустоте $Sg является$ линейным изоморфизмом . Более того, $Sg$ является $симметричным$ линейным преобразованием в том смысле, что

[S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]

для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ .

Обратно, любой линейный изоморфизм $S : T p M \to T * п M$ определяет невырожденную билинейную форму на $T p M$ посредством

g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.

Эта билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда $S$ симметрична. Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между симметричными билинейными формами на $T p M$ и симметричными линейными изоморфизмами $T p M$ к двойственному $T * п М.$ _

Поскольку $p$ меняется над $M$ , $Sg$ определяет сечение расслоения $Hom$ $(TM, T* M)$ изоморфизмов векторного расслоения касательного расслоения и кокасательного расслоения. Этот участок имеет ту же гладкость, что и $g$ : он непрерывен, дифференцируем, гладок или вещественно-аналитичен в зависимости от $g$ . Отображение $S g$ , которое сопоставляет каждому векторному полю на $M$ ковекторное поле на $M$ , дает абстрактную формулировку «понижения индекса» векторного поля. Обратным к $S g$ является отображение $T* M \to TM$ , которое аналогично дает абстрактную формулировку «повышения индекса» на ковекторном поле.

Обратное $S -1 г$ определяет линейное отображение

S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M

которое неособо и симметрично в том смысле, что

\left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]

для всех ковекторов $α$ , $β$ . Такое неособое симметрическое отображение порождает (благодаря присоедине- нию тензора к рому ) отображение

\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R}

или двойным дуальным изоморфизмом сечению тензорного произведения

\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.

Длина дуги и элемент линии

Предположим, что $g$ — риманова метрика на $M.$ В локальной системе координат $x i$ , $i = 1, 2, \dots, n$ метрический тензор появляется как матрица , обозначенная здесь $G$ , элементы которой являются компонентами $g ij$ метрического тензора относительно полей координатных векторов.

Пусть $γ (t)$ — кусочно-дифференцируемая параметрическая кривая в $M$ для $a ⩽ t ⩽ b$ . Длина дуги кривой определяется выражением

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)}}\,dt\,.

В связи с этим геометрическим применением квадратичная дифференциальная форма

ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}

называется первой фундаментальной формой , связанной с метрикой, а $ds$ — линейным элементом . Когда $ds 2$ возвращается к образу кривой в $M$ , он представляет собой квадрат дифференциала относительно длины дуги.

Для псевдоримановой метрики приведенная выше формула длины не всегда определена, поскольку член под квадратным корнем может стать отрицательным. Обычно мы определяем длину кривой только тогда, когда величина под квадратным корнем всегда имеет тот или иной знак. В этом случае определите

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\right|}}\,dt\,.

Хотя в этих формулах используются координатные выражения, на самом деле они не зависят от выбранных координат; они зависят только от метрики и кривой, по которой интегрируется формула.

Энергия, вариационные принципы и геодезические

Учитывая сегмент кривой, другой часто определяемой величиной является (кинетическая) энергия кривой:

E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.

Это использование происходит из физики , в частности, из классической механики , где можно увидеть, что интеграл $E$ напрямую соответствует кинетической энергии точечной частицы, движущейся по поверхности многообразия. Так, например, в формулировке Якоби принципа Мопертюи можно увидеть, что метрический тензор соответствует тензору массы движущейся частицы.

Во многих случаях, когда для расчета требуется использовать длину, можно также выполнить аналогичный расчет с использованием энергии. Это часто приводит к более простым формулам, избегая необходимости извлечения квадратного корня. Так, например, уравнения геодезических можно получить, применяя вариационные принципы либо к длине, либо к энергии. В последнем случае уравнения геодезических, как видно, возникают из принципа наименьшего действия : они описывают движение «свободной частицы» (частицы, не испытывающей никаких сил), которая ограничена в движении по многообразию, но в остальном движется свободно. с постоянным импульсом внутри многообразия. ^[7]

Каноническая мера и форма объема

По аналогии со случаем поверхностей метрический тензор на $n$ -мерном паракомпактном многообразии $M$ порождает естественный способ измерения $n$ -мерного объема подмножеств многообразия. Полученная естественная положительная борелевская мера позволяет разработать теорию интегрирующих функций на многообразии с помощью ассоциированного интеграла Лебега .

Меру можно определить по теореме о представлении Рисса , задав положительный линейный функционал $Λ$ в пространстве $C0 (M)$ непрерывных функций на $M$ с компактным носителем $.$ Точнее, если $M$ — многообразие с (псевдо)римановым метрическим тензором $g$ , то существует единственная положительная борелевская мера $µ$ $g$ такая, что для любой координатной карты $($ $U$ $,$ $φ$ $)$

\Lambda f=\int _{U}f\,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx

f,

U.

det g

определитель

Λ

якобианской заменой переменных

C0

(M) посредством

единицы

Если $M$ также ориентировано , то из метрического тензора можно определить естественную форму объема . В положительно ориентированной системе координат $(x 1, ..., x n)$ форма объема представляется как

\omega ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}

dx i

\land

внешнее произведение дифференциальных форм

Примеры

Евклидова метрика

Самый известный пример — элементарная евклидова геометрия : двумерный евклидов метрический тензор. В обычных декартовых координатах $(x, y)$ мы можем написать

g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.

Длина кривой сводится к формуле:

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.

Евклидову метрику в некоторых других распространенных системах координат можно записать следующим образом.

Полярные координаты $(r, θ)$ :

{\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}

Так

g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}

по тригонометрическим тождествам .

В общем, в декартовой системе координат $x i$ в евклидовом пространстве частные производные $\partial/\partial x i$ ортонормированы относительно евклидовой метрики. Таким образом, метрический тензор представляет собой дельту Кронекера δ _ij в этой системе координат. Метрический тензор относительно произвольных (возможно, криволинейных) координат $q i$ имеет вид

g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.

Круглая метрика на сфере

Единичная сфера в $ℝ 3$ оснащена естественной метрикой, индуцированной из окружающей евклидовой метрики посредством процесса, объясненного в разделе индуцированной метрики. В стандартных сферических координатах $(θ, φ)$ , где $θ$ — широта , угол, измеренный от оси $z$ , и $φ$ — угол от оси $x$ в плоскости $xy$ , метрика принимает форму

g={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.

Обычно это записывается в виде

ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,.

Лоренцевы метрики из теории относительности

В плоском пространстве Минковского ( специальная теория относительности ) с координатами

r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,

метрика, в зависимости от выбора сигнатуры метрики ,

g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.

Для кривой, например, с постоянной временной координатой, формула длины с этой метрикой сводится к обычной формуле длины. Для времениподобной кривой формула длины дает собственное время вдоль кривой.

В этом случае пространственно-временной интервал записывается как

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }dr_{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\nu }\,.

Метрика Шварцшильда описывает пространство-время вокруг сферически-симметричного тела, такого как планета или черная дыра . С координатами

\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,

мы можем записать метрику как

g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,,

где $G$ (внутри матрицы) — гравитационная постоянная , а $M$ представляет собой общее содержание массы и энергии центрального объекта.

Смотрите также

Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
Алгебра Клиффорда
Многообразие Финслера
Список координатных карт
исчисление Риччи
Индикатриса Тиссо — метод визуализации метрического тензора.

Примечания

^ Точнее, подынтегральная функция — это возврат этого дифференциала к кривой.
^ В нескольких формулировках классических единых теорий поля метрический тензор допускался несимметричным; однако антисимметричная часть такого тензора не играет роли в описанных здесь контекстах, поэтому далее она рассматриваться не будет.
^ Обозначение использования квадратных скобок для обозначения основы, в которой рассчитываются компоненты, не является универсальным. Используемые здесь обозначения созданы по образцу Уэллса (1980). Обычно такая явная зависимость от базиса полностью подавляется.
^ Додсон и Постон 1991, Глава VII §3.04
^ Вон 2007, §3.4.3
^ Терминологию «музыкальный изоморфизм» см. в Gallot, Hulin & Lafontaine (2004, стр. 75). См. также Ли (1997, стр. 27–29).
^ Штернберг 1983