В математике полная производная функции f в точке — это наилучшее линейное приближение вблизи этой точки функции по ее аргументам. В отличие от частных производных , полная производная аппроксимирует функцию по всем ее аргументам, а не только по одному. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда f является функцией нескольких переменных, потому что, когда f является функцией одной переменной, полная производная такая же, как и обычная производная функции. [1] : 198–203.
Пусть — открытое подмножество . Тогда функция называется ( полностью ) дифференцируемой в точке, если существует линейное преобразование такое, что
Линейное отображение называется ( полной ) производной или ( полным ) дифференциалом at . Другие обозначения полной производной включают и . Функция является ( полностью ) дифференцируемой , если ее полная производная существует в каждой точке ее области определения.
Концептуально определение полной производной выражает идею, которая является лучшим линейным приближением к точке . Это можно уточнить, определив количественно ошибку в линейном приближении, определяемую . Для этого напишите
где равно ошибке аппроксимации. Сказать, что производная от at эквивалентно утверждению
где — обозначение «little-o» и указывает, что оно намного меньше, чем as . Полная производная — это единственное линейное преобразование, для которого погрешность настолько мала, и в этом смысле она является лучшим линейным приближением к .
Функция дифференцируема тогда и только тогда, когда каждый из ее компонентов дифференцируем, поэтому при изучении полных производных часто можно работать по одной координате за раз в кодомене. Однако то же самое нельзя сказать о координатах в области. Верно, что если дифференцируемо при , то каждая частная производная существует при . Обратное неверно: может случиться так, что все частные производные at существуют , но не дифференцируемы при . Это означает, что функция очень «груба» при , до такой степени, что ее поведение не может быть адекватно описано ее поведением в координатных направлениях. Когда все не так грубо, этого не может случиться. Точнее, если все частные производные at существуют и непрерывны в окрестности , то дифференцируема в . Когда это происходит, то, кроме того, полная производная представляет собой линейное преобразование, соответствующее матрице Якоби частных производных в этой точке. [2]
Когда рассматриваемая функция имеет действительное значение, полную производную можно преобразовать с использованием дифференциальных форм . Например, предположим, что это дифференцируемая функция переменных . Полную производную at можно записать через матрицу Якобиана, которая в данном случае представляет собой матрицу-строку:
Свойство линейной аппроксимации полной производной означает, что если
— небольшой вектор (где обозначает транспонирование, так что этот вектор является вектор-столбцом), тогда
Эвристически это предполагает, что если есть бесконечно малые приращения в координатных направлениях, то
Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь носит чисто символический характер, может быть снабжено обширной математической структурой. Такие методы, как теория дифференциальных форм , эффективно дают аналитические и алгебраические описания объектов, таких как бесконечно малые приращения . Например, может быть вписан как линейный функционал в векторном пространстве . Оценка вектора в единицах измерения количества точек в направлении координаты. Полная производная представляет собой линейную комбинацию линейных функционалов и, следовательно, сама является линейным функционалом. Оценка измеряет количество точек в направлении, определенном at , и это направление является градиентом . Эта точка зрения делает полную производную экземпляром внешней производной .
Предположим теперь, что это векторная функция, то есть . В этом случае компоненты являются вещественнозначными функциями, поэтому им соответствуют дифференциальные формы . Полная производная объединяет эти формы в единый объект и, следовательно, является экземпляром векторнозначной дифференциальной формы .
Цепное правило имеет особенно элегантное выражение в терминах полных производных. Он говорит, что для двух функций и полная производная сложной функции при удовлетворяет
Если полные производные и отождествляются со своими матрицами Якоби, то композиция в правой части представляет собой просто умножение матриц. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции.
Предположим, что f — функция двух переменных, x и y . Если эти две переменные независимы, так что область определения f равна , то поведение f можно понять с точки зрения его частных производных в направлениях x и y . Однако в некоторых ситуациях x и y могут быть зависимыми. Например, может случиться так, что f будет ограничено кривой . В данном случае нас на самом деле интересует поведение составной функции . Частная производная f по x не дает истинной скорости изменения f по отношению к изменению x , поскольку изменение x обязательно меняет y . Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Писать . Тогда правило цепочки гласит:
Выразив полную производную с помощью матриц Якоби, получим:
Подавив оценку at для удобства чтения, мы можем также записать это как
Это дает прямую формулу для производной через частные производные и производную .
Например, предположим
Скорость изменения f по отношению к x обычно является частной производной f по x ; в этом случае,
Однако, если y зависит от x , частная производная не дает истинной скорости изменения f при изменении x , поскольку частная производная предполагает, что y фиксирован. Предположим, мы ограничены линией
Затем
а полная производная f по x равна
которое, как мы видим, не равно частной производной . Однако вместо того, чтобы сразу заменять y на x , мы также можем использовать правило цепочки, как указано выше:
Хотя часто можно выполнить замены для устранения косвенных зависимостей, правило цепочки обеспечивает более эффективный и общий метод. Предположим , это функция времени и переменных , которые сами зависят от времени. Тогда производная по времени равна
Цепное правило выражает эту производную через частные производные и производные по времени функций :
Это выражение часто используется в физике для калибровочного преобразования лагранжиана , поскольку два лагранжиана, отличающиеся только полной производной по времени от функции времени и обобщенными координатами, приводят к одним и тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинности в отношении симметричной во времени теории Уилера-Фейнмана . Оператор в скобках (в последнем выражении выше) также называется оператором полной производной (по отношению к ).
Например, полная производная от равна
Здесь нет термина, поскольку он сам не зависит напрямую от независимой переменной.
Полное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение , выраженное через полные производные. Поскольку внешняя производная не имеет координат, в том смысле, что этому можно придать технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрическими .
В экономике общая производная обычно возникает в контексте системы уравнений. [1] : стр. 217–220 Например, простая система спроса-предложения может определять количество q требуемого продукта как функцию D от его цены p и дохода потребителей I , причем последний является экзогенной переменной , и может определите количество, поставляемое производителями, как функцию S от его цены и двух экзогенных переменных стоимости ресурсов r и w . Полученная система уравнений
определяет рыночное равновесное значение переменных p и q . Например, полная производная p по r дает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную r . В указанной системе всего шесть возможных полных производных, также известных в данном контексте как сравнительные статические производные : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw и dq / dI . Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений, деления, скажем, на dr , рассмотрения dq / dr и dp / dr как неизвестных, установки dI = dw = 0 и одновременного решения двух полностью дифференцированных уравнений, обычно с помощью используя правило Крамера .