Толчок вперед (дифференциал)

Linear approximation of smooth maps on tangent spaces

Если карта φ переносит каждую точку многообразия M в многообразие N , то перемещение φ переносит векторы из касательного пространства в каждой точке M в касательное пространство в каждой точке N.

В дифференциальной геометрии pushforward — это линейная аппроксимация гладких отображений (формулирующих многообразие) в касательных пространствах. Предположим, что это гладкое отображение между гладкими многообразиями ; тогда дифференциал в точке , обозначенный , является, в некотором смысле , лучшим линейным приближением близкого . Его можно рассматривать как обобщение полной производной обычного исчисления. Явно , дифференциал является линейным отображением касательного пространства at в касательное пространство at , . Следовательно, его можно использовать для перемещения касательных векторов вперед к касательным векторам на . Дифференциал отображения также называется различными авторами производной или полной производной от . ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Мотивация

Позвольте быть гладким отображением открытого подмножества в открытое подмножество . Для любой точки в якобиан at ( относительно стандартных координат) является матричным представлением полной производной at , которая является линейным отображением ${\displaystyle \varphi :U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$

между их касательными пространствами. Обратите внимание, что касательные пространства изоморфны и соответственно. Продвижение обобщает эту конструкцию на случай, когда функция является гладкой между любыми гладкими многообразиями и . ${\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Дифференциал гладкого отображения

Пусть – гладкое отображение гладких многообразий. Учитывая, что дифференциал at является линейным отображением ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

из касательного пространства at в касательное пространство at. Изображение касательного вектора под иногда называют проталкиванием вперед . Точное определение этого проталкивания зависит от определения, которое используется для касательных векторов (различные определения см. в касательном пространстве ). . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x).}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}X}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Если касательные векторы определены как классы эквивалентности кривых, для которых дифференциал определяется выражением ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$

${\displaystyle d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Здесь – кривая в и – касательный вектор к кривой в. Другими словами, сдвиг вперед касательного вектора к кривой в – это касательный вектор к кривой в точке. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$

Альтернативно, если касательные векторы определяются как производные, действующие на гладкие вещественные функции, то дифференциал определяется выражением

${\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),}$

для произвольной функции и произвольного дифференцирования в точке ( дифференцирование определяется как линейное отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница , см.: определение касательного пространства через дифференцирования ). По определению, выдвижение находится в и, следовательно, само по себе является производным, . ${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }$

После выбора двух диаграмм вокруг и вокруг локально определяется гладкая карта между открытыми наборами и , и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x),}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

в обозначениях суммирования Эйнштейна , где частные производные вычисляются в точке, соответствующей на данной диаграмме. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

Расширение по линейности дает следующую матрицу

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

Таким образом, дифференциал представляет собой линейное преобразование между касательными пространствами, связанное с гладким отображением в каждой точке. Поэтому в некоторых выбранных локальных координатах оно представляется матрицей Якоби соответствующего гладкого отображения от до . В общем, дифференциал не обязательно должен быть обратимым. Однако, если - локальный диффеоморфизм , то он обратим, и обратный метод дает обратный образ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N.}$

Дифференциал часто выражается с использованием множества других обозначений, таких как

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

Из определения следует, что дифференциал композиции есть композиция дифференциалов (т. е. функториальное поведение). Это правило цепочки для гладких карт.

Кроме того, дифференциал локального диффеоморфизма является линейным изоморфизмом касательных пространств.

Дифференциал на касательном расслоении

Дифференциал гладкого отображения очевидным образом индуцирует отображение расслоения (на самом деле гомоморфизм векторного расслоения ) из касательного расслоения в касательное расслоение , обозначаемое , которое вписывается в следующую коммутативную диаграмму : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d\varphi }$

где и обозначают проекции касательных расслоений и соответственно. ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$индуцирует отображение расслоения из в расслоение обратного образа φ ^∗ TN через ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (m,v_{m})\mapsto (m,\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),}$

где и Последнее отображение, в свою очередь, можно рассматривать как сечение векторного расслоения Hom ( TM , φ ^∗ TN ) над M. Карта расслоения также обозначается и называется касательной картой . Таким образом, это функтор . ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M.}$ ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$ ${\displaystyle T\varphi }$ ${\displaystyle T}$

Развитие векторных полей

Учитывая гладкое отображение φ  : M → N и векторное поле X на M , обычно невозможно отождествить продвижение X по φ с некоторым векторным полем Y на N. Например, если карта φ не является сюръективной, не существует естественного способа определить такое продвижение вне образа φ . Кроме того, если φ не инъективен, в данной точке может быть более одного выбора продвижения вперед. Тем не менее, эту трудность можно уточнить, используя понятие векторного поля вдоль карты.

Сечение φ ^∗ TN над M называется векторным полем вдоль φ . Например, если M — подмногообразие N и φ — включение, то векторное поле вдоль φ — это просто сечение касательного расслоения N вдоль M ; в частности, векторное поле на M определяет такое сечение посредством включения TM внутри TN . Эта идея распространяется на произвольные гладкие карты.

Предположим, что X — векторное поле на M , т. е. сечение TM . Тогда дает в указанном выше смысле прямое движение φ _∗ X , которое является векторным полем вдоль φ , т. е. сечением φ ^∗ TN над M . ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$

Любое векторное поле Y на N определяет сечение обратного образа φ ^∗ Y φ ^∗ TN с ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x} ) _. Векторное поле X на M и векторное поле Y на N называются φ -связанными, если φ _∗ X = φ ^∗ Y как векторные поля вдоль φ . Другими словами, для всех x в M dφ x ₍ X ) = Y _{φ ( x )} .

В некоторых ситуациях, учитывая векторное поле X на M , существует уникальное векторное поле Y на N , которое φ -связано с X. Это верно, в частности, когда ф — диффеоморфизм . В этом случае pushforward определяет векторное поле Y на N , заданное формулой

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).}$

Более общая ситуация возникает, когда φ сюръективен (например, проекция расслоения расслоения). Тогда векторное поле X на M называется проектируемым, если для всех y из N dφ _x ( X _x ) не зависит от выбора x в φ ⁻¹ ({ y }). Это именно то условие, которое гарантирует, что продвижение X как векторного поля на N корректно определено.

Примеры

Отказ от умножения на группах Ли

Учитывая группу Ли , мы можем использовать карту умножения , чтобы получить карты левого и правого умножения . Эти карты можно использовать для построения левых или правых инвариантных векторных полей на основе его касательного пространства в начале координат (которое является связанной с ним алгеброй Ли ). Например, если мы получаем связанное векторное поле , определяемое формулой ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m(-,-):G\times G\to G}$ ${\displaystyle L_{g}=m(g,-)}$ ${\displaystyle R_{g}=m(-,g)}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G}$$

${\displaystyle g\in G}$

$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to G}$$

$${\displaystyle \gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T_{g}G}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}}$

Продвижение некоторых групп лжи

Например, если группа Гейзенберга задана матрицами ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$

${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to H}$ ${\displaystyle i<j}$

$${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&2b+3c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$

$${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$

$${\displaystyle g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-a/2\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$

Смотрите также

• Откат (дифференциальная геометрия)
• Генеративная модель на основе потоков

Рекомендации

• Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 218.
• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. См. раздел 1.6 .
• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х. См. разделы 1.7 и 2.3 .